2.1 认识实数 分层训练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层设计三级进阶，从基础概念辨析到综合应用再到拓展证明，梯度合理，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第一部分（必做）|无理数识别、实数与数轴关系等基础概念|以选择、填空为主，如无理数判断、数轴表示，强化抽象能力与几何直观| |第二部分（必做）|大小比较、新定义运算等综合应用|结合实际情境（如正方形边长）与新定义[x]，发展推理能力与模型意识| |第三部分（选做·附加）|证明与拓展探究|通过证明题（如r+x为无理数），培养创新意识与理性精神|

北师大版八年级数学 · 2.1 认识实数 · 分层训练 2.1 认识实数分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A．　　B．　　C．π−3　　D．0.272727… 2．下列各数中，是有理数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D．0.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加） 3．下列说法正确的是（　　） A．无限小数都是无理数　　B．每个无理数都能在数轴上找到唯一对应点 C．带根号的数都是无理数　　D．两个无理数的和一定是无理数 4．在，，，0.2020020002…（按此规律）中，无理数有（　　） A．1个　　B．3个　　C．4个　　D．2个 5．如图，点P在数轴上与之间。根据点P的位置，它表示的数最可能是（　　） A．　　B．　　C．　　D．−π 6．如图，数轴上点A、B分别表示1和2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心、AC为半径作弧交数轴正半轴于点M。点M表示的数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．下列各数中，严格位于1.4与1.5之间的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．如图，直径为1个单位长度的圆从数轴原点O沿正方向无滑动滚动一周，圆上的标记点由O到达M。这个操作最能说明（　　） A．π是有理数　　B．无理数不能用数轴上的点表示 C．数轴上的点只表示正实数　　D．无理数π也可以用数轴上的点表示 9．设x＝0.123123123…，y＝0.101001000100001…（相邻两个1之间的0依次增加），则（　　） A．x、y都是有理数　　B．x、y都是无理数 C．x是有理数，y是无理数　　D．x是无理数，y是有理数 10．下列各式的结果是有理数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（共 5 题） 11．小数0.1001000100001…（相邻两个1之间的0依次增加）是________数。 12．的整数部分是________。 13．的小数部分是________。 14．比较大小：________。（填“＞”“＜”或“＝”） 15．在数轴上，点A表示，则点A到原点的距离为________。 三、解答题（共 3 题） 16．把下列各数按要求分类：，0，，，π−2，−0.125，1.202020…。 （1）写出其中的有理数和无理数； （2）写出其中所有的负实数。 17．如图，在Rt△OAB中，OA＝3，AB＝2，∠OAB＝90°。 （1）求OB的长度； （2）说明怎样利用线段OB在数轴上找到表示的点，并说明这个点位于哪两个相邻整数之间。 18．阅读材料：有理数的小数表示是有限小数或无限循环小数。例如，0.272727…可以化成分数＝。 （1）把0.454545…化成最简分数，并说明它为什么是有理数； （2）判断0.101001000100001…是有理数还是无理数，并说明理由。 第二部分（必做） 四、选择题（共 5 题） 19．规定[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[3.6]＝3，[−2.1]＝−3，则[]的值是（　　） A．−5　　B．−4　　C．−3　　D．3 20．数轴上点A、B分别表示和，则A、B两点间的距离是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21．如图是实数的分类示意图。已知A表示有理数，B表示无理数，C表示整数，则D表示（　　） A．正数　　B．负数　　C．分数　　D．无理数 22．设a＝，b＝，c＝π−3，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c　　B．a＞c＞b　　C．b＞a＞c　　D．c＞b＞a 23．下表给出三个常用无理数的近似值。根据表中数据，判断下列结论正确的是（　　） 数值 π 近似值 1.4142 1.7321 3.1416 A．　　B． C．　　D． 五、填空题（共 3 题） 24．的整数部分是________。 25．实数x＝4−，则x的小数部分是________。 26．在数轴上，点A表示−1，点B在点A右侧，且AB＝，则点B表示的数是________。 六、解答题（共 3 题） 27．一块正方形装饰板的面积为30 dm²，设它的边长为s dm。 （1）不用计算器，判断s位于哪两个相邻整数之间； （2）这块装饰板四周安装一圈边框，边框总长P＝4s。判断21＜P＜22是否成立，并说明理由。 28．一个圆形花坛的直径为3 m，花坛一周的长度为3π m。 （1）3π是有理数还是无理数？说明理由； （2）取π≈3.14，求花坛一周长度的近似值。 29．规定[x]表示不超过实数x的最大整数，并把{x}＝x−[x]称为x的小数部分。 （1）求[]和{}； （2）求[]和{}； （3）求{}＋{}的值，并说明理由。 第三部分（选做·附加） 30．设r是有理数，x是无理数。 （1）证明r＋x一定是无理数； （2）当r≠0时，证明rx一定是无理数，并据此判断−2是有理数还是无理数。 31．对于正整数n，定义＝。 （1）分别写出，，； （2）说明每一个都是无理数； （3）说明所有都在0与1之间且互不相同，并由此说明区间（0，1）内有无穷多个无理数。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：是分数，＝7是整数，0.272727…是无限循环小数，它们都是有理数。若π−3是有理数，则π＝(π−3)＋3也应是有理数，与π为无理数矛盾，所以π−3是无理数。 2．答案：A 解析：＝6，所以＝，是分数，属于有理数。、以及0.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加，没有固定循环节）均为无理数。 3．答案：B 解析：无限循环小数也是无限小数，但它属于有理数，所以A错误；＝2，带根号的数不一定是无理数，所以C错误；＋(−)＝0，两个无理数的和不一定是无理数，所以D错误。实数与数轴上的点一一对应，因此每个无理数都能在数轴上找到唯一对应点，B正确。 4．答案：D（2个） 解析：−＝−2，是有理数；＝1.5，是有理数；是无理数；0.2020020002…中相邻两个2之间的0依次增加，没有固定循环节，是无限不循环小数，因此是无理数。因此共有2个无理数。 5．答案：A 解析：约为1.732，所以−约为−1.732，位于−2与−1之间且与图中P的位置相符。−约为−0.707，1−约为−0.732，−π约为−3.142，均不符合。 6．答案：D（） 解析：正方形ABCD的边长AB＝1，所以由勾股定理，＝＋＝2，因此AC＝。点A表示1，且AM＝AC＝，M在A的右侧，因此点M表示1＋。 7．答案：C（） 解析：因为＝1.96＜2＜2.25＝，所以1.4＜＜1.5。＝1.4，＝1.5，＞1.5。 8．答案：D 解析：直径为1的圆滚动一周，前进的距离等于圆周长π。π是无理数，而点M在数轴上表示的数正是π，因此该操作直观说明无理数也可以用数轴上的点表示。 9．答案：C 解析：x＝0.123123123…存在固定循环节“123”，是无限循环小数，所以x是有理数；y中相邻两个1之间的0不断增加，没有固定循环节，是无限不循环小数，所以y是无理数。 10．答案：B 解析：2＋、−3、π＋1都可由“非零有理数与无理数的乘积仍为无理数”“有理数与无理数的和仍为无理数”判断为无理数；而−＝0，是有理数。 11．答案：无理 解析：该小数无限延伸，并且相邻两个1之间的0的个数不断改变，因此不存在固定循环节，是无限不循环小数，属于无理数。 12．答案：3 解析：因为9＜15＜16，所以3＜＜4，因此的整数部分为3。 13．答案：−3 解析：由3＜＜4可知其整数部分为3。小数部分＝原数−整数部分，所以为−3。 14．答案：＞ 解析：＝3.6，且＝＝12.96＜13。两个数均为正数，所以＜。 15．答案： 解析：数轴上一个点到原点的距离等于这个点所表示数的绝对值，因此点A到原点的距离为＝。 16．答案：（1）有理数：−，0，，−0.125，1.202020…；无理数：，π−2；（2）−，−0.125。 解析：−＝−3，是整数；0是整数；是分数；−0.125是有限小数；1.202020…是无限循环小数，这些都是有理数。＝2，因为是无理数，所以是无理数；π−2也是无理数。比较正负可知负实数只有−和−0.125。 17．答案：（1）OB＝；（2）见解析。 解析：（1）在直角三角形OAB中，＝＋＝＋＝13，因此OB＝。（2）以数轴原点为圆心、以OB的长为半径作弧，与数轴正半轴的交点M就表示。因为9＜13＜16，所以3＜＜4，故M位于3和4之间。 18．答案：（1）；（2）无理数。 解析：（1）设a＝0.454545…。则100a＝45.454545…，两式相减得99a＝45，所以a＝＝。因此0.454545…能写成两个整数之比，是有理数。（2）0.101001000100001…无限延伸，且相邻两个1之间0的个数依次增加，不存在固定循环节，因此是无限不循环小数，是无理数。 第二部分（必做） 19．答案：B（−4） 解析：因为9＜10＜16，所以3＜＜4，取相反数得−4＜−＜−3。不超过−的最大整数是−4，因此[−]＝−4。 20．答案：A（−） 解析：A、B两点间的距离为＝。因为＞，所以距离＝−。 21．答案：C（分数） 解析：实数分为有理数和无理数；有理数又分为整数和分数。图中A表示有理数，B表示无理数，而A内部的C已经表示整数，因此D表示分数。 22．答案：A（a＞b＞c） 解析：约为2.646，所以a＝−2约为0.646；b＝＝0.5；c＝π−3约为0.142。因此a＞b＞c。 23．答案：B 解析：根据表格，＋约为1.4142＋1.7321＝3.1463。又π约为3.1416，所以π＜＋＜3.15。 24．答案：6 解析：因为36＜38＜49，所以6＜＜7，因此的整数部分为6。 25．答案：3− 解析：因为4＜7＜9，所以2＜＜3，从而1＜4−＜2。故x的整数部分为1，小数部分为x−1＝3−。 26．答案：−1 解析：点A表示−1，点B在A右侧且AB＝，因此点B表示−1＋＝−1。 27．答案：（1）5＜s＜6；（2）成立。 解析：正方形面积为30 dm²，所以s＝。（1）25＜30＜36，因此5＜＜6。（2）P＝4。因为＝＝27.5625＜30，所以＜，即21＜P；又＝＝30.25＞30，所以＜，即P＜22。因此21＜P＜22成立。 28．答案：（1）无理数；（2）约9.42 m。 解析：（1）π是无理数，3是非零有理数，非零有理数与无理数的乘积仍为无理数，因此3π是无理数。（2）取π≈3.14，则3π≈3×3.14＝9.42，所以花坛一周长度约为9.42 m。 29．答案：（1）[]＝3，{}＝−3；（2）[−]＝−4，{−}＝4−；（3）1。 解析：因为9＜13＜16，所以3＜＜4。（1）[]＝3，故{}＝−3。（2）取相反数得−4＜−＜−3，所以[−]＝−4，故{−}＝−−(−4)＝4−。（3）两者相加：( −3 )＋( 4− )＝1。 第三部分（选做·附加） 30．答案：（1）r＋x一定是无理数；（2）r≠0时，rx一定是无理数，−2是无理数。 解析：（1）反设r＋x是有理数。因为r是有理数，所以x＝(r＋x)−r应为有理数，这与x是无理数矛盾。因此r＋x一定是无理数。（2）反设rx是有理数。因为r≠0且r是有理数，所以x＝应为有理数，与已知矛盾。因此rx一定是无理数。又是无理数，−2是非零有理数，所以−2是无理数；是有理数，因此−2是无理数。 31．答案：（1）＝，＝，＝；（2）（3）见解析。 解析：（2）若是有理数，因为n＋1是非零整数，所以＝(n＋1)也应是有理数，与为无理数矛盾。因此每个都是无理数。（3）n≥1，所以n＋1≥2；又0＜＜2，因此0＜≤＜1。若m≠n，则m＋1≠n＋1，分母不同而分子同为正数，所以≠。正整数n有无穷多个，因此区间（0，1）内可以得到无穷多个互不相同的无理数。 分层训练 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $