专题10二元一次方程组及其解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦二元一次方程组及其解法核心知识点，衔接一元一次方程，通过定义、解的含义、代入与加减消元法构建知识体系，辅以重点辨析和常见错误提示，形成从概念到应用的学习支架。 特色在于融合数学眼光（实际情境与几何图形列方程）、思维（消元转化思想与规范步骤）、语言（古算题与生活模型），题型分层且含错解复原等创新题，课中助教师高效授课，课后帮学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

专题10二元一次方程组及其解法精讲学案 核心立意： 会识别二元一次方程（组），能根据实际情境列出二元一次方程；理解解的含义；熟练掌握代入消元法、加减消元法；落实消元思想，将二元问题转化为一元问题求解，严格遵守解题书写规范。 二元一次方程 ❶定义：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，等式两边是整式。 ❷判定必须同时满足3点：①整式方程；②一共2个未知数；③含未知数的项次数为1；未知数不能出现在分母、根号里面。 ❸二元一次方程的解：能让方程左右两边相等的一组未知数的值；一个二元一次方程有无数组解。 二元一次方程组 ❶定义：方程组整体一共含有两个未知数，组内方程均为整式方程。 ❷二元一次方程组的解：必须同时满足方程组里每一个方程的公共解。 ❸解的结果分类：存在唯一解、无解、无数组解（课内仅做了解，不要求复杂判定）。 代入消元法 ❶核心思想：消元，二元转化为一元 ❷解题步骤：变（变形方程，用一个未知数表示另一个未知数）→代（代入另一个方程）→解（解一元一次方程）→回代（求第二个未知数）→写解 ❸适用条件：当某一个未知数系数为1，优先选择代入消元，计算更简单。 加减消元法 ❶核心思想：消元，二元转化为一元 ❷解题步骤：整理（先对方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式）→化（统一同一个未知数的系数为相等或互为相反数）→加减（两式相加/相减消去一个未知数）→解（解一元一次方程）→回代（求第二个未知数）→写解 ❸适用条件：同一未知数系数绝对值相等或者容易化成相等，优先选用加减消元。 检验与书写规范 ❶检验方法：把求得的未知数数值，分别代入方程组两个方程，两边全部相等，才是方程组的解。 ❷书写硬性要求：方程组的解必须写成大括号格式。 重点辨析 ❶判定看含未知数项的次数为1，不是未知数相加的总次数等于1。 ❷二元一次方程组，不需要每一个方程都同时带两个未知数，整个方程组合计2个未知数即可。 ❸单个二元一次方程有无数组解；方程组的解是公共解，不一定存在多组解。 ❹代入消元、加减消元只是计算手段，本质都是消元，把二元变成一元。 1.判断方程类型忽略整式要求，未知数在分母、根号内，错判为二元一次方程 2.不会从实际情境提取等量关系列二元一次方程 3.混淆“二元一次方程的解”和“方程组的解”，忘记方程组解要同时满足两个方程 4.加减消元前不整理方程组，直接对原始式子消元，造成计算混乱 5.代入消元时，变形后的式子依旧代回原方程，得到恒等式，无法算出结果 6.加减消元做减法运算，符号忘记变号，计算出错 7.求出其中一个未知数，省略回代步骤，漏掉第二个未知数 8.方程组解不加大括号，书写格式不规范 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★★★ 题型九 加减消元法 ★★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★★ 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：二元一次方程的定义 解题思路：①判定必须同时满足三点：整式方程、一共2个未知数、含未知数的项的次数均为1；②排除未知数出现在分母或根号内、项次数不为1、未知数总个数不符的式子；③含参数题型：令未知数项的次数等于1，同时保证该项系数≠0。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二：二元一次方程的解 解题思路：①将给定x、y代入方程左右两边，两边数值相等才是该方程的解；②已知解求参数：直接把解代入原方程，解出对应参数；③二元一次方程存在无数组解，给定其中一个未知数的值，可以求出对应的另一个未知数 4．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 5．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 6．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 7．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 题型三：判断是否是二元一次方程组 解题思路：①看方程组整体：总共有且只有2个未知数，组内全部为整式方程；②不要求每个方程都同时含有两个未知数，只要整体未知数总数为2即可；③排除分式方程、根号内含未知数、未知数总个数不是2的方程组。 8．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 9．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 10．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 题型四：判断是否是二元一次方程组的解 解题思路：①把待检验数值同时代入方程组两个方程；②必须两个方程左右两边全部相等，才是方程组的公共解；③只满足其中某一个方程，不能算作方程组的解。 11．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 12．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 13．已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 题型五：已知二元一次方程组的解求参数 解题思路：①把方程组的解完整代入原方程组，得到只含参数的新方程组；②求解新方程组算出参数；③参数求出后回代原式检验，警惕未知数系数等于0的陷阱。 14．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 15．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 17．若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 题型六：根据实际问题列二元一次方程组 解题思路：①读题挖掘题目中两组互相独立的等量关系；②设出两个未知数；③分别依据两组等量关系列出两个整式方程，组合成为方程组；④该题型只列方程组，不需要求解。 18．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 19．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 20．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 题型七：根据几何图形列二元一次方程组 解题思路：①观察图形提取几何等量关系，如边长相等、周长、角度和、角度差；②梳理出两组不同的等量关系；③设定未知数，依据等量关系写出两个方程，组合成方程组。 21．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C．D． 22．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 23．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 题型八：代入消元法 解题思路：①优先选择系数为±1的未知数，变形其中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数；②把变形后的式子代入另一个没有改动的方程，得到一元一次方程；③解一元一次方程求出第一个未知数；④将结果回代到变形后的式子，求出第二个未知数；⑤最终结果必须书写大括号，可代入原方程组检验。 24．已知方程，用关于x的代数式表示y：______． 25．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 26．若关于x，y的方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值为_____ ． 27．下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 题型九：加减消元法 解题思路：①先整理方程组，去分母、去括号、移项合并，化为标准a1x+b1y=c1、a2x+b2y=c2形式；②利用等式性质，将同一个未知数的系数化为相等或者互为相反数；③系数相等用减法，互为相反数用加法，消去一个未知数；④解一元一次方程，回代求出第二个未知数；⑤做减法消元时，被减方程每一项都要变号，结果用大括号格式书写。 28．方程组：的解是______． 29．如果、满足，则______． 30．若，则的值为__________． 31．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十：二元一次方程组的特殊解法 解题思路：①观察方程组结构，具备重复整体结构优先使用整体代入法，不强行拆括号展开；②式子结构复杂重复时采用换元法，设置新未知数简化方程组；③算出新未知数结果后，必须还原回原来的未知数；④最终结果按规范写大括号，可代入检验。 32．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 33．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 34．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型十一：二元一次方程组的错解复原问题 解题思路：①看错系数得到的错解，只满足没有看错系数的方程，把错解代入这个正确方程；②得到关于参数的等式，求出部分参数；③结合题干剩余条件联立，求出全部参数；④把真实参数代回原方程组，计算得到方程组的正确解。 35．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 36．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 37．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 题型十二：构造二元一次方程组求解 解题思路：①读懂题干条件：若绝对值、平方、算术平方根相加等于0，则每一项分别等于0；②根据题干给出的等量条件，列出两个方程，组成二元一次方程组；③解构造出来的方程组，求得未知数的值；④按照题目要求完成后续计算。 38．在方程中，当时，；当时，．则的值是_______． 39．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 40．已知实数a，b满足，则________． 41．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 题型十三：已知二元一次方程组的解的情况求参数 解题思路：①先将两个方程整理成标准形式； ②系数比值判定：，方程组无解； ，方程组有无数组解；，方程组有唯一解；③列等式求解参数，必须保证分母不为0。 42．已知关于x、y的方程组的解满足，则______． 43．关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 44．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 45．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 题型十四：方程组相同解问题 解题思路：①两个方程组同解，代表这组解同时满足四个方程；②优先选取不含参数的两个方程联立，先求出公共解；③将公共解代入含参数的方程中，计算参数数值；④参数计算完成后回代检验。 46．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____． 47．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 48．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 解答题 1．解方程组： (1)； (2)． 2．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 3．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 4．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组，可以写成矩阵的形式．例如：，可以写成矩阵的形式． (1)将，写成矩阵的形式：_________； (2)若矩阵所对应的方程组的解满足，求的值． 5．按要求解题： (1)已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． (2)关于x，y的方程组的解满足，求m． 6．根据题意设未知数，并列出方程或方程组（不必求解）： (1)刘老师在暑假开始时，给全班50名学生每人发了一封举办夏令营活动通知的信件，共需邮资43.60元．已知本市邮资为每封0.80元，外地邮资为每封1.20元．问：班级中有多少名学生家住本市，多少名学生家住外地？ (2)某校课外阅读小组组员订甲、乙两份杂志，其中甲杂志是月刊，每月一期定价为6.2元；乙杂志是双月刊，两个月一期定价为6.6元．每位组员都是其中一份杂志订半年，另一份杂志订全年．经统计，甲杂志订费为2418元，乙杂志订费为1089元．求这个课外阅读小组的人数．（解答这个问题应该如何设未知数？和同学讨论，说一下你的想法） 7．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二元一次方程组及其解法精讲学案 核心立意： 会识别二元一次方程（组），能根据实际情境列出二元一次方程；理解解的含义；熟练掌握代入消元法、加减消元法；落实消元思想，将二元问题转化为一元问题求解，严格遵守解题书写规范。 二元一次方程 ❶定义：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，等式两边是整式。 ❷判定必须同时满足3点：①整式方程；②一共2个未知数；③含未知数的项次数为1；未知数不能出现在分母、根号里面。 ❸二元一次方程的解：能让方程左右两边相等的一组未知数的值；一个二元一次方程有无数组解。 二元一次方程组 ❶定义：方程组整体一共含有两个未知数，组内方程均为整式方程。 ❷二元一次方程组的解：必须同时满足方程组里每一个方程的公共解。 ❸解的结果分类：存在唯一解、无解、无数组解（课内仅做了解，不要求复杂判定）。 代入消元法 ❶核心思想：消元，二元转化为一元 ❷解题步骤：变（变形方程，用一个未知数表示另一个未知数）→代（代入另一个方程）→解（解一元一次方程）→回代（求第二个未知数）→写解 ❸适用条件：当某一个未知数系数为1，优先选择代入消元，计算更简单。 加减消元法 ❶核心思想：消元，二元转化为一元 ❷解题步骤：整理（先对方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式）→化（统一同一个未知数的系数为相等或互为相反数）→加减（两式相加/相减消去一个未知数）→解（解一元一次方程）→回代（求第二个未知数）→写解 ❸适用条件：同一未知数系数绝对值相等或者容易化成相等，优先选用加减消元。 检验与书写规范 ❶检验方法：把求得的未知数数值，分别代入方程组两个方程，两边全部相等，才是方程组的解。 ❷书写硬性要求：方程组的解必须写成大括号格式。 重点辨析 ❶判定看含未知数项的次数为1，不是未知数相加的总次数等于1。 ❷二元一次方程组，不需要每一个方程都同时带两个未知数，整个方程组合计2个未知数即可。 ❸单个二元一次方程有无数组解；方程组的解是公共解，不一定存在多组解。 ❹代入消元、加减消元只是计算手段，本质都是消元，把二元变成一元。 1.判断方程类型忽略整式要求，未知数在分母、根号内，错判为二元一次方程 2.不会从实际情境提取等量关系列二元一次方程 3.混淆“二元一次方程的解”和“方程组的解”，忘记方程组解要同时满足两个方程 4.加减消元前不整理方程组，直接对原始式子消元，造成计算混乱 5.代入消元时，变形后的式子依旧代回原方程，得到恒等式，无法算出结果 6.加减消元做减法运算，符号忘记变号，计算出错 7.求出其中一个未知数，省略回代步骤，漏掉第二个未知数 8.方程组解不加大括号，书写格式不规范 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★★★ 题型九 加减消元法 ★★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★★ 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：二元一次方程的定义 解题思路：①判定必须同时满足三点：整式方程、一共2个未知数、含未知数的项的次数均为1；②排除未知数出现在分母或根号内、项次数不为1、未知数总个数不符的式子；③含参数题型：令未知数项的次数等于1，同时保证该项系数≠0。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的判断，根据定义解答，即含有两个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程 ，即为二元一次方程． 【详解】解：A选项：只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项：含两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，是整式方程，是二元一次方程，符合题意； C选项：含未知数的项的最高次数为2，不符合题意； D选项：的分母含未知数，不是整式方程，不符合题意． 2． 若是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，且， 解得． 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有2个未知数，含未知数项的最高次数为1，逐个分析即可． 【详解】解：逐个判断各式子：① 不是等式，不属于方程，不符合要求； ② 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； ③ 中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合； ④ 含有三个未知数，不符合二元的要求，不符合； ⑤ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程； ⑥ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程；因此符合要求的二元一次方程共2个． 题型二：二元一次方程的解 解题思路：①将给定x、y代入方程左右两边，两边数值相等才是该方程的解；②已知解求参数：直接把解代入原方程，解出对应参数；③二元一次方程存在无数组解，给定其中一个未知数的值，可以求出对应的另一个未知数 4．已知是关于，的方程的一组解，则的值为（     ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】A 【详解】解：把代入，得 ， 移项得， 解得． 5．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， 将代入方程得， ． 6．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可； 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 7．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知的方程组解代入各选项方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项方程： 选项A：方程左边，右边，左边右边，则A不符合题意； 选项B：方程左边，右边，左边右边，则B不符合题意； 选项C：左边，右边，左边右边，则C不符合题意 选项D：左边，右边，左边右边，则D符合题意． 题型三：判断是否是二元一次方程组 解题思路：①看方程组整体：总共有且只有2个未知数，组内全部为整式方程；②不要求每个方程都同时含有两个未知数，只要整体未知数总数为2即可；③排除分式方程、根号内含未知数、未知数总个数不是2的方程组。 8．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 9．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则______． 【答案】1 【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果． 【详解】解：根据题意知，， 解得，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 10．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 题型四：判断是否是二元一次方程组的解 解题思路：①把待检验数值同时代入方程组两个方程；②必须两个方程左右两边全部相等，才是方程组的公共解；③只满足其中某一个方程，不能算作方程组的解。 11．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，只需从表格中找出同时满足两个方程的公共解，即可得到方程组的解． 【详解】解：观察表格可知，，同时满足方程和，是两个方程的公共解， ∴原方程组的解为 12．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 13．已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 题型五：已知二元一次方程组的解求参数 解题思路：①把方程组的解完整代入原方程组，得到只含参数的新方程组；②求解新方程组算出参数；③参数求出后回代原式检验，警惕未知数系数等于0的陷阱。 14．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 15．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 16．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】已知所求方程组的解为，只需构造一个满足该解的二元一次方程即可． 【详解】解：∵要求新方程和已知方程组成的方程组的解为， ∴是所求方程的解， ∵， ∴所求方程可以为 ． 17．若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知的解代入多项式，计算结果为的即为正确选项． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，符合题意； 选项D，，不符合题意． 题型六：根据实际问题列二元一次方程组 解题思路：①读题挖掘题目中两组互相独立的等量关系；②设出两个未知数；③分别依据两组等量关系列出两个整式方程，组合成为方程组；④该题型只列方程组，不需要求解。 18．《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62钱；买5斗上粟，4斗下粟共99钱，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗钱，下粟每斗钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两次购买的总价列方程组即可． 【详解】解：根据题意，得． 19．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 【答案】或 【分析】根据甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，得到，根据形成长为65的纸条，可得或，即可得到方程组. 【详解】解：由题意，重叠部分的长可表示为或，故， 形成长为65的纸条，故可得或； 故可得方程组或. 20．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱六十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙共有钱；甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为x，乙带钱的数量为y，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住“得到钱后总钱数”的两个等量关系，分别列方程联立即可． 【详解】解：∵甲得到乙所有钱的一半后共有钱50， ∴； ∵乙得到甲所有钱的后共有钱60， ∴； ∴联立得方程组． 题型七：根据几何图形列二元一次方程组 解题思路：①观察图形提取几何等量关系，如边长相等、周长、角度和、角度差；②梳理出两组不同的等量关系；③设定未知数，依据等量关系写出两个方程，组合成方程组。 21．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，． 22．如图，在长方形中，放入个形状、大小完全相同的小长方形（即空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设每个小长方形的长为 x，宽为y，根据题意列方程可求得，即每个小长方形的面积为；再运用阴影部分的面积等于长方形的面积减去5个小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为 x，宽为y， 则，解得：， 所以每个小长方形的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 23．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过小长方形长、宽表示大长方形的长、宽之和，以及大长方形宽的不同表示方法，找出等量关系列方程组． 【详解】解：大长方形的周长为30， 大长方形的长、宽之和为15， 即， 由图得，， ． 题型八：代入消元法 解题思路：①优先选择系数为±1的未知数，变形其中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数；②把变形后的式子代入另一个没有改动的方程，得到一元一次方程；③解一元一次方程求出第一个未知数；④将结果回代到变形后的式子，求出第二个未知数；⑤最终结果必须书写大括号，可代入原方程组检验。 24．已知方程，用关于x的代数式表示y：______． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时减去6，得， 方程两边同时除以2，得． 25．用代入消元法解方程组较为简便的方法是（     ） A．先把变形 B．先把变形 C．可先把变形，也可先把变形 D．把同时变形 【答案】C 【分析】观察方程组未知数的系数，优先选择系数为的未知数所在方程变形． 【详解】解：方程中的系数为，可变形为，代入计算简便； 方程中的系数为，可变形为，代入计算简便， ∴先把变形或先把变形均较为简便． 26．若关于x，y的方程组的解x，y的值互为相反数，则a的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与相反数的概念，根据，互为相反数得到，将其代入原方程组，即可求解得到的值. 【详解】解：，互为相反数， ，将代入原方程组得：， 解得． 27．下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，逐个判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：对于方程组 A选项：∵对①移项可得， ∴A正确； B选项：∵得， ∴， 化简得，不是， ∴B错误； C选项：∵得，得 ， ∴， 化简得， ∴C正确； D选项：∵由得， 由得， 将整体代入②得， ∴D正确． 题型九：加减消元法 解题思路：①先整理方程组，去分母、去括号、移项合并，化为标准a1x+b1y=c1、a2x+b2y=c2形式；②利用等式性质，将同一个未知数的系数化为相等或者互为相反数；③系数相等用减法，互为相反数用加法，消去一个未知数；④解一元一次方程，回代求出第二个未知数；⑤做减法消元时，被减方程每一项都要变号，结果用大括号格式书写。 28．方程组：的解是______． 【答案】 【详解】解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为. 29．如果、满足，则______． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性求出x,y的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵、满足， ∴，解得， ∴． 30．若，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质得到方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 31．已知，满足方程组，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所求代数式与方程组的结构，通过两式相减直接求出的值． 【详解】解： ∴，得． ∴ ． 题型十：二元一次方程组的特殊解法 解题思路：①观察方程组结构，具备重复整体结构优先使用整体代入法，不强行拆括号展开；②式子结构复杂重复时采用换元法，设置新未知数简化方程组；③算出新未知数结果后，必须还原回原来的未知数；④最终结果按规范写大括号，可代入检验。 32．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 33．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用换元法将待解方程组转化为与已知结构相同的方程组，结合已知解求解新方程组． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， ∵已知方程组的解是， ∴代入换元关系式得， 解得． 34．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 题型十一：二元一次方程组的错解复原问题 解题思路：①看错系数得到的错解，只满足没有看错系数的方程，把错解代入这个正确方程；②得到关于参数的等式，求出部分参数；③结合题干剩余条件联立，求出全部参数；④把真实参数代回原方程组，计算得到方程组的正确解。 35．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【答案】B 【分析】本题考查方程组错解复原问题，看错，得到的解满足方程，正解满足两个方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：和都能使成立， ∴，解得：， 能使方程成立， ∴， ∴； 故选B． 36．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 【答案】1 【分析】将代入方程组得，将代入得，由①②③解得，代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵甲同学正确地解出， ∴将代入方程组得， ∵乙同学因把c抄错了解得， ∴将代入得， 由①②③解得， ∴． 37．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 题型十二：构造二元一次方程组求解 解题思路：①读懂题干条件：若绝对值、平方、算术平方根相加等于0，则每一项分别等于0；②根据题干给出的等量条件，列出两个方程，组成二元一次方程组；③解构造出来的方程组，求得未知数的值；④按照题目要求完成后续计算。 38．在方程中，当时，；当时，．则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的其他应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 将，与，分别代入可得关于字母、的方程组，再解二元一次方程组求出、的值，再求的值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入①得，， ∴， ∴， 故答案为：． 39．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴ ∴， 故选：A 40．已知实数a，b满足，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数相加等于0，则两个算术平方根各自为0，列出二元一次方程组，解出a、b的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴． 41．如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 题型十三：已知二元一次方程组的解的情况求参数 解题思路：①先将两个方程整理成标准形式； ②系数比值判定：，方程组无解； ，方程组有无数组解；，方程组有唯一解；③列等式求解参数，必须保证分母不为0。 42．已知关于x、y的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】将两个方程相加得到，然后根据得到，然后求解即可． 【详解】解： 得， ∴ ∵ ∴ ∴． 43．关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组中的两个方程相减整理得到，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： 得，， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， ∴． 44．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】 【分析】先求解关于，的二元一次方程组，得到用表示的和，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 两式相加得， 解得：， 将代入，得， 即方程组的解为，将其代入， 得，化简得， 解得：． 45．已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解． 【详解】解： 得：， ， 把代入得：， ，均为整数， 是和的公约数， 或， 为正整数， 符合条件的只有， 解得， ． 题型十四：方程组相同解问题 解题思路：①两个方程组同解，代表这组解同时满足四个方程；②优先选取不含参数的两个方程联立，先求出公共解；③将公共解代入含参数的方程中，计算参数数值；④参数计算完成后回代检验。 46．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，设，，即可得，解方程组即可求解，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：． 47．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】先对比两个方程组的结构，结合第一个方程组的解可得，再逐一解出的值即可． 【详解】解：对比两个方程组，得， 由得，则； 由解得， 即关于，的二元一次方程组的解是． 48．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 【答案】A 【分析】两个方程组的解相同，则该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含的方程求出的值，最后计算所求代数式的值即可． 【详解】解：根据题意可得 解得， 将代入， 可得 解得 ∴． 解答题 1．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解． （2）利用加减消元法即可解答． 【详解】（1）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 原方程组的解为． （2）解：， 得， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 原方程组的解为． 2．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】先根据甲的解求出的值，根据乙的解求出的值，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴，， 解得，， ∴原方程组为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 3．规定：形如与的两个关于，的方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是________； (2)若关于，的方程组为共轭方程组，则________________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②①得，所以③ ③得④ ①④得，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由共轭二元一次方程的定义直接求解即可； （2）由共轭二元一次方程组的定义列方程组求解即可； （3）由阅读材料中的方法类比求解即可． 【详解】（1）解：由共轭二元一次方程的定义可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：关于，的方程组为共轭方程组， 则由共轭方程组定义可得， ； （3）解：， ②①得，所以③， ③得④， ①④得，从而得， 所以原方程组的解是． 4．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组，可以写成矩阵的形式．例如：，可以写成矩阵的形式． (1)将，写成矩阵的形式：_________； (2)若矩阵所对应的方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)（或） (2)8 【分析】（1）将方程组化为的形式，根据题意写成矩阵的形式即可； （2）将矩阵转化为，根据方程组与方程同解，联立方程，求出x，y的值后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程组可化为，也可化为 写成矩阵的形式为或． （2）解：矩阵所对应的方程组为， 方程组的解满足， 联立方程得， 解得， 将代入，得， 解得． 5．按要求解题： (1)已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． (2)关于x，y的方程组的解满足，求m． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，重组方程组，先求出，，再代入方程和中，联立方程求出a、b的值； （2）分别用m表示x，y，再代入求m即可． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立方程组， ，得③， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 把，分别代入方程和中， 得方程组， ，得， 解得：， 把代入③，得， ， 解得：； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 6．根据题意设未知数，并列出方程或方程组（不必求解）： (1)刘老师在暑假开始时，给全班50名学生每人发了一封举办夏令营活动通知的信件，共需邮资43.60元．已知本市邮资为每封0.80元，外地邮资为每封1.20元．问：班级中有多少名学生家住本市，多少名学生家住外地？ (2)某校课外阅读小组组员订甲、乙两份杂志，其中甲杂志是月刊，每月一期定价为6.2元；乙杂志是双月刊，两个月一期定价为6.6元．每位组员都是其中一份杂志订半年，另一份杂志订全年．经统计，甲杂志订费为2418元，乙杂志订费为1089元．求这个课外阅读小组的人数．（解答这个问题应该如何设未知数？和同学讨论，说一下你的想法） 【答案】(1)设班级中有名学生家住本市，名学生家住外地，所列方程组为（答案不唯一） (2)设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人，所列方程组为，小组总人数为（答案不唯一） 【分析】（1）两个等量关系：①本市学生人数＋外地学生人数＝总人数50；②本市信件总邮资＋外地信件总邮资＝总邮资43.60元，据此设未知数列二元一次方程组； （2）设两类人数分别为、，小组总人数，根据甲总订费、乙总订费列方程组． 【详解】（1）解：设家住本市学生名，家住外地学生名， 根据总人数：， 根据总邮资：本市每封0.8元、外地每封1.2元，， 可列方程组： ． （2）解：设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人， 甲杂志费用：甲全年：元/人，甲半年：元/人， 总甲费： ， 乙杂志费用：乙半年：元/人，乙全年：元/人，总乙费： ， 列方程组： ， 小组总人数为． 7．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $