河北省雄安新区2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数之1=1十3i,之2=2十i,则|z1+之2|= A.3 B.4 C.5 D.√5 2.下列几何体中，棱的条数最多的是 A.四棱锥 B.三棱柱 C.四棱台 D.四面体 3.在△ABC中，点D在边BC上，且2BD=CD,则BD= A号+号aG B号A+号AG C号店+号正 D.- 范+号d 4.某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是 A.至多投中一次 B.投中两次 C.只有一次投中 D.两次都没有投中 5.已知a,b均是非零向量，a十b1-1,a=1,0与b的夹角为，则b1- A.1 B.2 C.√2 D.√3 6.某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色， 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为 A号 R c号 n 7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA,=3,点E在棱BB1 D 上，BE=1,过点A,E,C1的平面与直线DD1交于点F,则DF= B A.1 B.2 c n 8.某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中A,B为定点，C,D是 动点，AD=1,CD=3,BC=3,AB=4,则cosC的取值范围为 a[-] B[-] c[-] n[-] 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知AB=(1,3),BC=(m,9),下列结论正确的是 A.若3AB=BC,则m=3 B.若3AB=|BC1,则m=3 C.若A,B,C三点共线，则m=3 D.若AB⊥AC,则m=一27 10.如图，圆柱的母线AD=4,底面圆直径AC=8,点B在底面圆的圆周 D 上，E是BD的中点，AB=4,下列结论正确的是 A.BC⊥AE B.CD⊥AE C.若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D.该圆柱的外接球的表面积为80π 11.已知x1,x2,x3,x4,x5都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确 的是 A.这组数据最多有4个数据大于7 B.这组数据最多有4个数据小于7 C.若这组数据的标准差为2，则x子十x十x号十x+x号=265 D.若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计 6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本 中浅海层的样本份数为，▲ 13在R△ABC中，AC=1,BC=3,C=受，P为AB上任意一点，则P克·P元的最小值是 ▲ 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=2,AA1=a,若a∈[1,3]，则 A,D与平面AB:C1所成角的范围为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数之满足xi27=1一i. (1)求z; (2)若复数(x十m)2(m∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，E,F分别为BC,PD的中点 (1)证明：EF平面PAB (2)设四棱锥P-ABCD的棱长均为2. (ⅰ)求直线EF与直线CD所成角的大小； (ii)求四棱锥P-ABCD的体积 17.(15分) 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校 园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛.根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率 分布直方图： 频率组距 +频率/组距 0.035 0.030 0.020 0.020 0.015 0.015 0.010 0.010 0.005 0.005 0 405060708090100分数 0 40506070·8090100分数 ①班 ②班 (1)分别估计该年级①班，②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)； (2)根据竞赛成绩，将学生成绩分成A,B,C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成缋等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从 ②班抽的人的成绩等级的概率 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，D是BC上的点，且BD=2DC,AD平分∠BAC. (1)求sin<B sin∠c 3V3 (2)若AD=1,△ABC的面积为8，求BC. 19.(17分) 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的 点)列有A(n):A1,A2,A3,…,Am与B(n):B1,B2,B3,…,Bm,其中n≥3，若同时满足①两 点列的起点和终点分别相同(A1=B1,Am=B.),②线段AA#1⊥B;B+1,其中i=1,2, 3,…,n一1，则称A(n)与B(n)互为正交点列. 通 (1)求A(3):A1(0,0),A2(2,3),A3(5,1)的正交点列B(3); (2)判断A(4):A1(0,0),A2(2,1),A3(4,0),A4(6,1)是否存在正交点列B(4),并说明 理由； (3)证明：存在无正交点列的有序整点列A(5). 【高二数学第4页（共4页）】