专题14为什么要证明与认识证明精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦“为什么要证明与认识证明”核心知识点，从直观感知、实验、不完全归纳的局限性切入，系统梳理检验数学结论的三类方法，明确定义、命题、公理、定理等概念内涵，构建“问题引入—概念辨析—方法应用”的学习支架，帮助学生掌握命题改写、举反例及证明规范。 该资料通过15种分层题型设计，从生活实例（如睡鼠冬眠天数计算）到逻辑推理（如卡牌组合分析），培养学生推理意识与逻辑思维。重点辨析常见误区，课中辅助教师系统教学，课后学生可通过题型训练查漏补缺，提升用数学语言表达推理过程的能力。

专题14为什么要证明与认识证明精讲学案 核心立意： 体会直观感知、实验、不完全归纳的局限性，认识演绎推理对数学结论的必要性；分清定义、命题、真命题、假命题、公理、定理的内涵；掌握命题改写、举反例、简单证明的基本规范。 直观观察、有限次实验、不完全归纳得出的结论具备偶然性，不能直接当作正确数学结论；一个数学结论是否成立，必须经过严谨的演绎推理论证，不能依靠直觉主观判定； 检验数学结论的三类方法： 实验验证，通过实操检验结论；举反例，寻找满足命题条件、但不满足命题结论的实例，一个反例即可判定命题为假；推理论证，依靠逻辑推导确认结论成立； 定义： 对名称、术语的含义作出严谨明确的描述与规定，定义本身属于真命题，可直接作为推理的依据； 命题： 能够判断正确或者错误的陈述句，由条件（题设）和结论两部分组成；可改写为“如果……，那么……”，“如果”后面承接条件，“那么”后面承接结论； 真命题： 题设条件成立，结论必然成立的命题；假命题：题设条件成立，结论不一定成立的命题； 公理： 经过长期实践公认的真命题，无需演绎推理证实，可直接作为证明的推理依据； 定理： 通过演绎推理证实正确的真命题，定理可以用来推导证明其他命题； 证明的含义与要求： 从已知条件出发，依托定义、公理、已经证明的定理，每一步推导都写明对应依据，逐步逻辑推导得到最终结论，完整的推理过程即为证明。 重点辨析 ❶疑问句、感叹句、祈使作图语句，无法判断真假，不属于命题； ❷举反例两大硬性要求：实例必须满足命题全部条件，实例的结论与原命题结论相反，二者缺一不可； ❸公理不需要证明，定理必须经过证明； ❹证明禁止依靠肉眼观察、主观猜想，每一步推导都要有对应的理论依据。 1. 把观察感受、少量实例当成可靠依据，直接断定数学结论成立，忽视演绎推理。 2. 改写命题“如果……那么……”格式时，拆分不清题设与结论，遗漏部分条件信息。 3. 混淆定义、公理、定理的概念，书写证明过程省略推理依据。 4. 举反例反驳假命题，举出的例子不满足命题条件，无法完成反驳。 5. 认为“正确的句子就是命题”，误将疑问句、感叹句识别为命题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★★ 题型九 定理与证明 ★★★ 题型十 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★★ 题型十一 已知证明过程填写理论依据 ★★★ 题型十二 根据给出的论断组命题并证明 ★★★★ 题型十三 以几何为背景的推理与论证 ★★★★ 题型十四 以几何为背景的推理与论证 题型十五 逻辑推理与论证 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★期末重难点 题型一：观察与实验 解题思路：①观察、实验仅能作为猜想依据，不可直接当作确定结论；②警惕视觉错觉、样本过少造成错误；③可靠结论必须经过逻辑推理论证。 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 2．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 3．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 题型二：归纳与类比 解题思路：①由部分事例归纳、类比得到的只是猜想，不一定成立；②找到1个反例即可推翻猜想；③想要确认结论正确，必须完成完整推理论证。 4．“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ①_________________； ②拥有“卡牌组合”________________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 6．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 题型三：猜想与证明 解题思路：①可借助观察、归纳大胆猜想结论；②猜想只是假设，不能作为最终结论；③必须经过严谨推理论证，才可判定命题真假。 7．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 8．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 题型四：判断是否是命题 解题思路：①判断是否为陈述句；②判断语句能否明确判断真假；③同时满足以上两点才是命题，疑问句、感叹句、作图祈使句均不是命题。 10．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 11．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 12．下列语句中，是真命题的是（    ） A．已知，求的值 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．若，则 题型五：写出命题的题设与结论 解题思路：①将原命题改写为“如果……那么……”的标准形式；②“如果”之后为命题题设，“那么”之后为命题结论；③改写补齐命题隐藏的限定条件，不可更改原意。 13．将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 14．命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 15．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 题型六：判断命题真假 解题思路：①条件成立，结论一定成立为真命题，需要推理证明；②条件成立，结论不一定成立为假命题；③假命题举出1个反例即可完成证伪。 16．下列命题为真命题的是（    ） A．1的立方根是 B．点在x轴上 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 17．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 18．下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 题型七：举例说明假（真）命题 解题思路：①证实真命题要进行完整逻辑推理；②证伪假命题要构造实例；③实例必须满足命题全部条件，但不满足命题结论。 19．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 20．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 21．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 题型八：举反例 解题思路：①反例必须满足命题给出的全部已知条件；②反例得到的结果要和原命题结论相反；③两条同时满足，才属于有效反例。 22．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 23．用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 24．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型九：定理与证明 解题思路：①公理是公认事实，无需证明，可直接用作推理依据；②定理是经过推理证实的真命题，可作为证明的依据；③证明每一步都要写明依据，不能依靠图形直观感觉。 25．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 26．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 27．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 题型十：写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题思路：①把命题题设转化为几何或代数条件作为已知；②把命题要推导的结果整理为求证；③证明逻辑链条完整，不跳关键步骤，每一步标注推理依据，不额外增加条件。 28．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 29．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 30．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型十一：已知证明过程填写理论依据 解题思路：①分析该步推理的来源；②从已知、定义、公理、定理中选取规范表述填写；③禁止使用“看图可得”这类主观描述。 31．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 32．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 33．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型十二：根据给出的论断组命题并证明 解题思路：①从给定论断挑选条件与结论，组合成完整陈述句命题；②判断组合后命题的真假；③真命题书写完整证明，假命题举出对应反例。 34．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 35．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 36．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 题型十三：以几何为背景的推理与论证 解题思路：①仅使用题干给出条件，不依靠图形目测判断；②调用对应几何定义、定理开展推导；③规范书写推理步骤。 37．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 38．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 39．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 题型十四：以代数为背景的推理与论证 解题思路：①借助代数运算、数的性质完成推导；②不能凭借少数特殊数值断定普遍结论成立；③证伪时选取一组符合全部条件的数值作为反例。 40．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 41．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 42．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 题型十五：逻辑推理与论证 解题思路：①梳理题干全部约束条件；②排除矛盾情况，必要时做分类讨论；③推导结果不能出现逻辑自相矛盾。 43．有六个命题：①这本书是小雨的，或者是小红的；②这本书是小明的，或者是小林的；③这本书是小刚的；④这本书不是小林的；⑤这本书不是小刚的；⑥这本书既不是小雨的，也不是小红的．其中有两个假命题，则这本书的拥有者是（   ） A．小雨 B．小林 C．小刚 D．小明 44．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 45．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 解答题 1．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 2．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 3．指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 4．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 5．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 6．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 7．要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14为什么要证明与认识证明精讲学案 核心立意： 体会直观感知、实验、不完全归纳的局限性，认识演绎推理对数学结论的必要性；分清定义、命题、真命题、假命题、公理、定理的内涵；掌握命题改写、举反例、简单证明的基本规范。 直观观察、有限次实验、不完全归纳得出的结论具备偶然性，不能直接当作正确数学结论；一个数学结论是否成立，必须经过严谨的演绎推理论证，不能依靠直觉主观判定； 检验数学结论的三类方法： 实验验证，通过实操检验结论；举反例，寻找满足命题条件、但不满足命题结论的实例，一个反例即可判定命题为假；推理论证，依靠逻辑推导确认结论成立； 定义： 对名称、术语的含义作出严谨明确的描述与规定，定义本身属于真命题，可直接作为推理的依据； 命题： 能够判断正确或者错误的陈述句，由条件（题设）和结论两部分组成；可改写为“如果……，那么……”，“如果”后面承接条件，“那么”后面承接结论； 真命题： 题设条件成立，结论必然成立的命题；假命题：题设条件成立，结论不一定成立的命题； 公理： 经过长期实践公认的真命题，无需演绎推理证实，可直接作为证明的推理依据； 定理： 通过演绎推理证实正确的真命题，定理可以用来推导证明其他命题； 证明的含义与要求： 从已知条件出发，依托定义、公理、已经证明的定理，每一步推导都写明对应依据，逐步逻辑推导得到最终结论，完整的推理过程即为证明。 重点辨析 ❶疑问句、感叹句、祈使作图语句，无法判断真假，不属于命题； ❷举反例两大硬性要求：实例必须满足命题全部条件，实例的结论与原命题结论相反，二者缺一不可； ❸公理不需要证明，定理必须经过证明； ❹证明禁止依靠肉眼观察、主观猜想，每一步推导都要有对应的理论依据。 1. 把观察感受、少量实例当成可靠依据，直接断定数学结论成立，忽视演绎推理。 2. 改写命题“如果……那么……”格式时，拆分不清题设与结论，遗漏部分条件信息。 3. 混淆定义、公理、定理的概念，书写证明过程省略推理依据。 4. 举反例反驳假命题，举出的例子不满足命题条件，无法完成反驳。 5. 认为“正确的句子就是命题”，误将疑问句、感叹句识别为命题。 题型 考察方向 难度 题型一 观察与实验 ★ 题型二 归纳与类比 ★★ 题型三 猜想与证明 ★★ 题型四 判断是否是命题 ★ 题型五 写出命题的题设与结论 ★★ 题型六 判断命题真假 ★★ 题型七 举例说明假（真）命题 ★★ 题型八 举反例 ★★★ 题型九 定理与证明 ★★★ 题型十 写出一个命题的已知、求证及证明过程 ★★★★ 题型十一 已知证明过程填写理论依据 ★★★ 题型十二 根据给出的论断组命题并证明 ★★★★ 题型十三 以几何为背景的推理与论证 ★★★★ 题型十四 以几何为背景的推理与论证 题型十五 逻辑推理与论证 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★期末重难点 题型一：观察与实验 解题思路：①观察、实验仅能作为猜想依据，不可直接当作确定结论；②警惕视觉错觉、样本过少造成错误；③可靠结论必须经过逻辑推理论证。 1．睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态．2024年，动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年10月21日开始冬眠，直到今年4月3日才出冬眠，这只睡鼠冬眠了（    ）天． A．163 B．164 C．165 D．166 【答案】C 【分析】本题考查日期的计算，解题的关键思路是分别计算出去年和今年睡鼠冬眠的天数，然后将二者相加，即可求解． 【详解】解：去年10月共有31天，睡鼠从10月21日开始冬眠， ∴10月冬眠的天数为（天）． 11月有30天，12月有31天， ∴去年冬眠的总天数为（天）． 今年1月有31天， ∵， ∴是闰年，闰年2月有29天， 3月有31天，4月睡鼠到3日才出冬眠， ∴4月冬眠了2天， 那么今年冬眠的总天数为（天）， 将去年和今年冬眠的天数相加，可得（天）． 答：这只睡鼠冬眠了165天． 故选：C． 2．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 3．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 题型二：归纳与类比 解题思路：①由部分事例归纳、类比得到的只是猜想，不一定成立；②找到1个反例即可推翻猜想；③想要确认结论正确，必须完成完整推理论证。 4．“转化”是一种重要的数学思想方法．下列选项中用到转化思想的是（    ） ① ② ③ ④把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了转化思想， 求圆的面积转化为求长方形的面积，将小数乘法转化为求整数乘法，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，将除法计算转化为乘法运算，再判断即可． 【详解】解：①将圆分成若干份拼成长方形，可知求圆的面积转化为求长方形的面积； ②将小数乘法转化为求整数乘法； ③将阴影部分平移到右侧拼成长方形，求平行四边形的面积转化为求长方形的面积； ④将除法运算转化为乘法运算， 所以选项中用到了转化思想的是①②③④． 故选：D． 5．有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 2 1 10 根据以上信息，可知： ①_________________； ②拥有“卡牌组合”________________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型） 【答案】 10 【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可． 【详解】解：∵所有卡牌的数量为． ∴同学人数为，即． ∵B型卡牌和F型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌， ∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张F型卡牌． ∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，D型卡牌有2张， ∴拥有“卡牌组合”的有4人，拥有“卡牌组合”的有3人，拥有“卡牌组合”的有2人，拥有“卡牌组合”的有1人． ∵， ∴拥有“卡牌组合”的人数最少． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 6．图是著名的“杨辉三角”，它给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，图列举了的展开式规律．由此的展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查杨辉三角的递推规律，能根据项的指数确定其位置是解题关键． 先确定对应杨辉三角第行，为从左向右第项，再根据递推规律，用第行第个数的系数与第个数的系数相加求出项的系数． 【详解】解：根据图可知，“杨辉三角”的规律为： 每行首尾都是，中间每个数等于它上方左右两个数的和， 第六行的数，从左到右的系数分别为： 根据图可知，第行第个数的系数为，第个数的系数为， 对应“杨辉三角”第行，展开式中对应第行的第项， 的系数等于第行第个数的系数与第个数的系数之和：． 故选：． 题型三：猜想与证明 解题思路：①可借助观察、归纳大胆猜想结论；②猜想只是假设，不能作为最终结论；③必须经过严谨推理论证，才可判定命题真假。 7．下面关于“证明”的说法正确的是（　　） A．“证明”是一种命题 B．“证明”是一种定理 C．“证明”是一种推理过程 D．“证明”就是举例说明 【答案】C 【分析】公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明． 本题考查了证明的概念，根据证明的概念求解即可． 【详解】“证明”是一种推理过程． 故选：C． 8．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 9．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为__________． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 题型四：判断是否是命题 解题思路：①判断是否为陈述句；②判断语句能否明确判断真假；③同时满足以上两点才是命题，疑问句、感叹句、作图祈使句均不是命题。 10．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【答案】B 【分析】命题的定义是：能对一件事情作出判断的语句叫做命题． 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 11．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 12．下列语句中，是真命题的是（    ） A．已知，求的值 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】不是判断的语句不是命题，A不是命题；证明假命题的方法是举反例，对B，D假命题须举反例说明． 【详解】A．已知，求的值， 不是判断语句，不是命题； B．面积相等的两个三角形全等， 例如和，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴与不全等， ∴原命题是假命题； C．对顶角相等，是真命题； D．若，则， 设，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴原命题是假命题． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，解决问题的关键是熟练掌握用举反例的方法说明假命题．此方法注意所举例子的题设符合原命题题设，例子的结论不符合原命题． 题型五：写出命题的题设与结论 解题思路：①将原命题改写为“如果……那么……”的标准形式；②“如果”之后为命题题设，“那么”之后为命题结论；③改写补齐命题隐藏的限定条件，不可更改原意。 13．将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 【答案】C 【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的和为直角，由此可得结论． 【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式， 正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题是由题设和结论两部分组成． 14．命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，故D正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的概念，熟记概念是关键． 15．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 题型六：判断命题真假 解题思路：①条件成立，结论一定成立为真命题，需要推理证明；②条件成立，结论不一定成立为假命题；③假命题举出1个反例即可完成证伪。 16．下列命题为真命题的是（    ） A．1的立方根是 B．点在x轴上 C．内错角相等，两直线平行 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查立方根概念，平面直角坐标系内点的坐标特征，平行线判定定理和对顶角的概念，只需逐个判断各命题的真假即可求解． 【详解】解：选项A，， 的立方根是，不是，A是假命题； 选项B，轴上点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点在轴上，B是假命题； 选项C，“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，是真命题； 选项D，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等，不是对顶角， D是假命题 故选：C． 17．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 18．下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的性质及命题真假的判断，需逐一分析各选项，结合相关性质判断命题是否为真命题． 【详解】解：A选项： ∵当时，，但 ∴该命题是假命题． B选项： ∵ ∴ 又∵ ∴ 根据立方根的唯一性，得 ∴ ∴该命题是真命题． C选项： ∵1的平方根是，不等于它本身，只有0的平方根是0，等于其本身， ∴该命题是假命题． D选项： ∵当，，时，，，但 ∴该命题是假命题． 故选B 题型七：举例说明假（真）命题 解题思路：①证实真命题要进行完整逻辑推理；②证伪假命题要构造实例；③实例必须满足命题全部条件，但不满足命题结论。 19．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 20．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，可得，不满足，因此可以说明原命题是假命题． 21．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 题型八：举反例 解题思路：①反例必须满足命题给出的全部已知条件；②反例得到的结果要和原命题结论相反；③两条同时满足，才属于有效反例。 22．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 23．用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 24．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 题型九：定理与证明 解题思路：①公理是公认事实，无需证明，可直接用作推理依据；②定理是经过推理证实的真命题，可作为证明的依据；③证明每一步都要写明依据，不能依靠图形直观感觉。 25．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 26．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 27．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 题型十：写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题思路：①把命题题设转化为几何或代数条件作为已知；②把命题要推导的结果整理为求证；③证明逻辑链条完整，不跳关键步骤，每一步标注推理依据，不额外增加条件。 28．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 29．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 30．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型十一：已知证明过程填写理论依据 解题思路：①分析该步推理的来源；②从已知、定义、公理、定理中选取规范表述填写；③禁止使用“看图可得”这类主观描述。 31．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 32．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 33．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 题型十二：根据给出的论断组命题并证明 解题思路：①从给定论断挑选条件与结论，组合成完整陈述句命题；②判断组合后命题的真假；③真命题书写完整证明，假命题举出对应反例。 34．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 35．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 36．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】略 题型十三：以几何为背景的推理与论证 解题思路：①仅使用题干给出条件，不依靠图形目测判断；②调用对应几何定义、定理开展推导；③规范书写推理步骤。 37．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 38．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧低， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 39．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 题型十四：以代数为背景的推理与论证 解题思路：①借助代数运算、数的性质完成推导；②不能凭借少数特殊数值断定普遍结论成立；③证伪时选取一组符合全部条件的数值作为反例。 40．桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 【答案】或 【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答． 【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变， 则勺子在最左边或最右边， 当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边； 当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边； ∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或， 故答案为：或． 41．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 42．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 题型十五：逻辑推理与论证 解题思路：①梳理题干全部约束条件；②排除矛盾情况，必要时做分类讨论；③推导结果不能出现逻辑自相矛盾。 43．有六个命题：①这本书是小雨的，或者是小红的；②这本书是小明的，或者是小林的；③这本书是小刚的；④这本书不是小林的；⑤这本书不是小刚的；⑥这本书既不是小雨的，也不是小红的．其中有两个假命题，则这本书的拥有者是（   ） A．小雨 B．小林 C．小刚 D．小明 【答案】D 【分析】本题考查了命题、逻辑推理，具备一定的逻辑思维能力是解题关键．根据这六个命题中只有两个假命题可得假命题一定在①⑥和③⑤中各选一个，②④一定是真命题，由此即可得． 【详解】解：由题干可知，命题①⑥是矛盾的，必有一个是假命题；命题③⑤是矛盾的，必有一个是假命题， ∵这六个命题中只有两个假命题， ∴假命题一定在①⑥和③⑤中各选一个，即有两个假命题， ∴命题④这本书不是小林的，②这本书是小明的，或者是小林的，一定都是真命题， ∴这本书是小明的， 故选：D． 44．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 【答案】乙和丁 【分析】从甲的“不知道”反推乙、丙的成绩组合，再利用该组合推导乙的成绩即可． 【详解】解：如果乙、丙都是优秀，那甲只能是良好，甲就能确定自己的成绩； 如果乙、丙都是良好，那甲只能是优秀，甲也能确定自己的成绩； 因此，乙、丙一定是一优一良； 乙看到了丙的成绩，又知道乙、丙是一优一良， 若丙是优秀，乙就一定是良好； 若丙是良好，乙就一定是优秀； 所以乙能知道自己的成绩。 因为乙、丙是一优一良，所以剩下的甲、丁也必然是一优一良， 丁看到了甲的成绩： 若甲是优秀，丁就一定是良好； 若甲是良好，丁就一定是优秀； 所以丁能知道自己的成绩． 则能知道自己成绩的同学是乙和丁． 45．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 【答案】D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 解答题 1．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 2．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 3．指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 【答案】(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）． (2)真命题 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 4．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 5．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 6．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）22；（ⅱ）或或或或 【分析】（1）根据算法逻辑求解； （2）（ⅰ）根据算法逻辑得出十位和个位上的数字相同，且等于频次2，求解即可； （ⅱ）根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（ⅰ）若M是一个两位数，且满足， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，十位和个位上的数字相同，且等于频次2， ∴M为； （ⅱ）∵，， ∴，且M是一个四位数， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次， ∴为或或或或， ∴对应的所有四位数为或或或或． 7．要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 根据以上步骤，用勾股定理，求证命题：“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等”．（不能使用“”判定全等） 【答案】 证明：已知：如图，和中，， 求证： ∵， ∴和都是直角三角形 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，先理解题意，明确命题中的已知和求证，根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，作图，结合勾股定理得出，再运用的判定方法证明，即可作答． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $