2.2 平方根与立方根 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第二章“平方根与立方根”同步练，聚焦新授课知识巩固，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|算术平方根、平方根、立方根概念及基本运算|选择题、填空题前半部分，如概念辨析（第2题）、直接开方（第9题），强化符号意识| |提升层|双重非负性、估算、方程求解|解答题（17-22题），如平方根与立方根综合计算（19题）、实际问题中的估算（22题），发展运算能力| |拓展层|规律探究与实际应用|拓展探究题（23-24题），如小数点移动规律（23题）、体积与棱长关系（24题），培养推理意识与应用意识|

北师大版数学八年级上册 第二章　实数 2　平方根与立方根　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【知识要点梳理】 1．算术平方根　一般地，如果一个非负数 的平方等于 ，即 ，那么这个非负数 叫做 的算术平方根，记作 （读作“根号 ”），其中 叫做被开方数。 双重非负性： 有意义的条件是 ，并且 。规定 。 2．平方根　如果 ，那么 叫做 的平方根（也叫二次方根），记作 。 ① 正数有两个平方根，它们互为相反数；② 的平方根是 ；③ 负数没有平方根。 求一个数 的平方根的运算，叫做开平方；开平方与平方互为逆运算。 3．立方根　如果 ，那么 叫做 的立方根（也叫三次方根），记作 。 ① 任何一个实数都有且只有一个立方根；② 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 的立方根是 ；③ 。求一个数的立方根的运算叫做开立方。 4．常用等式　（）；　；　；　。 5．估算　用“夹逼法”：找到与被开方数相邻的两个能开得尽方的数，逐步缩小范围。例如由 得 。 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1． 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2． 下列说法中正确的是（　　） A． 的平方根是 　　　　　　　　　B． 没有立方根 C．负数没有平方根　　　　　　　　　　D． 没有平方根，也没有立方根 3． 的平方根是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4． 下列各式中，计算结果正确的是（　　） A．　　　　　　　　　B． C．　　　　　　　　　　　D． 5． 若 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 与 最接近的整数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7． 一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8． 若 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． ＿＿＿＿＿＿；　＿＿＿＿＿＿；　＿＿＿＿＿＿。 10． 的平方根是＿＿＿＿＿＿，算术平方根是＿＿＿＿＿＿。 11． ＿＿＿＿；　＿＿＿＿；　＿＿＿＿。 12． 若 有意义，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 13． 已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿；　已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 14． 如图，一个正方体的体积是 ，则它的棱长是＿＿＿＿ ，表面积是＿＿＿＿ 。 15． 比较大小（填“”“”或“”）：＿＿＿＿；　＿＿＿＿。 16． 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是＿＿＿＿＿＿；若一个数的立方根等于它本身，则这个数是＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（共 44 分） 17．（8 分）求下列各数的平方根和算术平方根： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 18．（8 分）求下列各数的立方根： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 19．（8 分）计算： （1）；　　　（2）； （3）；　　（4）。 20．（6 分）求下列各式中 的值： （1）；　　（2）；　　（3）。 21．（6 分）已知 的平方根是 ， 的算术平方根是 ，求 的平方根。 22．（8 分）如图，某学校要修建一个面积为 的正方形花坛。 （1）求这个正方形花坛的边长 （结果保留根号）； （2） 在哪两个连续整数之间？ （3）求 的近似值（精确到 ），并写出估算过程。 四、拓展探究（共 8 分） 23．（4 分）规律探究：已知 ，。 （1）不用计算器，求 与 的近似值； （2）观察 、、 与它们算术平方根的小数点位置，你发现了什么规律？ （3）已知 ，，请猜想开立方时小数点移动的规律。 24．（4 分）探究：把一个棱长为 的正方体铁块熔铸成一个体积是它的 倍的大正方体。 （1）大正方体的体积是多少？棱长是多少？ （2）大正方体的棱长是小正方体棱长的多少倍？ （3）如果正方体的体积扩大为原来的 倍，那么棱长扩大为原来的多少倍？ 参考答案与解析 一、选择题 1．A 解析： 表示 的算术平方根，是非负数。因为 ，所以 。 易错点： 的平方根是 ，但 只表示其中正的那一个，即 。 2．C 解析：A 错误， 的平方根是 ， 只是它的算术平方根；B 错误，任何实数都有立方根，；C 正确，因为任何实数的平方都是非负数，所以负数没有平方根；D 错误， 的平方根和立方根都是 。 3．D 解析：先算 ，再求 的平方根，因为 ，所以答案是 。 方法提示：这类“套娃”题必须由内到外逐层计算，先化简根号内部再求平方根。 4．B 解析：A 错误，，结果是非负数；B 正确，因为 ；C 错误，；D 错误，。 5．B 解析：由立方根的定义， 等价于 。 注意：立方根只有一个，不要写成 。 6．B 解析：因为 ，，且 ，所以 。又 ，说明 ，所以 更接近 。 7．B 解析：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和等于 ，所以 ，即 ，解得 。 此时两个平方根为 和 ，所以这个正数是 。 8．A 解析：因为 ，，两个非负数的和为 ，所以它们必须同时为 。 由 得 ，；由 得 。所以 。 二、填空题 9． ；　；　 解析：，故 ；，故 ；因为 ，所以 。 10． ；　 解析：因为 ，所以平方根是 ，其中正的那个 是算术平方根。 11． ；　；　 解析：（先开方再平方，还原）；（先平方再开方，结果为绝对值）；。 对比记忆： 要求 ；而 对任何实数 都成立。 12． 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即 ，解得 。 13． ；　 解析：由 得 ；由 得 。 14． ；　 解析：设棱长为 ，则 ，所以 。 正方体有 6 个全等的正方形面，表面积 （）。 15． ；　 解析：① 因为 ，且两数都是正数，所以 。 ② 因为 ，而 ，被开方数越小立方根越小，所以 。 16． 或 ；　、 或 解析：设这个数为 。由 得 ，解得 或 （注意 ）。由 得 ，解得 、 或 。 易错点：算术平方根不能为负，所以第一空不含 。 三、解答题 17．（8 分） （1）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 （2）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 （3）因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 。 （4）先化简：。因为 ，所以它的平方根是 ，算术平方根是 。 方法小结：求平方根前一定要先把被开方数化简为一个具体的非负数。 18．（8 分） （1）因为 ，所以 。 （2）因为 ，所以 。 （3）因为 ，所以 。 （4）因为 ，所以 。 19．（8 分） （1）原式 。 （2），，所以 ，。 原式 。 （3），，，原式 。 （4），，原式 。 注意运算顺序：先算开方（乘方），再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的。 20．（6 分） （1）由 得 是 的平方根，所以 。 （2）由 得 ，，所以 。 （3）由 得 ，所以 。 易错点：开平方得到两个结果（不要丢掉负根）；开立方只有一个结果。 21．（6 分） 因为 的平方根是 ，所以 ，解得 。 因为 的算术平方根是 ，所以 。把 代入，得 ，解得 。 所以 。因为 ，所以 的平方根是 。 易错点：最后一步问的是“平方根”，答案必须写 ，写成 就错了。 22．（8 分） （1）由正方形面积公式得 ，且 ，所以 （）。 （2）因为 ，所以 ，即 在 与 之间。 （3）因为 ，，所以 ；再取 ，，所以 。精确到 ，得 。 四、拓展探究 23．（4 分） （1）因为 ，，所以 ；因为 ，所以 。 （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就向右（或向左）移动一位。 例如：（小数点右移两位），（小数点右移一位）；（小数点左移两位），（小数点左移一位）。 （3）猜想：被开方数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向同一方向移动一位。 验证：（右移三位），（右移一位），猜想成立。 24．（4 分） （1）小正方体的体积为 （），所以大正方体的体积为 （）。 设大正方体棱长为 ，则 ，所以 （）。 （2），所以大正方体的棱长是小正方体棱长的 倍。 （3）设原棱长为 ，体积为 ；新体积为 ，所以新棱长为 ，即棱长扩大为原来的 倍。 结论：体积扩大为原来的 倍时，棱长只扩大为原来的 倍。 【本节易错提醒】 1．区分“平方根”与“算术平方根”： 的平方根是 （两个），算术平方根是 （一个，非负）。 2． 中的 必须非负；而 中的 可以是任意实数。 3．（）与 意义不同，不要混用。 4．由 （）解得 ，切勿漏掉负根；由 解得 ，只有一个解。 5．“某数的平方根是 ”意味着这个数是 ，而不是 。 学科网（北京）股份有限公司 $