思维拓展专题 3：分数除法（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学分数除法单元复习讲义通过表格系统梳理知识体系，将倒数、分数除法计算等五大模块的核心内容、关键方法和易错点集中呈现，并用解题方法速查表归纳倒数速求法等五种技巧，结合转化、建模等思维方法构建知识脉络。 讲义亮点在于分层精练设计，能力进阶篇巩固基础，思维拓展篇如“水箱放水”问题训练递推思维，结合例题精讲和易错避坑指南培养运算能力与推理意识。解析详细且提供思维路径，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题 3：分数除法（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材） 适用范围：人教版（2024 年新教材）六年级上册　第三单元　分数除法　｜　含例题精讲 · 易错避坑 · 分层精练 · 逐题解析 　目　录 本讲学习目标　………………………………　1 第一部分　核心方法论与知识体系构建　………………………………　2 　　一、知识体系全景梳理　………………………………　2 　　二、解题方法图表记忆法　………………………………　3 　　三、数学思维提升　………………………………　4 第二部分　典型例题解构与解题策略精讲　………………………………　6 第三部分　易错避坑指南　………………………………　10 第四部分　分层进阶专题精练　………………………………　12 　　一、能力进阶篇（★★★）　………………………………　12 　　二、思维拓展篇（★★★★）　………………………………　14 第五部分　精准解析　………………………………　15 　本讲学习目标 本讲对应新教材第三单元的全部内容，共安排 5 道精讲例题、5 条易错提醒和 14 道分层练习。学完以后，你应该能够独立完成下面五件事。 目标1　理解倒数的意义（乘积是1的两个数互为倒数），能正确求出真分数、假分数、带分数、整数的倒数，记住1的倒数是1、0没有倒数。 目标2　掌握分数除以整数的计算方法——分数除以一个不为0的整数，等于乘这个整数的倒数，并能借助折纸、图示说明这条法则的算理。 目标3　理解并运用“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”这条法则，正确计算整数除以分数、分数除以分数，不再把除号和乘号弄混，也不再把被除数和除数的倒数搞反。 目标4　能按“没有括号先算乘除、后算加减，除法统一转化成乘法后再一起约分”的顺序完成分数混合运算与简算。 目标5　能用方程或算术两种方法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题，并能借助线段图分析和倍型、差倍型分数应用题。 　第一部分　核心方法论与知识体系构建 分数除法是本册教材第三单元的核心内容，它上承分数乘法（分数除法的每一步都要转化成分数乘法来算），下启后面几个单元里大量“求单位1”的应用题，是整个分数知识链条上非常关键的一环。这一部分我们先把整个单元的知识脉络摊开来看一遍：哪些法则必须记牢，哪些方法可以灵活选用，哪些地方最容易在考试中丢分。把这张“地图”先装进脑子里，后面每遇到一道题才知道该往哪个方向走。 　一、知识体系全景梳理 整个单元其实只围绕一条主线展开——弄清楚“倒数”是什么，再把“分数除以整数”“一个数除以分数”统一转化成“乘倒数”这一种运算，最后把这条转化关系用到混合运算和应用题上去。下面这张表把五个知识模块的核心内容、关键方法和常见失分点集中在一起，建议同学们一边读，一边在草稿本上给每一行补一个自己想到的例子。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 倒数的认识 乘积是1的两个数互为倒数，如和；分子分母交换位置（0除外）就能找到一个数的倒数，非0整数的倒数是分子为1、分母是这个整数的分数（如5的倒数是），1的倒数是1，0没有倒数 求一个数的倒数：真分数、假分数直接交换分子分母；带分数先化成假分数再交换；整数看作分母是1的分数再交换 求带分数的倒数时只把分数部分的分子分母颠倒（如把2的倒数直接写成2），忘了先化成假分数再交换 分数除以整数 分数除以一个不为0的整数，表示把这个分数平均分成若干份，求每份是多少，如÷2表示把平均分成2份 分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的倒数，即除号变乘号、除数变倒数，能约分的要先约分 把除法直接算成乘法却忘了先把除数变倒数，或者混淆了“分数乘整数”与“分数除以整数”这两条法则 一个数除以分数 整数除以分数、分数除以分数，都表示已知一份（或几份）对应的量，求1份或另一个未知量，如12÷ 除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数：除号变乘号，除数（即分数）变成它的倒数，被除数不变 只把除数颠倒却忘了把除号也变成乘号，或者把被除数颠倒了——该取倒数的是除数，不是被除数 分数混合运算 分数加、减、乘、除混合运算的运算顺序与整数、小数完全相同：没有括号先算乘除、后算加减，有括号先算括号里面 遇到除法先统一转化成乘法（除号变乘号，除数变倒数），再把整个算式当作连乘式，边排列因数边约分 算式里除法和加减法同时出现时按从左到右的顺序做，忘了“先乘除、后加减”这条基本规则 用方程或算术解决问题 已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位1未知），可以设单位1为x列方程，也可以直接用除法：部分量÷对应分率＝单位1的量；和倍、差倍型可以设其中一个量为x，把另一个量译成含x的式子 先找准题目里的单位1，再判断已知的是部分量还是单位1：知单位1、求部分量用乘法；知部分量、求单位1用除法 把“已知部分量求单位1”的除法算成了乘法，或者在和倍、差倍题里把两个量的和、差算式列反了 　二、解题方法图表记忆法 方法是死的，题目是活的。为了让同学们在考场上能迅速调出对应的招式，我们把本单元最常用的五种方法整理成下面这张速查表。表里的口诀不必死记硬背，先把操作步骤理解透，再回头念一遍口诀，自然就记住了。做练习卡壳的时候，翻回这一页对照着找方法。 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 倒数速求法 求各类数（真分数、假分数、带分数、整数）的倒数 ①带分数先化成假分数②交换分子、分母的位置（整数看成分母是1的分数）③1的倒数是1，0没有倒数 分子分母调个位，0没有、1还是1 除法转乘法法 分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数的计算 ①除号变乘号②除数变成它的倒数（被除数不变）③按乘法法则计算，能约分先约分 除号变乘号，除数倒个个 连除连乘简算法 分数连续乘除混合式的简算 ①把式中所有除法统一变成乘倒数②整式变成连乘式③边排列因数边约分，不留到最后一步 除号先变身，约分趁早分 单位1判断法 分数除法、乘法应用题里判断该乘还是该除 ①找出题目里的单位1②看已知的是单位1还是部分量③知单位1求部分量用乘法，知部分量求单位1用除法 知1求部分要用乘，知部分求1要用除 和倍差倍方程法 已知两个量的和（或差）与其中的倍数（分率）关系，求这两个量 ①设其中一个量为x②把另一个量译成含x的式子（如1+几分之几或1-几分之几）乘x③按“和”或“差”的关系列方程，解出x 一个设x一个译，和加差减两不离 　三、数学思维提升 培优和课内练习最大的区别，不在于数字更大、步骤更多，而在于思考的角度更多。本单元最适合训练下面四种思维方式，每一种都配了一个小例子。请同学们看到例子先自己想一想，再往下看讲解，效果会好得多。 ◆ 转化思维　分数除法计算的核心就是一次转化——把陌生的“除以一个数（0除外）”转化成熟悉的“乘这个数的倒数”。只要牢记这条转化关系，不管被除数、除数是整数还是分数，都能统一用分数乘法的法则来算，不必再另外记一套除法法则。 专题示例：计算÷。除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数，的倒数是，所以÷＝×；分子6与分母2有公因数2，约分后得到×，也就是×3＝＝1。 ◆ 建模思维　分数除法应用题最容易在“单位1”上犯迷糊——分清楚已知的是单位1还是部分量，是解题的第一步：已知单位1、求部分量用乘法；已知部分量、求单位1用除法。 专题示例：一根绳子用去了后还剩12米，这根绳子原来长多少米？剩下的12米对应的分率是1－＝，这里已知的是部分量（12米）和它对应的分率（），要求的是单位1（绳子原长），用除法：12÷＝12×＝30（米）。 ◆ 递推思维　有些分数除法问题里，总量要经过好几次变化才得到已知的结果，这时不能一步到位，必须按时间顺序倒着一步步往回推，每一步都要弄清楚这一步里谁是单位1。 专题示例：一堆煤，第一天烧了，第二天再烧掉余下的，还剩18吨，这堆煤原来有多少吨？倒着推：18吨对应第一天烧后剩下量的（1－）＝，先求第一天烧后剩下的量：18÷＝24（吨）；这24吨恰好对应原来总量的（1－）＝，再求原来的总量：24÷＝36（吨）。 ◆ 比较思维　比较几个数的倒数和1的大小关系时，不必先求出倒数再比，记住一条规律就能直接判断：真分数（小于1）的倒数一定大于1；大于1的假分数的倒数一定小于1；1的倒数还是1本身。 专题示例：不计算，比较、、1这三个数的倒数与1的大小关系。是真分数（小于1），它的倒数大于1；是假分数（大于1），它的倒数小于1；1的倒数还是1，大小不变。 这一部分的三张“地图”不是让大家背下来的，而是留着随时翻的。做题时先想清楚“这道题属于哪个知识模块、该调用哪种方法”，再动笔计算，正确率往往比闷头硬算高得多。接下来我们进入例题精讲，看看这些方法在真实题目里是怎样落地的。 　第二部分　典型例题解构与解题策略精讲 看懂一道题和会做一道题之间，隔着“方法”两个字。下面五道例题分别对应本单元的五个核心考点，每一道都按“读题—分析—规范解答—方法点拨”四步展开。请同学们先用纸遮住解答自己做一遍，再对照讲解，重点看自己是在哪一步卡住的。 【例 1】倒数的认识与分数除以整数　 科技节手工小组要把一根米长的电线，平均剪成5段做小天线，每段电线长多少米？ 分析　求“平均每段是多少”，是把米平均分成5份，用分数除以整数：÷5。分数除以一个不为0的整数，等于乘这个整数的倒数——先想清楚5的倒数是多少：因为5×＝1，所以5的倒数是。除号变乘号、除数变倒数，这道题就转化成了熟悉的分数乘法。 规范解答　 列式：÷5 5的倒数是（5×＝1） 除号变乘号、除数变倒数：÷5＝× 能约分的要先约分：的分子5与的分母5约分，×＝ 答：每段电线长米。 方法点拨　分数除以整数，第一步永远是把整数写成分母是1的分数、再交换分子分母得到它的倒数（如5写成分母是1的分数，倒数就是），第二步把除号变乘号，第三步按分数乘法的法则计算。千万不要只把分子除以整数——遇到分子不能被整除时这样做根本行不通。 【例 2】一个数除以分数的算理与计算　 运动会长跑测试中，小刚用小时跑了4千米。（1）照这样的速度，小刚1小时能跑多少千米？请分两步想一想，再列出综合算式。（2）小丽用小时跑了3千米，照这样的速度，她1小时能跑多少千米？请直接用“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”列式计算。 分析　第（1）问已知小时跑4千米，求1小时跑多少千米，可以分两步想：因为小时里正好有2个小时，所以先求1个小时跑的路程；1小时里有3个小时，再乘3就是1小时跑的路程。把两步合并成一个算式，正好能看出“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”这条法则是怎么来的。第（2）问的路程是带分数，先化成假分数，再直接用这条法则把除法转化成乘法来算，不必再分步。 规范解答　 （1）第一步：先求1个小时跑的路程。因为2个小时跑了4千米，所以1个小时跑4÷2＝2（千米） 第二步：1小时里有3个小时，1小时跑的路程是2×3＝6（千米） 合并成综合算式：4÷＝4÷2×3＝4×＝6（千米），也就是4÷＝4×（的倒数） （2）先把带分数化成假分数：3＝；的倒数是（×＝1），除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数：÷＝× 分子与分母交叉约分：分子15与分母3约分（公因数3）得5，分母4与分子4约分得1，所以×＝5（千米） 答：小刚1小时能跑6千米；小丽1小时能跑5千米。 方法点拨　“一个数除以分数（0除外），等于乘这个分数的倒数”这条法则不是凭空规定的——把分两步想的过程合并成一个算式，就能清清楚楚看到“除以”和“乘”算出的是同一个结果。以后遇到除以分数的题，可以直接用这条法则一步算出来，不必每次都再分两步推导；被除数是带分数的，先化成假分数再算。 【例 3】分数混合运算顺序与简算　 用简便方法计算下面两道题，并说说每道题先算的是什么。（1）÷×　（2）－÷9 分析　第（1）题里有除法也有乘法，先算的是除法；把除法转化成乘法以后，整个算式就变成了连乘式，可以一边排列因数一边约分，数字始终保持很小。第（2）题里有减法也有除法，先算的是除法，绝不能按从左到右先算－；把÷9转化成×以后会发现，两项都含有公因数，这时逆用乘法分配律把提出来，就能把两步计算并成一步，这才是这道题真正的简便方法。 规范解答　 （1）先算的是除法÷。把除法转化成乘法：÷＝×，原式变成×× 边排列因数边约分：5与5约掉、9与6约掉（公因数3），得到××，也就是×3× ×3＝，再×＝1 （2）先算的是除法÷9。先把它转化成乘法：÷9＝×，原式变成－× 两项都含有公因数，逆用乘法分配律把提出来：－×＝×（1－）＝× 最后约分算出结果：×＝ 方法点拨　计算前先看清楚“先算的是什么”：第（1）题先算除法，第（2）题也先算除法，运算顺序始终是没有括号先算乘除、后算加减。分数除法一旦转化成了乘法，简便方法就出来了——第（1）题可以边排列因数边约分，第（2）题可以逆用乘法分配律把公因数提出来。做错的同学几乎都是习惯性地从左往右算，把减法提到了除法前面。 【例 4】已知一个数的几分之几是多少求这个数　 图书角新到一批科普读物，正好是图书角全部图书的，这批科普读物有24本。（1）请分别用方程和算术两种方法，算出图书角一共有多少本书。（2）图书角里还有18本是连环画，连环画占图书角全部图书的几分之几？ 分析　第（1）问已知“部分量”（24本科普读物）和它对应的分率（），要求的是单位1（图书角全部图书），可以设图书角一共有x本，列方程x＝24；也可以直接想“部分量÷对应分率＝单位1的量”，用算术法24÷直接算。第（2）问倒过来，已知的是单位1（全部图书，第（1）问已经算出）和部分量（连环画18本），求的是分率，用除法：部分量÷单位1＝对应分率。 规范解答　 （1）方程法：设图书角一共有x本书。依据“科普读物占全部图书的”列方程：x＝24 方程两边同除以（即乘的倒数）：x＝24÷＝24×＝60 算术法：部分量÷对应分率＝单位1的量，24÷＝24×＝60（本），与方程法结果一致 （2）图书角全部图书是60本，连环画18本，连环画占图书角全部图书的分率＝部分量÷单位1：18÷60＝ 答：图书角一共有60本书；连环画占图书角全部图书的。 方法点拨　同一类关系，乘法和除法用的是同一个式子“单位1的量×分率＝部分量”，只是已知的量不同、求的量不同：已知单位1求部分量用乘法；已知部分量求单位1用除法（第（1）问）；已知单位1和部分量、求分率也用除法（第（2）问）。方程法和算术法本质上是同一个思路的两种写法，考试时选自己更熟练的一种即可。 【例 5】和倍型与差倍型分数应用题　 （1）六年级篮球联赛，六（2）班全场得了45分，其中下半场得分正好是上半场的。上半场、下半场各得多少分？（2）校合唱团里，六年级人数比五年级多，并且六年级恰好比五年级多8人。五年级、六年级各有多少人？ 分析　第（1）问已知的是两个量的和（全场45分）与倍数关系（下半场是上半场的），属于和倍型：设上半场得x分，下半场就是x分，画线段图能看到全场对应“x＋x”，也就是上半场的（1＋）倍，列方程解出x。第（2）问已知的是两个量的差（多8人）与倍数关系（六年级比五年级多），属于差倍型：设五年级有x人，六年级就是（1＋）x人，两者的差恰好对应x，列方程解出x。 规范解答　 （1）设上半场得x分，下半场得x分 全场得分：x＋x＝45，合并同类项：（1＋）x＝45，即x＝45 解方程：x＝45÷＝45×＝25（分），下半场：×25＝20（分） （2）设五年级有x人，六年级有（1＋）x人，即x人 六年级比五年级多的人数：x－x＝x，对应已知的差8人，列方程x＝8 解方程：x＝8÷＝8×4＝32（人），六年级：32＋8＝40（人） 答：上半场得25分，下半场得20分；五年级有32人，六年级有40人。 方法点拨　和倍型与差倍型的共同点，是先设“1倍量”（通常是分率里没有变化、被比较的那个量）为x，再把另一个量译成含x的式子；不同点在于最后一步——和倍型用“两个量的和”列等式，差倍型用“两个量的差”列等式。画一条线段图，把x和它的几分之几标在图上，和与差在图上都能一眼看出来，不容易列反。 　第三部分　易错避坑指南 下面这五个坑，是同学们在分数除法单元里反复踩到的。请特别注意：每一条的第一段都是错误的做法，特意写出来是为了让大家看清楚它错在哪里，千万不要照着记。读完以后，建议把自己曾经犯过的那一条抄进错题本，并重做一遍对应的题目。 误区一　分数除以整数时把除号看成了乘号 错误示例　计算÷5时，有同学把除号看成了乘号，算成×5＝。 错在哪里　÷5和×5是两种完全不同的运算：除以5表示把平均分成5份，取其中1份，结果理应比小很多；乘5表示求5个的和，结果比大得多。把除号看成乘号，方向整个反了。 正确做法　分数除以整数，要按“除号变乘号、除数变倒数”来做：÷5＝×＝。 误区二　只把除数颠倒，忘了把除号变成乘号 错误示例　计算8÷时，有同学只把除数颠倒成，但忘了把除号变成乘号，仍然写成8÷，算出的是8÷＝8×＝，也就是5。 错在哪里　“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”里包含两个同时要做的动作——除号变乘号、除数变倒数，两步缺一不可。只把除数颠倒、除号却没变，相当于用另一道错误的算式去算，得到的数完全对不上。 正确做法　除号变乘号、除数变倒数一起做：8÷＝8×＝12。 误区三　该取倒数的是除数，却把被除数取了倒数 错误示例　计算÷时，有同学把被除数颠倒成，除数却没有变，算成×＝，约分后是。 错在哪里　“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”里，要取倒数的是除数，不是被除数。这道题的除数是，应该把变成它的倒数去乘，而不是去动被除数。 正确做法　除数的倒数是，正确算法是÷＝×＝。 误区四　分数混合运算颠倒了运算顺序，先算了加减 错误示例　计算－÷9时，有同学按从左到右的顺序算，先算－＝0，再算0÷9＝0，得到了错误答案0。 错在哪里　分数混合运算的运算顺序和整数、小数完全相同：没有括号时，要先算乘除、后算加减。这道题里有减法也有除法，必须先算÷9，而不是直接把前两个数相减。 正确做法　先算除法：÷9＝；再算减法：－＝，约分后等于。 误区五　已知部分量求单位1时，把除法误用成了乘法 错误示例　一批货物，运走了，正好是90吨，有同学直接算90×＝54（吨），把54吨当成了货物的总量。 错在哪里　已知的是“部分量”（90吨）和它对应的分率（），要求的是单位1（货物总量）。根据“单位1的量×分率＝部分量”，应该用除法：部分量÷分率＝单位1的量，而不是把90再乘一次——那样算出来的其实是“90吨的是多少”，跟题目问的完全不是一回事。 正确做法　正确算法：90÷＝90×＝150（吨）。 回头看这五个坑就会发现，它们几乎都出在同一个地方——对“除号要不要变”“该给谁取倒数”“谁是单位1”这几件事的理解不够准确。计算的每一步都要问自己一句：这一步在算的到底是什么？下面进入分层练习，请带着这五条提醒去做题。 　第四部分　分层进阶专题精练 下面的练习分成两个层次。“能力进阶篇”紧扣课本的五个考点，难度与单元测试相当，用来检查基础是否扎实；“思维拓展篇”需要两步以上的推理，考察的是把几种方法组合起来用的能力。全部题目的详细解析都在第五部分，请一定先独立完成，再对照解析订正。 　一、能力进阶篇（★★★） 本篇共 8 题，建议用时 25 分钟。请把每一步的算式完整地写在题目下面的方框里，只写一个得数是拿不到满分的。 1．写出下面各数的倒数：、12、3、1。你是怎样找一个数的倒数的？ 解答： 2．计算下面各题，能约分的要先约分。（1）÷7　（2）÷6 解答： 3．计算下面各题。（1）15÷　（2）÷ 解答： 4．手工课上，李老师把一根米长的彩带平均剪成4段做蝴蝶结，每段彩带长多少米？ 解答： 5．一瓶消毒液共升，每个喷壶能装升，这瓶消毒液正好能灌满几个喷壶？ 解答： 6．用简便方法计算下面各题，并在算式后面注明先算的是什么。 ÷×　　　　－÷10 解答： 7．不用计算，直接在下面的○里填“大于”“小于”或“等于”，并在方框里写清楚你判断的依据。 ÷　○　　　　　÷1　○　　　　　÷　○　 解答： 8．养殖场里，一批鸭苗占全场家禽总数的，鸭苗有140只。这个养殖场家禽的总数是多少只？ 解答： 　二、思维拓展篇（★★★★） 本篇共 6 题，建议用时 30 分钟。这些题目往往不能一眼看出答案，需要先想清楚数量之间的关系再动笔。遇到卡壳的时候，回头翻一翻第一部分的方法速查表。 9．工厂里，合格品占这批零件总数的，其中一等品的数量正好是合格品数量的。已知一等品有45个，这批零件一共有多少个？ 解答： 10．水箱里装着一些水，第一次放出了全部的，第二次再放出余下的，这时水箱里还剩30升水。水箱原来装了多少升水？ 解答： 11．在算式“÷＝”中，☆代表1～9的整数（包括1和9）中的一个，☆是多少？请写出推理过程。 解答： 12．仓库统计货物，正确的做法是用货物件数乘算出需要打包的箱数，小林却把“乘”看成了“除以”来计算。这批货物一共有24件。（1）按小林错误的算法，他算出的结果是多少？（2）正确的结果应该是多少？两者相差多少？ 解答： 13．一批零件，甲师傅单独做，每小时能做这批零件的；乙师傅单独做，每小时能做这批零件的。如果只从“谁单独做完用的时间更短”来比较，应该请哪位师傅？请说明理由。 解答： 14．不计算，直接判断下面四个数中，哪个数的倒数最大、哪个数的倒数最小，并说明理由：、、1、。 解答： 　第五部分　精准解析 下面是全部 14 道练习的详细解析。请注意，解析里给出的不只是答案，更重要的是每一步为什么这样想。如果你的答案是对的，也建议对照看看有没有更简洁的思路；如果答错了，请找出自己是在哪一步转错了弯，把那一步单独重做一遍，比整题抄一遍有用得多。 第 1 题　求各类数的倒数 是真分数，交换分子分母：的倒数是（验证：×＝1）。 12是整数，看成，交换分子分母：12的倒数是（验证：12×＝1）。 3是带分数，先化成假分数：3＝，再交换分子分母：的倒数是（验证：×＝1）。 1的倒数还是1（验证：1×1＝1），也就是说1的倒数是它本身。 答：的倒数是；12的倒数是；3的倒数是；1的倒数是1。 第 2 题　分数除以整数 （1）÷7：除号变乘号、除数变倒数（7的倒数是），÷7＝×，分子7与分母7先约分，得到×＝。 （2）÷6：÷6＝×，分子9与分母6有公因数3，约分后得到×＝。 答：两题的结果依次是和。 第 3 题　整数除以分数、分数除以分数 （1）15÷：的倒数是，15÷＝15×，15与5有公因数5，约分后得到3×＝18。 （2）÷：的倒数是，÷＝×，分子4与分母2约分、分子3与分母9约分，得到×＝。 答：两题的结果依次是18和。 第 4 题　分数除以整数的应用 题目求的是“把米平均剪成4段，每段是多少”，用分数除以整数：÷4。 除号变乘号、除数变倒数（4的倒数是）：÷4＝×。 分子相乘作分子、分母相乘作分母：×＝，7与32没有公因数，已经是最简分数。 答：每段彩带长米。 第 5 题　一个数除以分数的应用 题目求的是“升里有几个升”，用除法：÷。 的倒数是，÷＝×。 分子15与分母5约分（公因数5）、分子4与分母2约分（公因数2），得到×＝6。 答：正好能灌满6个喷壶。 第 6 题　分数混合运算简算 第一题：÷×，先算的是除法÷。把除法转化成乘法：÷＝×，分子7与分母7约分、分子12与分母8约分（公因数4），得到×＝；再乘：×＝1。 第二题：－÷10，先算的是除法÷10。把它转化成乘法：÷10＝×，原式变成－×；两项都含有公因数，逆用乘法分配律把提出来：×（1－）＝×，约分后等于。 答：两题的结果依次是1和。 第 7 题　商与被除数的大小关系 这一类题不必真的算出商，只要看除数与1比谁大：一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；除以1，商等于这个数；除以大于1的数，商小于这个数。 第一组的被除数不是0，除数小于1，所以商比大，填“大于”。验证：÷＝×＝，确实比大。 第二组里除以1，任何数除以1都得原数，所以填“等于”。验证：÷1＝。 第三组的被除数不是0，除数大于1，所以商比小，填“小于”。验证：÷＝×＝，确实比小。 答：三个空依次填“大于”“等于”“小于”。 第 8 题　已知部分量求单位1 已知的是部分量（鸭苗140只）和它对应的分率（），要求的是单位1（家禽总数），用除法：部分量÷分率＝单位1的量。 140÷＝140×，140与2有公因数2，约分后得到70×3＝210。 答：这个养殖场家禽的总数是210只。 第 9 题　单位1的两次转换 一等品45个对应的是合格品数量的，这里的单位1是“合格品数量”，用除法先求合格品数量：45÷＝45×＝150（个）。 合格品150个恰好对应零件总数的，这里的单位1变成了“零件总数”，再用除法求总数：150÷＝150×＝180（个）。 这道题的关键是看清楚两次除法里“单位1”换了对象：第一次单位1是合格品数量，第二次单位1才是零件总数，不能把45直接除以。 答：这批零件一共有180个。 第 10 题　两次分率的逆推 还剩的30升，对应的是“第一次放出后剩下的水”再放出之后剩下的部分，也就是第一次剩下量的（1－）＝。 先求第一次放出后剩下的水量：30÷＝30×＝48（升）。 这48升恰好对应水箱原来总量的（1－）＝，再求原来的总量：48÷＝48×＝80（升）。 答：水箱原来装了80升水。 第 11 题　分数除法算式谜 把☆代入算式左边化简：÷＝×＝＝。 要使＝，先把的分母化成9：＝，所以☆＝6。 验算：÷＝×＝＝，与题目给出的结果一致，且6在1～9的整数（包括1和9）之内，符合要求。 答：☆是6。 第 12 题　错中求解（把乘看成除） 小林把“乘”看成了“除以”，他实际算的是24÷＝24×＝64（件）。 正确的做法应该是24×＝9（件）。 两者相差：64－9＝55（件）。 答：小林错误算出的结果是64件；正确的结果是9件；两者相差55件。 第 13 题　方案比较（工程效率） 每小时能做这批零件的几分之几，就是这批零件的“工作效率”；单独做完需要的时间＝1÷工作效率。 甲师傅单独做完需要：1÷＝6（小时）。 乙师傅单独做完需要：1÷＝8（小时）。 6小时比8小时短，所以甲师傅单独做完用的时间更短。 答：应该请甲师傅，他单独做完只需要6小时，比乙师傅的8小时更短。 第 14 题　特殊数的倒数大小关系 和都是真分数（小于1），是假分数（大于1），1的倒数是它本身。真分数的倒数一定大于1，而且真分数越小，它的倒数越大；大于1的假分数，倒数一定小于1。 的倒数是（验证：×＝1），的倒数是（验证：×＝1），的倒数是，1的倒数是1。 不必化成小数：比小，所以比大；大于1，1等于1，小于1。四个倒数从大到小依次是、、1、。 答：的倒数（）最大；的倒数（）最小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $