专题22 平行线的证明（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平行线的证明”核心知识点，系统梳理命题、公理、定理的区分及几何证明格式，构建“由角推线”的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）与“由线推角”的性质定理的知识支架，衔接拐点辅助线模型（铅笔头、锯齿、外侧拐角）的综合应用。 资料通过“判定与性质对比表”强化逻辑推理意识，结合典例与变式训练培养几何直观，分层设计巩固与强化题组。课中助力教师按题型精准授课，课后学生可通过证明书写规范与辅助线技巧训练查漏补缺，提升数学语言表达能力。

专题22 平行线的证明 1. 能够区分命题、公理、定理，掌握几何证明的基本书写格式。 2. 熟练掌握平行线的判定定理，会由角的关系推导线的平行。 3. 熟练掌握平行线的性质定理，会由直线平行推导角的关系。 4. 分清平行线判定与性质的区别，能综合解决拐点辅助线类综合题型。 一、平行线的判定（由角推线） 已知角的关系，推出两条直线平行 1. 同位角相等，两直线平行 2. 内错角相等，两直线平行 3. 同旁内角互补，两直线平行 补充：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 二、平行线的性质（由线推角） 已知两直线平行，推出角之间数量关系 1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 3. 两直线平行，同旁内角互补 ⚠️ 易错区分 - 判定：角相等/互补 ⇒ 直线平行 - 性质：直线平行 ⇒ 角相等/互补 三、平行线拐点模型（辅助线：过拐点作已知直线的平行线） （1）铅笔头模型； （2）锯齿模型； （3）外侧拐角模型。 【注意】遇到平行线之间有拐点，优先作平行线拆分角度。 题型01 平行线的判定 【典例】如图所示，下列选项中的条件不能判断的是（   ） A．，是的平分线 B． C．，是的平分线 D． 【变式】如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 题型02 平行线的性质求角度 【典例】如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，，交直线于点，连接，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03 判定与性质综合（综合例题） 【典例】如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 题型04 平行线拐点辅助线 【典例】如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 【变式】已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【巩固训练】 1．如图，已知和，点E在上，，，．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 2．如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 3．如图，中，，，将绕点顺时针旋转（）得到．当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 5．如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 9．如图，，交直线于点，连接，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【强化训练】 1．在横线上填出正确的结论，括号内写上理由已知：，求证：． 证明：（已知）， ______； ______； _____； ，______； 又（已知） ______； ______； 又（已证） ______． 2．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 3．完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为 H，F，，求证：． 证明：∵，（ ） ∴，（ ） 即（ ） ∴（ ） ∴_________ ∵ ∴ （ ） ∴ ∴（ ） 4．如图，，求的度数． 5．已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 6．推理填空： (1) （   ） (2)， _____________（   ） (3) _____________（   ） 7．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 8．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 9．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：． 证明：平分， （　　）， ，， ______________________， ， ， 直线， （　　）， （　　）． 10．如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)如图①，当点D在边上时，求证：． (2)在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． (3)如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 平行线的证明 1. 能够区分命题、公理、定理，掌握几何证明的基本书写格式。 2. 熟练掌握平行线的判定定理，会由角的关系推导线的平行。 3. 熟练掌握平行线的性质定理，会由直线平行推导角的关系。 4. 分清平行线判定与性质的区别，能综合解决拐点辅助线类综合题型。 一、平行线的判定（由角推线） 已知角的关系，推出两条直线平行 1. 同位角相等，两直线平行 2. 内错角相等，两直线平行 3. 同旁内角互补，两直线平行 补充：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 二、平行线的性质（由线推角） 已知两直线平行，推出角之间数量关系 1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 3. 两直线平行，同旁内角互补 ⚠️ 易错区分 - 判定：角相等/互补 ⇒ 直线平行 - 性质：直线平行 ⇒ 角相等/互补 三、平行线拐点模型（辅助线：过拐点作已知直线的平行线） （1）铅笔头模型； （2）锯齿模型； （3）外侧拐角模型。 【注意】遇到平行线之间有拐点，优先作平行线拆分角度。 题型01 平行线的判定 【典例】如图所示，下列选项中的条件不能判断的是（   ） A．，是的平分线 B． C．，是的平分线 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，对于A选项，根据角平分线的定义和已知条件可证明，则由内错角相等，两直线平行可证明；对于B选项可以根据同旁内角互补，两直线平行证明；对于C选项，根据角平分线的定义和已知条件可证明，则由内错角相等，两直线平行可证明；对于D选项可以根据同旁内角互补，两直线平行证明，不能证明． 【详解】解：A、∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，即， ∴，故此选项不符合题意； C、∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，即， ∴，不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式】如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意； B. ∵，∴，故原选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故原选项错误，不合题意； D. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意． 故选：B 题型02 平行线的性质求角度 【典例】如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据可得，再利用平角的定义可求得，最后再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ． 故选：C． 【变式】如图，，交直线于点，连接，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线性质、三角形内角和定理及邻补角性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先由“两直线平行，内错角相等”得，再由三角形内角和为得出度数，最后由邻补角互补即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 题型03 判定与性质综合（综合例题） 【典例】如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据题意，由平分，可得：，根据已知，可得，利用平行线的判定可得：，再根据平行线的性质可得，再根据平分，由角平分线定义即可得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， 故选：． 【变式】如图，，，．求证：．某同学证法如下，请在横线上填写其推理过程或理由． 证明：因为， 所以 （______) 所以 ， 所以 （______）（ ） 因为（____） 所以（______） 所以（______） 【答案】垂直的定义；；同旁内角互补，两直线平行；已知；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论以及推理依据即可． 【详解】证明：因为， 所以 （垂直的定义) 所以 ， 所以 （）(同旁内角互补，两直线平行) 因为（已知） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线互相平行） 题型04 平行线拐点辅助线 【典例】如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的性质与判定，平行的传递性一一填空即可． 【详解】解：过C点作的平行线． 则，（两直线平行，内错角相等） 又因为，（已知） 所以（等量减等量差相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以．（平行于同一直线的两直线平行） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 【变式】已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【巩固训练】 1．如图，已知和，点E在上，，，．若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质．根据，得，结合已知条件证明，据此计算即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，中，，，将绕点顺时针旋转（）得到．当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形特征，熟练掌握及运用其性质是解答本题的关键．根据旋转可得，，进一步得，再利用平行线的性质倒角，最后根据三角形的内角和定理即可求得结果． 【详解】解：由旋转得，，， 中，，， ， ， ， 在中，， 整理得，． 故选：C． 4．如图已知，，则下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．正确的有（    ） A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，①根据内错角相等，判定两直线平行；②根据两直线平行，同旁内角互补与同旁内角互补，两直线平行进行判定；③根据两直线平行，同旁内角互补与同角的补角相等判定；④根据两直线平行，内错角相等判定． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 所以①正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故②正确； ∵，（已证）， ∴，， ∴（同角的补角相等）， 所以③正确； ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 所以④正确． 综上，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 5．如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点D到边的距离． 故选：B． 6．如图，在四边形中，平分交于点，平分交的延长线于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据题意，由平分，可得：，根据已知，可得，利用平行线的判定可得：，再根据平行线的性质可得，再根据平分，由角平分线定义即可得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， 故选：． 7．如图，已知，，，给出下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 由平行线的性质，即“两条直线平行，同位角相等”可判断①；由“内错角相等，两直线平行”可判断②；由可判断③和④． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 但由已知信息无法推断， 故不一定成立，故③错误； ∵， ∴， ∵， 但不一定成立，故④错误， ∴正确的为①和②，共2个． 故选：B． 8．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 9．如图，，交直线于点，连接，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线性质、三角形内角和定理及邻补角性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先由“两直线平行，内错角相等”得，再由三角形内角和为得出度数，最后由邻补角互补即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，直线BF，CD相交于点O，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可． 【详解】解：选项当时，得，这时，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同旁内角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，得，不是同位角也不是内错角，不能得到，故选项不正确，不符合题意； 选项当时，，，与是同旁内角，是正确的，故选项正确，符合题意． 故选：． 【强化训练】 1．在横线上填出正确的结论，括号内写上理由已知：，求证：． 证明：（已知）， ______； ______； _____； ，______； 又（已知） ______； ______； 又（已证） ______． 【答案】对顶角相等；；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的性质以及判定定理，结合图形即可解答． 【详解】证明：（已知） （对顶角相等）； 3； ； ，（两直线平行，同位角相等）； 又（已知） （内错角相等，两直线平行）； （两直线平行，内错角相等） 又（已证） （等量代换） 2．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”证明，可得，再根据“内错角相等两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据平行线的性质和角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵D为中点， ∴. 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得. 3．完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为 H，F，，求证：． 证明：∵，（ ） ∴，（ ） 即（ ） ∴（ ） ∴_________ ∵ ∴ （ ） ∴ ∴（ ） 【答案】 解：已知；垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行 ；；；同角的补角相等； ；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】略 4．如图，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先判定，再根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．已知：如图，，．求证：，． 解：连接 ∵， 　　 　　 在△和△中， （ 　　 　　 　　 　　 【答案】，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，根据“两直线平行，内错角相等”证明，而，，可根据“”证明，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”得，，即可根据“内错角相等，两直线平行”证明，于是得到问题的答案． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中， ， ， （全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行． 6．推理填空： (1) （   ） (2)， _____________（   ） (3) _____________（   ） 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)；内错角相等，两直线平行 (3)；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行，可得； （2）根据内错角相等两直线平行，可得； （3）根据内错角相等两直线平行，可得． 【详解】（1）解：∵ （同位角相等，两直线平行） 故答案为：；同位角相等，两直线平行． （2） ∴（内错角相等，两直线平行） （3） ∴（内错角相等，两直线平行） 7．如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 8．如图，已知点在上，平分平分． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：平分平分， ， ， ， ， ； (2) 证明：平分平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查的是角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键， （1）根据角平分线的定义结合平角定义得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线上，直线，垂足为P，平分，．求证：． 证明：平分， （　　）， ，， ______________________， ， ， 直线， （　　）， （　　）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的定义，正确理解平行线的判定是解题的关键．先根据角平分线的定义得到，进一步得出，从而得到，再根据平行线的判定，即得答案． 【详解】证明：平分， （角平分线的定义）， ，， ， ， ， 直线， （垂直的定义）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；，；垂直的定义；内错角相等，两直线平行． 10．如图，已知等边三角形是直线上一点，以为一边，向上作等边三角形，连接． (1)如图①，当点D在边上时，求证：． (2)在（1）的条件下，猜想之间的位置关系，并说明理由． (3)如图②，当点D在边的延长线上时，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． (2) ，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． (3) 仍然成立，证明如下： ∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （3）同样的方法，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $