河北定州中学2026-2027学年高二年级上学期开学考数学试题

高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．投掷一枚质地均匀的骰子，事件：点数小于4，事件：点数大于2，事件：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（ ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 5．边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知两个随机事件，相互独立，，则（ ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 7．在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A． B．1 C． D． 8．如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有一组样本数据，，，，，，，，，则这组数据的（ ） A．众数为 B．中位数为 C．极差为 D．分位数为 10．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A． B．的外接圆面积为 C．若，则满足条件的三角形仅有个 D．周长的最大值为 11．已知圆台的上、下底面圆半径分别为和，母线与底面所成的角为，则（ ） A．该圆台的母线长为 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，且，，则在方向的投影向量的坐标为_______． 13．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为_______． 14．在锐角中，角，所对的边为，，若，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16．已知，，分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 17．为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常识竞赛活动．现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数分成六组：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计200份样本分数的平均值； （3）若规定分数排名前20%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 18．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点． （1）若平面与平面的交线为，判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线和平面的距离； （3）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高二数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D A A D B ACD AC 题号 11 答案 ACD 12． 13．/ 14． 15．【详解】（1）由题意可得，，， 因为，所以， 即，解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16．（1）由正弦定理得：， 即，，， 代入已知条件得：， 由三角形内角和定理得：， 代入上式得：， 化简得：； 在中，， 两边同时除以得：， 由辅助角公式得：，即， 因为，所以， 所以，即， 所以为钝角三角形． （2）由三角形面积公式得：， 代入得：，解得； 由余弦定理得：， 代入，，得：， 所以，即， 又因为，所以， 所以的周长为． 17．【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为10，根据所有小矩形的面积之和为1可得： ， 解得． （2）根据频率分布直方图，样本分数的平均值估计为： 所以估计200份样本分数的平均值为74分． （3）因为分数排名前20%的同学入围决赛，即对应累计频率为80%的分数， 前四组的频率之和为，前五组的频率之和为， 所以入围决赛的分数线位于区间内， 设进入决赛的同学至少达到分，则， 即，解得， 故估计进入决赛的同学至少达到86分． 18．（1）如图，因为，点为的中点，所以，所以； 又因为是等边三角形，所以，，所以，所以 因为，，平面，所以平面； （2）设点到平面的距离为，则， 由（1）知，平面，所以为三棱锥的高，所以， 又因为，，所以，所以； 所以，； 所以，解得； 设直线与平面所成角为，则； 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．（1），理由如下： 因为底面为菱形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以； （2）四边形为菱形，，所以为正三角形， 又是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，由（1）可知平面， 所以的长为直线和平面的距离， 又因为为正三角形，且， 所以， 所以直线和平面的距离为． （3）为上任意一点，连接，， 由（2）知平面，则为与平面所成的角， 在中，，所以当最短时，即当时，最大． 此时，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面平面， 过作于，则平面， 过作于，连接，则为 二面角的平面角，在中，，， 又是的中点，在中，， 又， 在中，， 所以二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $