2.1 认识实数 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-综合应用-拓展探究”为梯度，覆盖实数概念、运算及应用，通过辨析、作图、估算等题型培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|无理数识别、实数分类、相反数与绝对值|选择题/填空题辨析概念（如无理数个数判断）| |综合应用|实数与数轴结合、估算比较、简单运算|解答题结合数轴作图与估算（如表示√5的点）| |拓展探究|跨情境剪拼、无限循环小数化分数|探究题渗透转化思想（如剪拼正方形推导√2）|

北师大版数学八年级上册 第二章　实数 1　认识实数　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【知识要点梳理】 1．无理数　无限不循环小数叫做无理数。常见的三类形式： （1）开方开不尽的数：如 ，，， 等； （2）与 有关的数：如 ，， 等； （3）有一定规律但不循环的无限小数：如 （每两个 1 之间依次多一个 0）。 2．实数　有理数和无理数统称为实数。 实数的两种分类方法如下（左：按定义分类；右：按性质符号分类）： 3．实数与数轴　实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 4．相反数、绝对值、倒数　实数 的相反数是 ；；当 时， 的倒数是 。 5．比较两个实数大小的常用方法　① 数轴法；② 估算（夹逼）法；③ 平方法（两个正数，平方大的那个数大）；④ 作差法。 6．实数的运算　有理数的运算法则与运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样适用。 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1． 在下列各数：，，，，，，（每两个 3 之间依次多一个 1）中，无理数的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 2． 下列说法中正确的是（　　） A．无限小数都是无理数　　　　　　　　B．无理数都是无限不循环小数 C．数轴上的点都表示有理数　　　　　　D．两个无理数的和一定是无理数 3． 实数 在数轴上的位置如图所示，则 的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4． 估计 的值在（　　） A．2 与 3 之间　　B．3 与 4 之间　　C．4 与 5 之间　　D．5 与 6 之间 5． 已知 ，则下列四个数中最小的是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 若 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7． 一个数的相反数是 ，则这个数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8． 一个正方形的面积是 ，它的边长为 ，则 满足（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． 的相反数是＿＿＿＿＿＿， 的绝对值是＿＿＿＿＿＿。 10． 比较大小（填“”“”或“”）：＿＿＿＿；　＿＿＿＿；　＿＿＿＿。 11． 在 ，，，，，（相邻两个 1 之间依次多一个 0）， 这些数中，有理数有＿＿＿＿个，无理数有＿＿＿＿个。 12． 的整数部分是＿＿＿＿＿＿，小数部分是＿＿＿＿＿＿。 13． 数轴上点 表示 ，点 表示 ，则 、 两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿。 14． 请写出一个大于 且小于 的无理数：＿＿＿＿＿＿（答案不唯一）。 15． 计算：＿＿＿＿＿＿；　＿＿＿＿＿＿。 16． 在数轴上，与表示 的点相距 个单位长度的点所表示的数是＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（共 44 分） 17．（8 分）把下列各数填入图中相应的集合圈内： （其中 中相邻两个 2 之间依次多一个 0） 18．（8 分）如图，每个小方格的边长都是 个单位长度。 （1）图中直角三角形的斜边长是多少？请说明理由； （2）请在数轴上作出表示 的点 ，并简要写出作法； （3） 在数轴上对应的点在原点的哪一侧？它与点 有什么关系？ 19．（8 分）估算： （1）求 的近似值（精确到 ），写出你的估算过程； （2）不用计算器，比较 与 的大小，并说明理由。 20．（6 分）已知 的整数部分是 ，小数部分是 。 （1）求 、 的值；　（2）求 的值；　（3）求 的绝对值。 21．（6 分）实数 、 在数轴上的位置如图所示。 （1）在 、、、 中，最大的数是＿＿＿＿＿＿，最小的数是＿＿＿＿＿＿； （2）化简：。 22．（8 分）如图，长方形 中，，，点 与数轴上表示 的点重合，点 在数轴的正半轴上。以点 为圆心、对角线 的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 。 （1）求对角线 的长（结果保留根号）； （2）点 表示的数是多少？ （3）点 表示的数在哪两个连续整数之间？ 四、拓展探究（共 8 分） 23．（4 分）如图，把两个边长都为 的小正方形沿对角线剪开，再拼成一个大正方形。 （1）大正方形的面积是多少？它的边长是多少？ （2）大正方形的边长是有理数还是无理数？请说明理由； （3）估计大正方形的边长在哪两个连续整数之间。 24．（4 分）阅读材料：我们知道，无限循环小数都可以化成分数。例如把 化成分数： 设 ，则 ，两式相减得 ，即 ，所以 。 请仿照上面的方法解决下列问题： （1）把 化成分数； （2）把 （即 ）化成分数； （3）由此你能得到什么结论？无限循环小数是有理数还是无理数？ 参考答案与解析 一、选择题 1．C 解析：有理数与无理数的判别要看小数形式。 是分数， 是整数， 是有限小数， 是分数，它们都是有理数； 是开方开不尽的数， 是与 有关的数， 是有规律但不循环的无限小数，它们都是无理数，共 3 个。 易错点： 是 的近似值，但它本身是有限小数，属于有理数； 同理。 2．B 解析：A 错误，无限循环小数（如 ）是无限小数，但它是有理数；B 正确，这正是无理数的定义；C 错误，数轴上的点与实数一一对应，也有点表示无理数；D 错误，如 ， 是有理数。 3．A 解析：由数轴可知 ，所以 ，。 于是 。 方法提示：去绝对值的关键是先判断绝对值符号内式子的正负。 4．C 解析：因为 ，，而 ，所以 ，即 在 4 与 5 之间。 5．A 解析：先求各数的绝对值：，，，。 因为 ，负数中绝对值大的反而小，所以 最小。 6．C 解析：绝对值等于 的数有两个，它们互为相反数，即 或 ，可以写作 。 7．A 解析：若这个数为 ，则 的相反数为 ，所以 。 8．B 解析：由正方形面积公式得 ，且 。因为 ，所以 。 二、填空题 9． ；　 解析： 的相反数是 ；因为 ，所以 。 10． ；　；　 解析：① 比较 与 ：因为 ，且两数都是正数，所以 。 ② ，两个负数比较，绝对值大的反而小，所以 。 ③ ，而 ，所以 。 11． ；　 解析：有理数有 、、、，共 4 个；无理数有 、、，共 3 个。 12． ；　 解析：因为 ，所以 ，整数部分是 3。小数部分 原数 整数部分 。 易错点：小数部分不能写成近似值 ，必须用含根号的准确形式表示。 13． 解析：数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值：。 14． （或 、、 等，答案不唯一） 解析：只要该数是无限不循环小数且在 1 与 3 之间即可。注意 ，不符合要求。 15． ；　 解析：① 把 看作一个整体，（用了分配律）。 ② （用了加法交换律与结合律）。 16． 或 解析：该点可能在表示 的点的右边，也可能在左边，所以有两个答案，不要漏解。 三、解答题 17．（8 分） 有理数集合：，，，，； 无理数集合：，，，。 说明： 是有限小数，是有理数； 中含有 ，是无理数；、 都开方开不尽，是无理数。 既不是正数也不是负数，但它是有理数（整数）。 18．（8 分） （1）斜边长是 。 理由：以这条斜边为边长向外作一个正方形，这个正方形由 4 个与原直角三角形全等的三角形拼成，每个三角形的面积是 ，所以正方形面积为 。设斜边长为 ，则 ，且 ，所以 。 （2）作法：以原点 为圆心，以直角三角形的斜边长（即 ）为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为点 ，点 表示的数就是 。 （3） 对应的点在原点的左侧。它与点 关于原点对称，即两点到原点的距离相等，都等于 。 19．（8 分） （1）。 因为 ，所以 ； 又 ，，所以 ； 再取 ，，所以 。精确到 ，得 。 （2）。 理由：由 ，而 ，因为 ，两个数都是正数，平方大的数就大，所以 。 20．（6 分） （1）因为 ，所以 。因此整数部分 ，小数部分 。 （2）。 （3）。因为 ，所以 ，故 。 21．（6 分） （1）最大的数是 ；最小的数是 。 解析：由数轴可知 ，且 ，所以 ，故最大的是 ，最小的是 。 （2）因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，。 所以原式 。 22．（8 分） （1）在长方形 中，，，。 由勾股定理得 ，因为 ，所以 。 （2）由作图可知 ，点 在数轴的正半轴上，而点 表示的数是 ，所以点 表示的数是 。 （3）因为 ，所以 ，即点 表示的数在 与 之间。 方法小结：要在数轴上作出表示无理数的点，通常先用勾股定理构造出长度为该无理数的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧与数轴相交。 四、拓展探究 23．（4 分） （1）两个小正方形的面积都是 ，剪拼后面积不变，所以大正方形的面积是 。 设大正方形的边长为 ，则 ，且 ，所以 。 （2）是无理数。 理由：若 是整数，因为 ，所以 ，此时 不可能是整数；若 是分数，则 仍是分数，不可能等于整数 2。所以 既不是整数也不是分数，即 不是有理数， 是无理数。 （3）因为 ，所以 ，即大正方形的边长在 1 与 2 这两个连续整数之间。 24．（4 分） （1）设 ，则 ，两式相减得 ，即 ，所以 ，即 。 （2）设 。由于循环节有两位数字，两边同乘 100，得 ， 两式相减得 ，即 ，所以 ，即 。 （3）结论：任何一个无限循环小数都可以化成分数，所以无限循环小数是有理数。 方法小结：循环节有几位数字，就把等式两边同时乘以 的几次方（一位乘 10，两位乘 100，三位乘 1000），再作差消去无限循环的部分。这也说明：只有无限不循环小数才是无理数。 【本节易错提醒】 1．不要看到根号就认为是无理数：如 、 都是有理数，关键看能否开得尽。 2．不要把“无限小数”与“无理数”混为一谈：无限循环小数是有理数。 3．表示无理数的整数部分、小数部分时，小数部分必须写成“原数 整数部分”的准确形式。 4．数轴上两点间距离用差的绝对值表示，注意结果一定是非负数。 5．已知绝对值求原数时，要考虑正、负两种情况，避免漏解。 学科网（北京）股份有限公司 $