1.3 勾股定理的应用 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“勾股定理的应用”课前同步练，通过基础巩固、情境应用、综合实践三级梯度设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的进阶，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理及逆定理直接应用（网格问题、直角判断）|以选择填空为主，如网格找格点、门变形检测，强化概念理解| |中档|生活情境化应用（梯子滑落、水杯筷子、楼梯地毯）|结合具体场景，如圆柱表面最短路径、河宽计算，培养应用能力| |提升|综合实践与跨学科问题（折叠问题、航海距离、噪声影响）|融入动态与空间要素，如长方体表面爬行、台风影响判断，发展推理与创新意识|

1.3 勾股定理的应用 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 3．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．周末，小明骑车从家A出发向北偏东方向骑行了4000米到达体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书店的距离为（    ）    A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 8．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 9．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 10．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题 11．如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为______． 12．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 13．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 14．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 15．如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走__________． 三、解答题 16．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)求海港到直线的距离； (2)台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？ 18．如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 19．综合与实践：如图，某校园有一尊孔子雕像． (1)如图，孔子雕像底座正面是四边形，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方案检测雕像底座正面的边是否垂直于边． (2)若孔子雕像底座是个长方体，量得边，边，一只蚂蚁从顶部点沿长方体的表面爬到底部点，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 20．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B D D C A D A 1．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 4．【答案】B 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 【详解】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，分类讨论思想的应用．利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两次骑行的路程和A、C的距离构成的直角三角形，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，    由题意，知，，， ∴， 即小明家到新华书店的距离为5000米． 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 10．【答案】A 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：根据勾股定理，走1步后的落点与出发点间的距离为． 故答案为：． 12．【答案】70 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 14．【答案】 80 12 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的木条平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 17．【答案】(1)海港到直线的距离为 (2) 解：由（1）可知，海港到直线的距离为， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆，    ∵， ∴海港受台风影响． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理先求出的长度，再运用等面积法即可求解； （2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是直角三角形， ∴（）， 如图所示，过点作于点，    ∴， ∴（）， ∴海港到直线的距离为． （2）略 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 18．【答案】30海里 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：连接， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， ∴， （海里）． 答：两船后相距30海里． 19．【答案】(1) 解：分别测量、和的长度， 若，则是直角三角形，，即； (2)蚂蚁爬行的最短路程是． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）分别测量、和的长度，利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将长方体展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：将长方体展开，如图，    由勾股定理，得：， ∴． 答：蚂蚁爬行的最短路程是． 20．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $