精品解析：河南驻马店市遂平县第一高级中学2026-2027学年高二开学素养能力提升数学试题

高二年级开学素养能力提升 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 2. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 分直线过原点和不过原点两种情况讨论，利用点斜式和截距式可求得所求直线的方程. 【详解】若直线过原点，则直线的斜率为，此时，所求直线的方程为，即； 若直线不过原点，设可直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时，所求直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 故选：C. 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 4. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，则，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】由题意知，则， ∴，得， 设的倾斜角为，， ∴，则． 故选：B． 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 6. 已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先分析出圆的圆心从而确定出椭圆的焦点坐标，再根据短轴长度求解出椭圆方程中的值，从而左顶点可求. 【详解】因为圆即为，所以圆心为， 所以椭圆的一个焦点坐标为，故，又因为，则， 所以，所以，所以左顶点为. 故选：D. 【点睛】本题考查求解椭圆的左顶点坐标，涉及圆心坐标求解以及利用求解的值，难度较易. 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 8. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知，，再根据两点之间线段最短，即可解出． 【详解】易知抛物线的焦点为，准线方程为.连接，延长交准线于点，如图所示.根据抛物线的定义，知. 所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 经过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，分抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，和抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，分别代入点P的坐标，计算可得选项． 【详解】解：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为. 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为. 故选：AC． 【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题． 10. 下列结论错误的是（ ） A. 若直线，的斜率相等，则 B. 若直线，的斜率分别为，，且，则 C. 若直线，的斜率都不存在，则 D. 若直线，的斜率不相等，则与不平行 【答案】ABC 【解析】 【详解】对A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A错误； 对B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对D，直线，的斜率不相等，则与不平行，正确. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面， 平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程为 ___________ . 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为标准方程，得到p，进而得到准线方程. 【详解】抛物线化为标准方程为， 故准线方程为：. 故答案为. 【点睛】这个题目考查的是抛物线的标准方程的应用，以及准线方程的应用，较为简单. 13. 经过点，的椭圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】 先设椭圆方程为，将已知点代入，求解，即可得出结果. 【详解】设椭圆方程为， 因为该椭圆过点，， 所以，解得，因此所求椭圆方程为. 故答案为：. 14. 已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设动圆圆心的坐标为，半径为，由题意可得，可得点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支．根据，，求得的值，可得点的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为， 则由题意可得，，相减可得， 故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支， 由题意可得，，， 故点的轨迹方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线l的方程为. (1)若直线l与直线垂直时，求a的值； (2)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】 【分析】(1)由两直线垂直的充要条件求解即可； (2)先求出l在两坐标轴上截距，再求解即可. 【详解】解：(1)直线与直线垂直， ∴， 即. (2)l在两坐标轴上截距相等， 由题意可得， 当时，，当时，， 则， 解得或， 故直线l的方程为或. 【点睛】本题考查了两直线垂直的充要条件及直线在坐标轴上截距的运算，属基础题. 16. 已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）由， 故直线过定点，且该点在第一象限， ∴无论为何值，直线必经过第一象限. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线方程确定其所过定点的位置，即可证结论； （2）由直线不经过第二象限，结合（1）所得定点，其斜率不能小于该定点与原点所成直线的斜率，即可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：要使直线不经过第二象限， 则，而， ∴，即的取值范围. 17. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 【答案】或． 【解析】 【分析】设所求抛物线的标准方程，,结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求出抛物线方程. 【详解】设所求抛物线的标准方程为， 设，由题意知． 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入方程得，，解得或． 所以所求抛物线的标准方程为或． 18. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的离心率及的关系求解； (2)根据双曲线的渐近线方程求解. 【小问1详解】 椭圆的焦点坐标为，，所以． 设双曲线方程为． 因为，所以． 所以． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知双曲线的渐近线方程为，即. 19. 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点. （1）若，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据得到，，可得； （2）设，根据得到，，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程. 【详解】（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，． （2）由题知，，设， 由，得，所以 ，． 代入，得． 即，解得．所以， 所以椭圆方程为． 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级开学素养能力提升 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 经过点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论错误的是（ ） A. 若直线，的斜率相等，则 B. 若直线，的斜率分别为，，且，则 C. 若直线，的斜率都不存在，则 D. 若直线，的斜率不相等，则与不平行 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的准线方程为 ___________ . 13. 经过点，的椭圆的标准方程是______． 14. 已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设直线l的方程为. (1)若直线l与直线垂直时，求a的值； (2)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程. 16. 已知直线：. （1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限. （2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围. 17. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，为焦点，为准线与轴的交点，为抛物线上一点，且，，求此抛物线的标准方程． 18. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程． 19. 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点. （1）若，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $