精品解析：山东聊城市实验中学2026-2027学年上学期九年级数学开学检测

2026-2027学年第一学期开学检测 九年级数学试题 时间：60分钟 分值：100分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 2. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 6. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（ ） A. 30 B. 27 C. 14 D. 32 8. 下列命题中不一定成立的是（ ） A. 斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似 B. 两个等腰直角三角形相似 C. 各有一个角等于的两个等腰三角形相似 D. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 9. 如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 13. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 15. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 三、解答题（共40分） 16. 解方程 （1） ； （2）； （3）； （4）． 17. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 18. 如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期开学检测 九年级数学试题 时间：60分钟 分值：100分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵，  ∴． 3. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 4. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 7. 如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（ ） A. 30 B. 27 C. 14 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】只需证明和，利用相似三角形的性质求得和，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 下列命题中不一定成立的是（ ） A. 斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似 B. 两个等腰直角三角形相似 C. 各有一个角等于的两个等腰三角形相似 D. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形判定定理进行判定即可． 【详解】解：A、斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意； B、两个等腰直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意； C、各有一个角等于的两个等腰三角形相似一定成立，故本选项不符合题意； D、两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是判断命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题真假关键是首先要熟悉课本中定理． 9. 如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】三边长分别为，， 选项三边分别为，与三边对应不成比例，故A选项不符合； B选项三边分别为，与 三边对应不成比例，故B选项不符合； C选项三边分别为 ，与 三边对应成比例，故C选项符合； D选项三边分别为 ，与 三边对应不成比例，故D选项不符合； 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例两个三角形相似，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 13. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 14. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 15. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共40分） 16. 解方程 （1） ； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2） （3） （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 开方得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：， 因式分解得，即， 解得； 【小问4详解】 解：， 开方得， ∴或， 解得，． 17. 随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． （1）商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每台电暖器应降价15元或20元 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【小问1详解】 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $