25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为传播问题与平均变化率问题。通过观察传染病传播视频导入，承接一元二次方程解法，以情境创设、合作探究为支架，引导学生经历列方程解决实际问题的完整过程。 资料特色在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链驱动数学思维，强调解的实际意义检验发展数学语言。习题从引例到典例再到分层练习，注重模型构建与应用意识，助力学生掌握解题步骤，提升用方程解决实际问题的能力。

第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 【学习目标】 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 学习重点：三角经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 学习难点：会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤. 【情境导入】 观察视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 合作探究1 某种传染病的送染速度很快，如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人? 思考：(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? (2) n 轮传染后有多少人患流感? 典例精析 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支? 交流讨论： 讨论1 在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 讨论2 解决这类传播问题有什么经验和方法？ 练一练 1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 合作探究2 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？ 问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？ 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________. 注意：一般下降率不可为负，且不大于 1. 例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 总结：增长率不可为负，但可以超过 1. 总结 平均增长(或降低)百分率为 x； 增长(或降低) n 次前的量是 a；增长(或降低) n 次后的量是 b. 练一练 2.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 当堂反馈 1.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是(　　) 甲：第1轮后有(x＋1)个人患了流感； 乙：第2轮又增加x(x＋1)个人患流感； 丙：依题意可列方程为1＋x＋x2＝36. A.甲错，丙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙错 D.乙和丙都对 2.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率. 书写通关 解：设　 　， 根据题意得　 　. 解得　 　. (x＝　 　不合题意，舍去) 答：　 　. 3.为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2024年这种药剂价格为200元，2026年该药剂价格为98元. (1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率； (2)若该制药厂计划2027年对此药剂按此下降率继续降价，预计2027年该药剂的价格为多少元？ 参考答案 【合作探究】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 合作探究1 引例 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2 = -12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人. 思考： 第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）. 第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）. (2) (1 + x) + … + x(1 + x)n = (1 + x)n人 典例精析 例1 解：设每个支干长出x个小分支，则，1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11， x2=-12（不合题意，舍去）. 答：每个支干长出11个小分支. 讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 练一练1. 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60(1 + x)2 = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. (2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个). 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 合作探究2 问题1 ：甲：(10 000－ 6000)÷2＝2000 (元)； 乙：(12 000 － 7200)÷2＝2400 (元). 问题2 设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 10 000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10 000(1－x²) 元，于是有 10 000(1－x²)＝6 000 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 − y) 元，两年后乙种食品成本为12 000(1 − y)2 元，于是有 12 000(1 − y)2＝7 200 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 问题3 不一定较大 降前及降后的价格 例2 解：设某市的平均每年增长率为 x. 由题意，得 1585(1 + x)2 = 2180 解得 x1≈0.172 ，x2≈－2.172 (不符合题意，舍). 答：某市的平均每年增长率约为 17.2%. 练一练2解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950. 整理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%． 答：这个增长率为50%. 当堂反馈 1.C 2. 书写通关 解：设　该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x　， 根据题意得　200(1＋x)2＝392　. 解得　x1＝0.4，x2＝－2.4　. (x＝　－2.4　不合题意，舍去) 答：　该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40％　. 3.解：(1)设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得200(1－x)2＝98，解得x1＝0.3＝30％， x2＝1.7(不符合题意，舍去). 故这种药剂价格的年平均下降率为30％. (2)98×(1－30％)＝68.6(元)， 即预计2027年该药剂的价格为68.6元. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $