7.3.平行线的证明教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦平行线判定定理的证明，通过复习回顾直线平行的条件及证明基本事实，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知基本事实出发，探究内错角相等、同旁内角互补两直线平行的证明过程。 资料以“问题引导-探究证明-应用拓展”为主线，通过折纸实验、蜂房问题等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，在规范证明步骤中发展推理能力（数学思维），符号语言表达强化数学语言应用，既提升学生逻辑推理与实践能力，又为教师提供结构化教学流程与丰富实例。

命题都需要通从已知条件出发，依据规定的基本事实、有关概念的定义、已经证明的定理， 2.回顾2：上节课我们了解到要证实一个命题是真命题。除基本事实、定义外，其他真 事实。那其他的两个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨。 这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、归纳等活动得到的。其中第一条是基本 同旁内角互补两直线平行。 内错角相等两直线平行； 同位角相等两直线平行； 线平行的哪些条件？ 1. 回顾1：前面我们探索过直线平行的条件。大家来回忆一下：前面我们探索过直 第一环节：复习回顾 教学过程 能运用证明的基本步骤和书写格式，适当选取判定两直线平行的方法进行推理证明。 教学难点： 内角互补，两直线平行”。 根据基本事实“同位角相等，两直线平行”证明定理“内错角相等，两直线平行”和“同旁 教学重点： 教学内容 3.在证明过程中发展初步的演绎和推理能力。 旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用平行线的判定定理进行证明。 2. 会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”和“同 证明思路的经验，发展几何推理能力。 1. 经历平行线的判定定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，积累分析 教学目标 出版社：北京师范大学出版集团 出版日期：2025年8月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册 课题 7.3平行线的证明（第一课时） 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 简述为：内错角相等,两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 证明后得出判定直线平行的定理： 请同学们自己试一试。然后和同伴交流。 问题2：那么除了找到角2的同位角，你还可以找到其他角的同位角来解决问题吗？ 所以a∥b，这是根据基本事实：同位角相等两直线平行。 所以∠2=∠3 理由是等量代换。 b 2 ∠1=∠3，根据对顶角相等。 3 1 a 因为∠1=∠2 这是已知条件。 接下来我们一起来整理一下，写出完整的证明过程。 c 角，所以一定相等。 已知角1等于角2，要得到角2等于角3，只要角1等于角3就可以了，而角1与角3是对顶 大家看，这里角2的同位角是角3，因此，只要考虑角2等于角3是否成立就可以了， 我们先找出图中已知角的同位角来观察一下， 可是图中的已知角不是一组同位角，那怎么办呢？ 来证明，因此，为了证明a∥b就应当从图中的同位角入手， 目前，只有基本事实中的同位角相等两直线平行可以用 能利用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实吗？ b 2 分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？ 1 a 求证：a∥b c 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c 截出的内错角，且∠1=∠2． 这个文字证明题转化为下列形式： 证明一个命题首先要依据题意画出图形，结合画出的图形写出已知求证的内容，可以把 问题1： 那么这个命题的条件和结论分别是什么呢？ 活动一：证明“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”。 第二环节：证明平行线的判定定理 埋下伏笔。 设计意图：回顾两条直线平行的条件，和证明直线平行的基本事实为下一步顺利地引出新课 一步一步地进行推理。本节课我们具体证明两个判定直线平行的命题。 ∠5+∠2=180°理由是（平角的定义）。 证明：∵∠1+∠2=180°（已知）， b 5 2 老师把小明的思路整理了一下，给出了证明过程的参考写法， 1 a 问题2：请同学们整理一下你的思路并写出完整的证明过程。 c 于此类似，∠1的补角∠6与∠2也是内错角，看起来证明思路可真不少。 ∠1的补角∠4与∠2也是同位角。小明同学着眼于∠2的补角∠5与∠1是内错角，也很棒， 老师分析：小颖同学发现∠2的补角∠3与∠1是同位角，很好，于此类似，还可以发现 与∠2互补，根据同角的补角相等可以得到∠1等于∠5，从而得到a∥b。 小明分析：我考虑的是∠1与它的内错角∠5是否相等，因为∠5与∠2互补，而已知∠1 而得到a∥b。 诉我们∠1与∠2互补，根据上节课证明的定理同角的补角相等，可以得到∠1等于∠3，从 小颖分析：我考虑∠1与它的同位角∠3是否相等，显然∠3与∠2互补，而已知条件告 命题，并在小组内交流，分享不同的证明方法。 内错角相等两直线平行，请同学们自己先思考一下该如何证明。请按上面的过程，证明这一 等两直线平行。现在证明两直线平行的依据又多了一条，这就是刚刚证明过的判定定理： 判定直线平行的依据只有基本事实：同位角相 b 2 分析：刚才在证明内错角相等两直线平行时， 1 a 求证：a∥b。 c 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1+∠2=180°。 问题1：这个命题的条件和结论分别是什么呢？ 画出相应的图形。 活动二：证明“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”。 定定理来证明。同学们，你们掌握了吗？ 对，两种，我们既可以用基本事实“同位角相等，两直线平行”也可以用刚才得到的判 现在，老师想问问同学们，要想证明两条直线平行，你有几种方法呢？ b 2 ∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）。 1 a ∵ ∠1=∠2（已知）， c 符号语言： CD，折线为l .∠1与∠2都是直角，位置关系形成同位角，利用同位角 2 相等，得出l ∥l 。 1 2 1 如图，折叠线段CD使其重合，折线为l ，用此方法再次折叠线段 法与证明过程。 （2）任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明。与同伴交流各自的折纸方 所以由∠1=∠2可以推出 a∥b，理由是（内错角相等，两直线平行）。 1与∠2的位置关系是内错角， 通过两个三角板全等，我们可以得到∠1与∠2的数量关系是相等的，在平移的过程中∠ 1.（1）小明想用下面的方法做出一条直线的平行线，你能说说其中的道理吗？ 第三环节：思考·交流 其它两个判定方法，并逐步掌握规范的推理证明格式。同时渗透转化的数学思想。 设计意图：教师引导学生进行简单的推理，得出结论，然后再仿照方法进行归纳，得出 在每一步推理后面的括号内。 （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。在初学证明时，要求把根据写 已经探索过的但还没有经过严格证明的结论现在还不能用。 （1）已给的基本事实、定义和已证明的定理以后都可以作为依据，来证明新的定理； 在书写证明过程中我们还要注意一下几点： 经过严格证明之后，这一定理今后就可以直接应用了， b ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。 2 1 a ∵∠1+∠2=180°(已知)， 符号语言： c 简述为：同旁内角互补，两直线平行。 定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。 ∴∠1 =∠5根据的是（同角的补角相等）， 在这个问题中我们还可以找出角1的同位角或者角2 的同位角以及角2的内错角，也可 ∴a ∥ b（同旁内角互补，两直线平行）。 ∴∠3＋∠2＝180°（等量代换）。 b 又∠1＝∠3（ 对顶角相等 ）， 2 3 a 证明：∵∠1＋∠2＝180°（ 已知 ）， 1 这个思路我们可以整理如下： c 顶角，因此，∠1与∠3相等，等量代换后∠2与∠3互补，从而得到了a∥b。 想证明a∥b，可以先找到∠2的同旁内角，通过观察我们发现∠2的同旁内角∠3与∠1是对 从数量关系上来看，∠1与∠2是互补的，但∠1与∠2的位置关系不是同旁内角，因此， 老师通过找角2的同旁内角证明了两条直线平行，下面跟同学们分享一下 请同学们思考一下并将你的思路书写在学习任务单上！ 我们观察图形，要想证明a平行b，你能找到哪些相关的角呢？ 分析： b 2 求证：a∥b。 a 已知：如图直线a，b被直线c所截，∠1＋∠2＝180°。 1 3.数学理解 c 边。 因此这个四边形的对边分别平行，通过这个题目的解答我们发现数学其实就在我们的身 ∴ AD∥BC理由是（同旁内角互补，两直线平行）。 ∵∠A+∠B=109°28′+70°32′=180°， ∴ AB∥CD理由是（同旁内角互补，两直线平行）。 ∵∠A+∠D=109°28′+70°32′=180°， 理由如下： 经过计算我们发现AB∥CD,AD∥BC。 形对边的位置关系，并证明你的结论。 成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′， ∠β=70°32′。试确定这个四边 蜂房中有很多数学问题值得我们思考，我们一起来看看，蜂房的底部由三个全等的四边形围 2.问题解决 证明：∵∠1＝∠2＝90°，∴∠1∥∠2(同位角相等，两直线平行)。 设计意图：巩固所学知识，给不同层次的学生提供不同的发展空间。 2.选做题 （作业练习单） 1.必做题 （作业练习单） 第五环节：作业布置 自己的推理能力。 的时候要注意语言的规范化．推理过程要有依据．今后我们还要解决更多的证明问题，提升 而应用这些基本事实、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．同学们在证明 线的位置关系---平行，充分体现了“数”与“形”的联系； 在证明过程中，我们将同位角，内错角以及同旁内角这些角的数量关系转化成了两条直 学的严密性． 出发证明了平行线的两个判定定理并进行了简单的应用，进一步体会了证明思路的严谨和数 最后我们来回顾一下这节课，本节课我们从“同位角相等，两直线平行”这一基本事实 第四环节：课堂小结 眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。 藏着很多值得深入探究的数学问题。并且通过对生活中数学问题的研究，引导学生用数学的 操作、思考交流，并说明各自方法的基本原理。问题解决中的蜂房问题让学生了解到生活中 方法，对原理的阐释也会多样，这将让课堂教学更具开放性与探究性。问题（2）让学生动手 行线，接着思考并说明作图方法背后的道理。由于学生思维角度不同，可能会产生多种画图 定定理解释画图的道理”为核心任务，让学生先利用直尺、三角尺或折纸等方法快速画出平 设计意图：本环节是运用平行线的判定定理解释现象、解决问题。以“利用平行线的判 以证明出 a∥b，请同学们将你的思路书写在学习任务单上。 学科网（北京）股份有限公司 $