精品解析：河南驻马店市汝南县第一高级中学2025-2026学年高二下学期开学摸底数学试题

汝南一高2024级高二下期开学摸底考试 数学试题 命题人：高永献 审题人：王兆钦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由抛物线的标准方程， 得，所以， 故焦点坐标为. 2. 已知，给出4个表达式，其中能作为数列：的通项公式的是（ ）. ①② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】选取数列前4项，逐个通项公式验证即可. 【详解】原数列为，即奇数项为0，偶数项为1，逐项分析如下： 对于①， 为奇数时，为偶数时，完全符合数列规律，①正确； 对于②，当为奇数时，，. 当为偶数时，，，符合规律，②正确； 对于③，由三角函数诱导公式，对任意整数，，因此，和②完全等价，符合规律，③正确； 对于④，时，,时，，得到数列为，显然不符合要求，④错误，故①②③正确. 3. 若随机变量，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解. 【详解】由于随机变量，则， 因此，. 故选：A. 4. 已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值与最小值之和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系求的范围即可. 【详解】设圆的半径为，原点为圆心，为半径的圆的半径为， . 要圆C上存在点P，使得， 则以原点为圆心，为半径的圆与圆存在交点. 作出图象如图所示， 当取最小时，两圆外切， 此时， 即， 当取最大时，两圆内切， 此时， 即. 则m的最大值与最小值之和为. 故选：C. 5. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为 A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案． 【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：， 由题可知求周长的最小值，即求的最小值， 设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知， 因此求的最小值即求的最小值， 根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小， 所以 又因为， 所以周长的最小值为， 故答案选C 【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题． 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 7. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ） A. 24 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先把4名数学教师平分为2组，再把2名体育教师分别放入这两组，最后把这两组教师分配到两所农村小学，即可计算出结果. 【详解】先把4名数学教师平分为2组，有种方法， 再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法， 最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法. 故选：C. 【点睛】本题考查计数原理和排列组合应用，属于基础题. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连结，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，知，将所得结论代入进行运算可得，，再由，化简即可得离心率的值． 【详解】解：如图，取中点，连结， ，， 设，，， 又，， ，， ， 由勾股定理，知，即， 解得， ， ，即，化简得， 离心率． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义和基本几何性质，还涉及勾股定理、直线斜率与倾斜角之间的关系等基础知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左､右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】A选项，根据向量的加减法法则，，故A选项正确； B选项，建立空间直角坐标系，以为原点，分别以所在直线为轴， 则， ， 设异面直线与所成角为，根据向量点积公式，故B选项错误； C选项，由B选项中坐标可知，所以，故C选项正确； D选项，设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， ，根据点到平面的距离公式，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛．每场比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为，乙每场获胜的概率为，且各场比赛结果相互独立．下列说法正确的是（ ） A. 本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为 B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为 C. 若事件为“对抗赛恰好进行2场结束”，事件为“甲赢得对抗赛”，则事件与事件是相互独立事件 D. 本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论、互斥事件概率加法，来计算判断即可. 【详解】对于A，对抗赛恰好两场结束，需满足“甲或乙连续赢两场”，则概率为，故A正确； 对于B，甲赢得对抗赛，包含两种情况：一种是两场结束后甲获胜，概率为， 另一种是甲在前两场比赛输了一场，第3场比赛胜，则概率为，概率之和为，故B与D正确； 对于C，，不满足独立条件，故C错误． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示第一天坐公交，事件表示第一天骑车，事件表示第二天坐公交， 则第一天坐公交和骑车的概率均为， 在第一天坐公交的条件下，第二天坐公交的概率为， 在第一天骑车的条件下，第二天坐公交的概率为， 所以，根据全概率公式，第二天坐公交概率为： ． 故答案为：. 13. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，进而确定对应有理项，即可求. 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 14. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设（），直线l方程为，依题意可得，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出、，从而得解. 【详解】依题意，点位于轴上方且，则直线的斜率存在且不为， 设（），则，， 则可得，设直线l方程为， 联立直线与椭圆可得，显然， ，，， ，解得，则直线的斜率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）若直线与圆C相交于A，B两点，求； （2）自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 圆化成标准方程为，圆心，半径， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则. 【小问2详解】 圆心关于轴的对称点， 又入射光线经过点，故入射光线的斜率为， 由点斜式得，即， 故入射光线所在的直线方程为. 16. 已知O为坐标系原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点． （1）求的值． （2）若，求的面积与的面积的比值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由题意设直线的方程，与抛物线联立结合韦达定理求解向量数量积即可；（2）由的长，根据抛物线的性质可得的横坐标，进而可得的纵坐标，再由（1）可得的纵坐标，进而根据与等底求出面积的比值． 【小问1详解】 由抛物线，可得，即，焦点， 设过的直线方程为，联立抛物线方程， 得， 由韦达定理得：，. 因为，且， 故， 所以代入得. 【小问2详解】 根据题意得抛物线准线为，因此，解得， 代入抛物线方程得，即. 由（1）的韦达定理，得， 与共底，则. 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析； （2）分布列见解析； （3）甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【小问1详解】 甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . 【小问2详解】 乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . 【小问3详解】 因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （3）线段上是否存在一点，使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）建系求面的法向量，代线面角公式求解； （3）假设存在，代入已知条件求解. 【小问1详解】 连接，底面是菱形， 是的中点，为的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是菱形， 所以， 又底面， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点作的平行线作为轴建立空间直角坐标系. ，三角形为正三角形， 设，则，， ，，，，，， 设面的法向量为， ，， ，则， 令，得， ，设与平面所成角为， . 【小问3详解】 线段上存在一点，使平面， 设，， ，得， ， 平面，， ，，解得， 所以， . 19. 已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程. （2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. （3）是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解； （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【小问1详解】 因为过点，且离心率， 所以，且， 即解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 如图， 显然直线的斜率存在，设直线. 联立得，消去并整理，得， 所以，得. 设，，则，.（*） 因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ， ， 将（*）代入，得为定值. 【小问3详解】 设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得. 由（2）可知， 所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汝南一高2024级高二下期开学摸底考试 数学试题 命题人：高永献 审题人：王兆钦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，给出4个表达式，其中能作为数列：的通项公式的是（ ）. ①② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 3. 若随机变量，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值与最小值之和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 5. 抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为 A. 4 B. 5 C. D. 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ） A. 24 B. 14 C. 12 D. 8 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 甲、乙两人开展乒乓球对抗赛，约定对抗赛最多进行3场，先累计获胜两场者赢得本次对抗赛．每场比赛仅分胜负，无平局，甲每场获胜的概率为，乙每场获胜的概率为，且各场比赛结果相互独立．下列说法正确的是（ ） A. 本次对抗赛恰好进行2场就结束的概率为 B. 甲最终赢得本次对抗赛的概率为 C. 若事件为“对抗赛恰好进行2场结束”，事件为“甲赢得对抗赛”，则事件与事件是相互独立事件 D. 本次对抗赛恰好进行3场结束且甲赢得本次对抗赛的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学每天随机选择坐公交或骑车上学，若第一天坐公交，第二天坐公交的概率为0.6；若第一天骑车，第二天坐公交的概率为0.3．则该同学第二天坐公交上学的概率为________． 13. 的展开式中所有有理项的系数之和为________． 14. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）若直线与圆C相交于A，B两点，求； （2）自点发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线恰好经过圆心C，求入射光线所在的直线方程． 16. 已知O为坐标系原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点． （1）求的值． （2）若，求的面积与的面积的比值． 17. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. （1）求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； （3）试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （3）线段上是否存在一点，使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程. （2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. （3）是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $