精品解析：河南焦作市武陟县第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试卷

高一年级暑假作业完成情况 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 2. 已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出，即可求出平行四边形面积为. 【详解】因为，，，所以,， 所以，，所以 ，所以， 平行四边形面积为，在中与正弦定理有： ，设平行四边形的面积为， 所以. 故选：B 3. 已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别在和中利用向量加法的平行四边形法则就可得出答案. 【详解】因为点是正方形的中心，所以分别为,的中点， 所以在中，， 同理，在中，， 所以. 故选：. 4. 若平面的一个法向量分别为，，则（ ） A. B. 与相交但不垂直 C. 或与重合 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，得出，进而得到或与重合. 【详解】由题意，向量平面的一个法向量分别为，， 可得，所以，所以或与重合. 故选：C. 5. 若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 6. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 7. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合，化简的得到，即可求解. 【详解】以为原点，分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 设，正方形边长为，则， 则， 由，即，整理得到， 所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】考虑直线过原点和不过原点两种情况，进而通过斜截式和截距式求出答案. 【详解】当直线过原点时，斜率，所以直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点得，解得，所以直线方程为．综上所述，所求直线方程为或． 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与的长度相等 B. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C. 空间向量就是空间中的一条有向线段 D. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的相关概念逐一判断即得解. 【详解】解：向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确； 空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故选项B错误： 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误； 由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确． 故选：AD． 11. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 14. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 【答案】（1） 由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证； （2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 16. （1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】 【分析】（1）要注意截距互为相反数包含直线过原点的特殊情形，不能只用截距式，需要分过原点和不过原点两种情况求解； （2）先利用平行直线一般式系数相等的特点，再设出直线方程后代入已知点求出常数项． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得， 则直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）已知直线，则直线的方程可化为， 所以直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为， 即． 17. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． （1）证明：平面AED⊥平面A1FD1； （2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE． 【答案】（1） 建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2, 则,. 设平面AED的法向量为, 则，即， 令,得. 同理可得平面的法向量. 因为,所以平面⊥平面. （2）时，A1M⊥平面DAE． 【解析】 【分析】(1) 建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2, 则, .求出平面AED的法向量为, 平面的法向量，由即可得证. (2)因为点M在直线AE上,所以可设,可得,于是,要使平面DAE,需,即可求出,从而确定点M. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为点M在直线AE上, 设,可得, 于是,要使平面DAE,需, 所以,得. 故当时,平面DAE. 18. 已知圆心在直线上的圆与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）求圆上的点到直线的距离最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件求出圆C的圆心坐标及半径，再由圆的标准方程直接求解作答. (2)判断直线与圆C的位置关系即可求出点到直线距离最大值与最小值. 【小问1详解】 由圆与轴交于两点，得，圆心在直线上， 由解得，则圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的距离最大值为， 最小值为． 19. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由直线过点C，且被圆H截得的弦长为2，列式求解即可； （3）设，，圆：，将点，代入圆，若，存在，则方程组有解，即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点，根据两圆位置关系可知，由不等式组即可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【小问1详解】 解：由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是， 的方程为， 的垂直平分线是，即， 由，解得，所以圆心是，， 圆的方程是； 【小问2详解】 解：弦长为，圆心到的距离． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设，即， 则，，的方程为； 综上，直线的方程是或； 【小问3详解】 解：因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级暑假作业完成情况 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与向量共线的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间三点，，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面的一个法向量分别为，，则（ ） A. B. 与相交但不垂直 C. 或与重合 D. 5. 若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 6. 四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与的长度相等 B. 在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C. 空间向量就是空间中的一条有向线段 D. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 11. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 14. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 16. （1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 17. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． （1）证明：平面AED⊥平面A1FD1； （2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE． 18. 已知圆心在直线上的圆与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）求圆上的点到直线的距离最大值和最小值． 19. 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； （3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $