山东省日照实验高级中学等校2026-2027学年高三年级上学期开学考试数学试题

参照密级管理★启用前 　试卷类型：A 2024级高三上学期开学考试 数学 2026.09 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 3．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则 A． B． C． D． 6．已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．在中，，，为线段上一点，且满足．若的面积为，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知关于的不等式对任意恒成立．则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知函数，下列说法正确的是 A．若是奇函数，则 B．若是减函数，则 C．所有零点的平方和等于 D．当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 11．已知数列的前项和为，若，，则 A． B．数列为递减数列 C．数列的最大项是2，最小项是0 D．对任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，，若，则_______． 13．函数与函数公切线的斜率为_______． 14．已知数列为等差数列，，存在正整数，使得． 若集合有3个元素，则的可能取值有_______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知向量，，设． （1）求函数的单调递增区间； （2）记的内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，求的周长． 16．（15分） 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数在上存在极大值，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知数列的前项和为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 18．（17分） 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； （3）当时，对任意的，满足．证明： ． 19．（17分） 定义域为的可导函数在其图像上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若，，成等差数列，则称为“等差函数”；若，，成等差数列且，，均为整数，则称为“整数等差函数”． （1）设，判断是否为“整数等差函数”，并说明理由； （2）当时，若为“整数等差函数”，求的最大值； （3）若对任意的，，当时，总有，则称为上的不减函数．若的导函数是上的不减函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立．证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 学科网（北京）股份有限公司 $2024级高三上学期开学考试 数学试题答案 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1-4 BDAD 5-8 BCAB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.ABD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.√2 13.1或e 14.4或者无数个 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由题意，f(x)=a.b=sinxcosx+√3cos2x …1分 _sn2r+51+cos2对) 22 sin 2x+ π)，√5 +32 ……4分 令2：子2x+骨<2k+号解得：k 12sr≤kr+ 121 放y-)的单调递增区间为k:晋k红+音k:刀 …6分 (2)由f(A)=V5得sm2A+）=3 32 因为4Q0,所以24受-管）解将4= …8分 因为esind=方xe×分5，所以c=4, ……………………10分 由余弦定理得ad=B+c-2bc0s4=√厅+4-2×4W55=7,所以a=万.…12分 2 故△ABC的周长为a+b+c=√7+√5+4. …13分 16.解：(1)因为f(1)=0,故1-1m-2+0=0,故=-1，…1分 f(x)=x2-x-Inx, 求导得f(x)=2x-1-上-区-2x+D,x∈(0，+0) …2分 令f(x)>0得x∈(1，+∞)，此时f(x)单调递增： 令f'(x)<0得x∈(0,1)，此时f(x)单调递减： 所以，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1)…6分 高三数学试题第1页共5页 (2)f)=2-m+2)+m-2=m+2r+m2x-m)-1) …7分 若m≤0，则x∈(0,1)时，f'(x)<0,x∈(1，+o)时，f'(x)>0, 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍： …9分 若0<受<1即0<m<2,则xe(受fk0, xe0)u+o)时，f0, 故x-受为了(y的极大值点，符合题设要求： …11分 若m=2,则x∈(0，+n)时，f'(x)≥0，f(x)无极值点，舍；…12分 若空1即m>2,则xe1时，了0， eo经+oj时.f国>0， 故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求： …14分 综上，m的取值范围是{>0且≠2}. …15分 17.解：(1)因为2n-2,Sn,4a.成等差数列， 所以2Sn=2n-2+4an→Sn=h-1+2a(*), 当n≥2，neN*时，Sn-1=n-2+2a-1(**), (*)-(*),得4.=1+20-20-1→20n-1=1+4.→an-1=20n-1-2…3分 →4.-1=2(a-1-1), 由Sn=n-1+2a,得S=4=1-1+2a→a1=0, 所以数列{a。-1}是首项为4-1=0-1=-1≠0，公比为2的等比数列.…5分 4-1=-1×21→4=1-2"-1， …6分 (2)b.=log2(1-a)=log2(1-1+2m-1)=n-1, …7分 由题意可知：G1=2-1,c2=4-1,c3=8-1,,Cn=2”-1,…8分 G+C3+C3+…+Cn>2026→2-1+22-1+22-1+…+2”-1>2026 -20-2”-m>202632H-2-m>2026 …10分 1-2 设Tn=2”1-n-2, I41-T,=[22-(n+1)-2]-(2-n-2)=2-1, 因为n∈N*,所以2+-1>0， 即T,#1-Tn>0→T+1>Tn, 高三数学试题第2页共5页 所以数列T,}是递增数列， …12分 因为T=210-9-2=1013<2026,I10=21-10-2=2036>2026, 所以使得不等式C,+C3+C3+…+cn>2026成立的最小正整数n的值为10.…15分 18.解：(1)因为f"(x)=e*(x-2)-ar+2a=(e*-a(x-2) 故f(0)=3(a-1),f'(0)=2(a-1), 因此曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为：y-3(a-1)=2(a-1)x-0) 即y=(a-1)(2x+3). …………………4分 (2)f(x)的定义域是R,f'(x)=e(x-2)m+2a=(e-a)(x-2), ①当1≤0时，函数f(x)在(-0,2)上递减，在(2，+0)上递增， 故函数f(x)至多有两个零点，不合题意，舍去： …5分 ②当0<a≤e2时， ()当a=e2时，lna=2,f'(x)≥0恒成立， 故函数f(x)在R上单调递增，不合题意，舍去： ……6分 (i当0<a<e时，lna<2, 当x∈(-o,ha时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当xe(lha,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f倒在x=ha处取得极大值fa)-oda(6-la, 在x=2处取得极小值f(2)=-e2+5a. f(Ina)>0 故要使得函数f(x)有3个零点，需要 (/2)<0即 Lalna(6-ma)>0 5a-e2<0 1<a<e 解之得 …8分 a< ,故1<a<5 5 此时=空0到=号品0 所以3x∈(2,3)，使得f(:)=0,即f(x)在(2，+∞)上有1个零点： x,∈(lna,2),使得f(s)=0,即f(x)在(ha,2)上有1个零点： 3x3∈(-1，nad,使得f()=0,即f()在(-o,ha)上有1个零点. 所以，f(x)有3个零点时，实数a的取值范围是a,) …10分 高三数学试题第3页共5页 (3)由(1)知f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=(a-1)(2x+3), 设g(x)=(a-1)(2x+3),下面证明：当x<0时，f(x)<g(x) 设h(x)=g(x)-f(x), 则h(x)=g(x)-f'(x)=-(x-2)(e*-a+2a-2,…12分 设t(x)=h(x),则t(x)=-(x-l)e+a, 显然a>1,x<0时，t'(x)>0,所以t(x)递增，则t(x)<t(0)=0,即l(x)<0, 所以h(x)递减，则h(x)>h(0)=0,从而g(x)-f(x)>0,即f(c)<g(). 所以f()<g(i),f()<g(6),…,f(x)<g(x),… …15分 得f(s)+f(s)+…+(s)<(a-1)(2x+3)+(a-1)(2x+3)+…+(a-1)(2x.+3) =(a-1)(2x1+2x3+…+2xn+3n0. 即∑f(x)<(a-13n-2). ……………17分 i 19.解：)对于f,直线4C的斜率ke=当=雪3-+3延=x,+,-3, x3-x1 x3-x 因为f'(x)=2x-3,所以曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为k=2x2-3, 由题意k4C=k可得+x-3=2x-3即x+x=2x,所以，，x成等差数列， 取x=2,d=1,则x,6,x成等差数列且均为整数， 故∫(x)是“整数等差函数” ………4分 (2)因为f(x)为“整数等差函数”，所以x,x,x成等差数列且x,x,x均为整数， 设公差为d,则d=x-x=x-x>0,且deN, 1 直线4C的斜率kc=五-m+1mr+ (x1+x3) 水3-x x3-x (x+1(nx+1) …5分 2nx 因为f'(x)= (mr2+1 21x, 所以曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为a= (x号+1 2， …6分 由题意，k4c=kBP m(x+x3) 2x2 (n+1)(nx+1 (+1 因为x≠0，>0 所以转化为(x+1=(mx+1)(mc+1）又x=-d,=+d, →mx+2x=m(x-d'(x+d+mx-d+(x+d） 高三数学试题第4页共5页 2 →m= 2x-d …………9分 因为x,∈Z,d∈N,所以(2x-d)∈Z,又m>0,所以(2x-d)的最小值为1， 可取2=d=1使等号成立，故的最大值为2·…10分 (3)①充分性：因为f(x)为常值函数，所以f'(x)=0, 任意取等差数列，，，则直线4AC的斜率40=台-当=0， x3-x 曲线y=f(x)在点B处的切线斜率为k=∫'(x)=0, 所以4C=g,所以f(x)为“等差函数”.…12分 ②必要性：因为f(x)为“等差函数”，所以x,x2,x3成等差数列， 设公差为d,则d=名-书=-名>0，直线4C的斜率元c=为出=f飞）f】 x3-x1 x3-x1 曲线y=f)在点B处的切线斜率为。=了(5)，由题意，友0，→，-f)了x) x3-xj f(x:+d)-f(x2-d)=2df(x2), 令g(x)=f(x+x)-f(x-x)-2f'(x),x>0, g(x)=f'(x+x)+f'(x-x)-2f'(x) =f(x3+x+T)+f(x-x+T)-2f(x+T), h(x)=f(x2+x+T)+f(x-x+T)-2f(x+T), (x)=f(x+x+T）-f(-x+T),…14分 因为f(x)在R上为不减函数，所以H(x)≥0，h(x)在(0，+n)上为不减函数， 因为h(0)=0,所以g'(x)=h(x)≥0，g(x)在(0+)上为不减函数， 因为g(0)=0,所以g(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 又g(d)=0,由g(x)的单调性知g(x)=0,x∈(0，d), 故g(x)=0,x∈(0，d),(x)=0,x∈(0，d), f'()=C,x∈(x-d+T,x+d+T),C为常数， f(x)=C,xE(x2-d+2T,x+d+2T),f(x)=0,xE(x-d+2T,x+d+2T), f(x)=0,x∈(x,-d+3T,x+d+3T), …16分 接下来，一方面，因为f(x+T)=f'(x),且(x)在R上为不减函数， 所以f(x)在R上为不减函数，故f'(x)≥0，f(x)≥0， 由f(x)=0,x∈(x-d+3T,x+d+3T),可得f(x)=0,x∈(-o,x+d+3T), 另一方面，因为f(x+T)=f'(x), 所以f'(x)=0,x∈(-o,x3+d+3T),可得f(x)=0,x∈(-n,x+d+4T), 以此类推，f(x)=0在R上恒成立，即f(x)为常值函数. 综上，由①②知，f(x)为“等差函数”的充要条件是f(x)为常值函数，…17分 高三数学试题第5页共5页