精品解析：河北定州中学2026-2027学年高二年级上学期开学考数学试题

高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则虚部为. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直即数量积为零的条件求得，再将其代入向量的坐标中计算得出模长. 【详解】由题意得，且， 即，解得，此时， 则. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，若，，则平面内存在直线， 因为直线与直线不一定平行，直线与直线不一定平行， 所以A选项不正确； B选项，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故B选项正确； C选项，若，，则平面与平面也可能相交， 例：正方体中，平面，平面， 而平面. 故C选项不正确； D选项，若，，则或，故D选项不正确， 4. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用是否同时发生来判断互斥事件和对立事件，即可判断AB，利用古典概型来求相应事件的概率，然后利用独立事件概率乘法公式来判断是否独立，即可判断CD． 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 5. 边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】边长为1的等边三角形，绕其中一条边旋转一周，所得几何体是两个底面重合的同底圆锥. 等边三角形的高， 即圆锥底面半径，每个圆锥的高为. 几何体的体积为两个圆锥体积之和：. 6. 已知两个随机事件相互独立，，则（ ） A. 0.72 B. 0.76 C. 0.84 D. 0.90 【答案】A 【解析】 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. 7. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的性质确定几何基底，根据“六芒星”的性质计算，利用投影的性质计算的范围，进而利用计算求解． 【详解】已知正三角形边长为6，则中心点到顶点距离， 已知，是相邻顶点，故， 则， 动点在“六芒星”上，则在方向的投影范围为， 故， 故． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组样本数据，，，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 极差为 D. 分位数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再依次讨论各个选项即可. 【详解】先将数据从小到大排序为：1，1，2，3，5，5，5，6，8 所以众数为5，中位数为5，极差为， 因为，所以分位数是排序后的第7个数字，即为5. 所以ACD正确，B错误. 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，由于，结合正弦定理得， 在中，有，所以， 则有，即， 又因为，，所以 又因为，所以，故A正确； 对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 则，解得，外接圆面积，故B错误； 对于C，已知，，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解， 因此满足条件的三角形仅有个，故C正确； 对于D，已知，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，解得， 因此周长的最大值为，故D错误. 11. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为4 B. 该圆台的侧面积为 C. 该圆台的体积为 D. 能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆台的结构特征和表面积的有关计算、体积公式和台体与球的内、外接问题，结合选项依次计算即可. 【详解】对于A，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为， 由于母线与底面所成的角为，则母线长，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B错误； 对于C，由题意有：，圆台的高， 所以该圆台的体积为，故C正确； 对于D，设梯形为圆台的一个轴截面，如图所示： 设圆台上､下底面圆心分别为，点为线段的中点，则，， 由已知，取，则， 连接， 因为，，，所以，， 又，所以， 由余弦定理可得，所以，， 由对称性可得以点为圆心，为半径的圆与梯形内切， 所以以为球心，为半径的球与圆台的两个底面和侧面都相切， 所以能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算. 【详解】因为，， 所以在方向上的投影向量为. 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 14. 在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，且，得，再由正弦定理将转化为，再根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系式将其转化为关于的函数，最后结合的取值范围，根据正切函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】由，且，得. 所以，所以. 由正弦定理，得. 因为是锐角三角形，所以，即. 所以，所以，， 即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的定义求，再根据求实数的值. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得，，， 因为，所以， 即，解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）由正弦定理得：， 即，，， 代入已知条件得：， 由三角形内角和定理得：， 代入上式得：， 化简得：； 在中，， 两边同时除以得：， 由辅助角公式得：，即， 因为，所以， 所以，即， 所以为钝角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理边化角，两角和的正弦公式与辅助角公式求解； （2）使用三角形面积公式与余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由三角形面积公式得：， 代入得：，解得； 由余弦定理得：， 代入，，得：， 所以，即， 又因为，所以， 所以的周长为． 17. 为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常识竞赛活动．现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数分成六组：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计200份样本分数的平均值； （3）若规定分数排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 【答案】（1）； （2）分； （3）分． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形的面积之和为建立方程求解； （2）利用组距的中点乘以对应的频率，求和即可估计平均值； （3）根据频率分布直方图，从高分向低分累加频率，确定前所在的区间，利用面积比例计算分数线． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知组距为，根据所有小矩形的面积之和为可得： ， 解得． 【小问2详解】 根据频率分布直方图，样本分数的平均值估计为： 所以估计份样本分数的平均值为分． 【小问3详解】 因为分数排名前20%的同学入围决赛，即对应累计频率为为80%的分数， 前四组的频率之和为，前五组的频率之和为， 所以入围决赛的分数线位于区间  内， 设进入决赛的同学至少达到  分，则， 即，解得， 故估计进入决赛的同学至少达到分． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，因为，点为的中点，所以，所以； 又因为是等边三角形，所以，所以，所以； 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先设点到平面的距离为，应用等体积法求出，再应用线面角正弦求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，平面，所以为三棱锥的高，所以， 又因为，所以，所以； 所以，； 所以，解得； 设直线与平面所成角为，则； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点． （1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线和平面的距离； （3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1），理由如下： 因为底面为菱形，所以，又因为平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由为菱形，可证平面，进而可得结论； （2）利用已知可得平面，结合（1）可得的长为直线和平面的距离，进而计算即可； （3）为上任意一点，连接，则为平面所成的角，当最短时，即当时，最大，由此能求出二面角的余弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 四边形为菱形，，所以为正三角形， 又E是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，由（1）可知平面， 所以的长为直线和平面的距离， 又因为为正三角形，且， 所以， 所以直线和平面的距离为． 【小问3详解】 为上任意一点，连接， 由（2）知平面，则为与平面所成的角， 在中，，所以当最短时，即当时，最大． 此时，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面平面， 过作于，则平面， 过作于，连接，则为 二面角的平面角，在中，，， 又是的中点，在中，， 又， 在中，， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 5. 边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个随机事件相互独立，，则（ ） A. 0.72 B. 0.76 C. 0.84 D. 0.90 7. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组样本数据，，，，，，，，，则这组数据的（ ） A. 众数为 B. 中位数为 C. 极差为 D. 分位数为 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 11. 已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆台的母线长为4 B. 该圆台的侧面积为 C. 该圆台的体积为 D. 能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 14. 在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知a，b，c分别为的三个内角，，的对边，且． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常识竞赛活动．现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数分成六组：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计200份样本分数的平均值； （3）若规定分数排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 18. 如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，E，F分别是，的中点． （1）若平面与平面的交线为l，判断直线与l的位置关系，并证明你的结论； （2）求直线和平面的距离； （3）若H为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $