精品解析：山东省北镇中学实验初中部九年级 2026——2027学年第一学期开学质量检测 数学试题

2026—2027学年度第一学期开学质量检测数学试题 （试卷满分：100分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 关于函数的图像与性质的说法正确的是(　　) A. 函数值的最大值为2 B. 图像关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标在第二象限 5. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 9. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 13. 若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 14. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 16. 定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； （2）以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 19. 如图，函数的图象经过点，，． （1）求，的值，并直接写出顶点坐标； （2）在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 20. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21. 在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 22. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期开学质量检测数学试题 （试卷满分：100分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 3. 若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4. 关于函数的图像与性质的说法正确的是(　　) A. 函数值的最大值为2 B. 图像关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标在第二象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数的最值，根据二次函数的解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知，二次函数的解析式为，开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 所以当时，函数有最小值为2． 故A选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 故B选项不符合题意； 因为抛物线开口向上，且对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故C选项不符合题意； 抛物线的顶点坐标为，即顶点坐标在第二象限． 故D选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 6. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 【详解】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 7. 将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x增大而减小 D. 图象与x轴有交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第四象限，且随增大而增大；图象与坐标轴无交点； A、当时，，该项正确； B、由于，图象仅位于第四象限，不涉及第一、三象限，该项错误； C、当时，随增大而增大，该项错误； D、反比例函数图象不与轴相交，该项错误． 9. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（ ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 13. 若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：∵扇形半径，圆心角，扇形弧长公式为， ∴将数值代入公式得． 14. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【解析】 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 16. 定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤，求解即可． （2）利用公式法解方程的基本步骤，求解即可． （3）利用直接开平方法，求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 配方，得，即． 两边开平方，得， 解得，． 【小问2详解】 解：∵, ， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴或， 解得． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； （2）以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求： 点的坐标为； （2）如图，即为所求： 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点、、绕原点顺时针旋转的对称点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，函数的图象经过点，，． （1）求，的值，并直接写出顶点坐标； （2）在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）、的值分别是：2，3，顶点坐标 （2） 如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）将和代入即可求解； （2）描点、连线即可完成作图； （3）找到时的函数图像即可求解． 【小问1详解】 解：由题得，将和代入得， 解得，， 即、的值分别是：2，3， ∴ 顶点坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中的图象可知： 下图红色部分即为时的函数图象， 此时：， 故：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟记相关结论是解题关键． 20. 关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． （2）若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 21. 在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 22. 五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： （1）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． （2）若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ （3）若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】（1）路面设置的宽度符合要求 （2）从购买草莓客户的角度应该降价元 （3）该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【解析】 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； 【小问2详解】 解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【小问3详解】 解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $