专题1.1 正数和负数（3大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版七年级数学上学期培优讲义

本初中数学讲义聚焦“正数和负数”核心知识点，系统梳理正数（大于0、正号可省略）、负数（小于0、负号不可省略）与0（分界与基准）的概念，进而讲解具有相反意义的量（意义相反、有数量、同类量三要素）及正负数表示误差浮动范围（a±b的含义与合格区间），构建从概念到应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，基础题强化概念辨析与相反意义量判断，培优题结合时差、纪年、零件误差等情境培养应用意识，规律探究题提升推理意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固重点、突破难点，有效查漏补缺。

专题1.1 正数和负数 知识点 1：正数、负数与 0 的概念 　　1、正数：大于 0 的数叫做正数。正数前面的 “”（正号）可以省略不写，例：、、都是正数。 　　2、负数：在正数前面加上 “”（负号）得到的数叫做负数，负数小于 0；负数前面的负号不能省略，例：、、都是负数。 　　3、的意义：0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界；0 可以表示 “没有”，也可以表示计量基准（例如、海拔 0 米）。 分类 定义 示例 书写要点 正数 大于 0 的数 ，， “” 可以省略 负数 正数前加负号，小于 0 的数 ，， “” 不能省略 0 正负数的分界 不属于正数、负数 知识点 2：具有相反意义的量 　　1、三层判定条件：①意义相反；②具备数量；③必须是同类量，三者缺一不可。 　　2、特点 　　（1）成对性：单独一个量不能构成相反意义的量。 　　（2）同类性：只能是同一属性的量，如向东走与盈利不属于同类量，不能构成相反意义的量。 　　（3）不唯一性：数量大小不需要相等。例：盈利 200 元的相反意义量可以亏损 100 元，也可以亏损 500 元。 　　3、表示规则：把其中一种意义的量规定为正，用正数表示；与之相反意义的量就用负数表示；同一道题目中正方向一经规定，不能随意更改，书写时必须带上单位。 　　常见相反意义词语举例：增加↔减少、零上↔零下、前进↔后退、收入↔支出、盈利↔亏损、上升↔下降、向东↔向西。 知识点 3：正负数表示误差、浮动范围 　　1、形如的实际含义：标准数值为a，允许比标准最多大b，最少小b。 　　2、合格范围：最小值a-b，最大值a+b，实际数值落在区间[a-b,a+b]即为合格。 【基础必考题型】 【题型 1】正负数与 0 的概念辨析 1. 核心知识点   1. 正数、负数的定义；0 既不是正数也不是负数。   2. 正号可以省略，负号不可省略。 2. 解题方法技巧   1. 判断数的属性，直接和 0 对比：大于 0 为正数，小于 0 为负数。   2. 牢记 0 的特殊性，不属于正数、负数；不要看见带“-”就直接判定为负数。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）在、、0、，2.5、这些数中，正数有_______，负数有_____． 【答案】 ，2.5 ，， 【分析】带负号“”的数是负数，正数可带正号也可不带正号，0既不是正数也不是负数，逐个判断即可分类． 【详解】解：正数：，2.5； 负数：，，． 【变式题1-1】.（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有____，负数有____，其中____既不是正数，也不是负数． 【答案】 3，，1.2 ， 0 【分析】根据正负数的意义，大于的数是正数，小于的数是负数，既不是正数也不是负数，据此对给出的数进行分类判断． 【详解】解：在、、、、、中，根据正负数的定义，可得正数是，，，负数是，，其中既不是正数，也不是负数． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数. 【详解】解：∵正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴选项C正确. 故选：C． 【变式题1-3】.（2026·山西吕梁·一模）中国是世界上最早使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中，就首次引入了负数的概念．下列各数中，是负数的是（　　） A．5 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，根据“小于0的数是负数”，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】负数的定义是小于0的数，各个选项中只有是负数， 故选：B 【题型 2】判断具有相反意义的量 1. 核心知识点   1. 相反意义量的三要素：意义相反、有数量、属于同类量。   2.《九章算术》中正负概念的文化背景。 2. 解题方法技巧   1. 排除不同属性的两组量，如身高和重量、路程和钱数。   2. 相反意义的量必须同时具备 “相反词语 + 具体数量”。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量 B．“快”和“慢”表示具有相反意义的量 C．“向南100米”和“向北1000米”表示具有相反意义的量 D．“米”就表示向东走了15米 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量，根据相反意义的量包含2层含义：意义相反，有具体的数值，进行判断即可． 【详解】解：A、没有数值，不是相反意义的量，不符合题意； B、没有数值，不是相反意义的量，不符合题意； C、是相反意义的量，符合题意； D、未规定向东为正，描述错误，不符合题意． 故选C． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请举出一些具有相反意义的量的实例． 【答案】答案不唯一，温度升高与温度下降；向东走与向西走；收入元与支出元；电梯上升5层与电梯下降2层等等 【分析】本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它们的意义相反，并且都是数量，数量的单位相同．按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向的相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的．例如一个表示增加，另一个表示下降等． 【详解】答案不唯一，温度升高与温度下降；向东走与向西走；收入元与支出元；电梯上升5层与电梯下降2层等等． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 【答案】(1)③，④，① (2)减少 【分析】（1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量； （2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“”的意义． 【详解】（1）解：相反意义的量配对 II“运出250吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③， III“上升”，相反意义的量是“下降”，所以III—④， IV“支出100元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－① 故答案为：③，④，①； （2）解：因为“＂表示增加， 所以“”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“”表示减少． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列横线上填上适当的词，使其前后意义相反． （1）向东走3米和______走3米； （2）某地某天最高气温是零上，最低气温是______； （3）飞机下降0.6千米和______1千米； （4）弹簧伸长和______． 【答案】 向西 零下 上升 缩短 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正确理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：（1）东的相反方向是西，所以向东走 3 米和向西走 3 米，二者意义相反， 故填：向西； （2）零上的相反情况是零下，所以某地某天最高气温是零上，最低气温是零下，二者意义相反， 故填：零下； （3）下降的相反动作是上升，所以飞机下降 0.6 千米和上升1 千米，二者意义相反， 故填：上升； （4）伸长的相反变化是缩短，所以弹簧伸长和缩短，二者意义相反， 故填：缩短． 【题型 3】解读情境中正负数的实际含义 1. 核心知识点   1. 正负数用来表示一组相反意义的量。   2. 读懂题干预先规定的基准与正负含义。 2. 解题方法技巧   1. 先圈画题干规定：什么情况记作正，什么记作负。   2. 符号只代表和规定方向相反，不代表好坏。 【例题3】.（25-26七年级下·云南德宏·期末）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵收入元记作元，支出与收入是具有相反意义的量， ∴支出元记作元. 【变式题3-1】.（26-27七年级上·河南商丘·开学考试）如果规定比海平面高，用正数表示，那么海拔表示比海平面低．( )（填“√”或“×”） 【答案】√ 【分析】正负数可表示一对相反意义的量，规定高出海平面为正，即可判断负数的含义． 【详解】规定比海平面高用正数表示，正负数表示相反意义的量，因此负数表示比海平面低，可得表示比海平面低，原说法正确． 【变式题3-2】.（24-25六年级上·上海普陀·期中）如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【答案】B 【详解】解：∵收入万元记作万元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴万元表示支出万元. 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是毫米，该零件（   ） A．合格 B．不合格 C．无法判断 D．可能合格也可能不合格 【答案】A 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是掌握正负数的意义． 利用正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 该零件合格， 故选：A． 【培优高频题型】 【题型 4】型误差浮动范围应用 1. 核心知识点   1. 的实际意义；合格数值的取值区间。   2. 判断产品是否合格。 2. 解题方法技巧   1. 算出最大值a+b、最小值a-b。   2. 待测数值落在最小、最大值之间即为合格，否则不合格。 【例题4】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）2025年赣南脐橙的采摘时间定在了11月3日，这是因为此时脐橙的食用口感、风味基本反映其固有品种特征．某赣南脐橙包装纸箱上标明大果直径为，小茗从箱子里任意取出一个脐橙并测量其直径为，那么这个脐橙大小______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数加减运算，计算合格直径范围并比较测量值是否在该范围内，即可得出答案． 【详解】解：根据包装纸箱标明，大果直径为，即合格直径范围为到， 测量直径为，由于，所以该脐橙大小合格． 故答案为：合格． 【变式题4-1】.（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据误差不大于可知，尺寸记录的数字部分大于和小于的零件为不合格的零件，据此求解即可． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴不合格的零件的尺寸有，共1个， 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）第十五届全国运动会是粤港澳三地首次联合承办的全国性综合运动会，于2025年11月21日落下帷幕．全运会使用的乒乓球的产品参数标明球的直径是，这表明乒乓球的标准直径为．如果一只乒乓球的直径大于标准直径记作，那么小于标准直径记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数实际意义． 根据正负数的实际意义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，小于标准直径记作， 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）下表列出了一带一路沿线城市与北京的时差，我国驻巴西里约的工作人员为了收看大阅兵（北京时间9月3日上午10点开始），需要在里约____________点开始观看（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，惠灵顿时间为，那么惠灵顿与北京的时差为） 城市 惠灵顿 开罗 莫斯科 里约 时差 【答案】 9月2日 【分析】此题考查正负数的应用，根据时差定义，里约时间比北京时间晚11小时，因此北京时间10:00时，里约时间为前一日23:00 【详解】由表格可知，里约与北京的时差为小时，即里约时间比北京时间晚11小时， 北京时间9月3日上午10:00时，里约时间为小时 = 9月2日23:00， 故需要在里约23:00点开始观看 故答案为：9月2日 【题型 5】跨学科时差 / 纪年情境题 1. 核心知识点   1. 正负数表示时间差，正数代表更早，负数代表更晚。   2. 公元、公元前的正负记法。 2. 解题方法技巧   1. 当地时间 = 北京时间 + 时差。   2. 注意跨 0 点，日期会发生变化。 【例题5】.（25-26七年级上·河北·单元复习）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 【变式题5-1】.（2026·湖南怀化·一模）历史年份中，通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．若公元前年秦朝统一六国记作年，那么公元年唐朝建立应记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】由正负数的实际应用，按照题意表示即可． 【详解】解：A、年表示公元前年，选项错误； B、年表示公元年，选项正确； C、年不符合规定的写法，数值也不对，选项错误； D、年数值不对，选项错误． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案． 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 故选：A． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 【答案】(1)“”表示市场上鲜菜价格下降了 (2)“”表示大熊猫体重比上月增长了 (3)“”表示沙化土地面积平均每年缩减 【分析】本题考查了正负数的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）“增长了”表示“下降了”，据此即可作答． （2）“体重变化为” 表示“体重比上月增长了”，据此即可作答． （3）“沙化土地面积平均每年变化” 表示“沙化土地面积平均每年缩减”，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，“”表示市场上鲜菜价格下降了； （2）解：依题意，“”表示大熊猫体重比上月增长了； （3）解：“”表示沙化土地面积平均每年缩减． 【题型 6】正负数数列规律探究 1. 核心知识点   1. 观察数列数字与符号双重循环规律。   2. 根据项数判断对应数字符号。 2. 解题方法技巧   1. 拆分观察：数字部分、符号部分分开找循环周期。   2. 用项数除以周期，看余数判断符号。 【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）分别观察下面各题中依次排列的一些数，猜测它们的排列各有什么规律？请按你猜测的规律，接着写出后面的3个数．你能分别说出各题排列的数中第10个数、第100个数、第200个数、第201个数是什么吗？ (1)1，，1，，1，，1，，______，______，______，…； (2)1，，3，，5，，7，，______，______，______，…； (3)，，，，，，，______，______，______，…． 【答案】(1)；；；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为 (2)；，；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为 (3)，，；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为 【分析】（1）根据给出的几个数得出：1和交替出现，从而得出后面的几个数； （2）根据前面几个数可以看出：这些数的绝对值为连续的正整数，奇数为正，偶数为负，从而得出后面的几个数； （3）根据前面几个数可以看出：这些数的分母为连续的正整数，分子为1，且第奇数个数为负，第偶数个数为正，从而得出后面的几个数． 【详解】（1）解：后面的三个数依次为：；；；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为； （2）解：后面的三个数依次为：；，；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为； （3）解：后面的三个数依次为：，，；第10个数为，第100个数为，第200个数为，第201个数为． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【分析】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【详解】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 【答案】(1)第100个数为100，第2023个数为 (2)正数有1012个，负数有1012个 (3) 不在，理由：2025不在这列数中。理由：因为这列数的绝对值等于其项数，所以如果2025在这列数中，它必然是第2025个数。根据规律，奇数项为负数，所以第2025个数应为，故2025不在这列数中． 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）先分别从奇数位和偶数位，符号和绝对值方面进行找规律，再分别代入计算； （2）利用规律进行求解； （3）根据奇数位是负数即可判断． 【详解】（1）解：因为这列数中奇数位是负数，偶数位是正数，所以这列数中的第100个数为100，第2023个数为． （2）解：在前2024个数中，正数有1012个，负数有1012个． （3）略 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·单元复习）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 易错点 1、误认为带 “” 符号的数就是负数；后续会学到化简符号，带负号不一定是负数。 2、对 0 的理解片面，只认为 0 代表 “什么都没有”，忽略 0 可以作为计量基准，0 既不是正数，也不是负数。 3、判断相反意义的量时，忽略 “同类量” 条件，把不同属性的量当成相反意义的量。 4、书写正负数表达实际意义时，漏掉单位；基准发生改变，仍然沿用旧基准计算。 重点 1、掌握正数、负数、0 的概念，能够准确区分正数、负数。 2、会识别、会用正负数表示生活中具有相反意义的量，读懂实际情境中正负数的含义。 难点 1、理解 0 的多重实际意义，区分 “表示没有” 和 “作为计量基准” 两种情形。 2、读懂动态变化类题目，区分固定基准与动态变化基准，正确完成递推计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．若规定向东走记作，则向西走记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题干的正方向规定，利用相反意义的量的表示方法求解． 【详解】解：∵规定向东走记为正，向西与向东是相反意义的量， ∴向西走记作． 2．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 3．《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之．”若盈余3万元记作万元，则万元表示（    ） A．亏损万元 B．盈余3万元 C．亏损3万元 D．不盈余不亏损 【答案】C 【详解】∵“正”和“负”相对，盈余万元记作万元， ∴万元表示亏损万元． 二、填空题 4．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 【答案】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，已知温度上升记为正数，可得温度下降记为负数，据此即可求解． 【详解】解： 温度上升记作， 温度下降记作． 5．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 、、9 、、 0 【分析】根据正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数求解即可，学生容易遗漏“0”或把0归入某一类． 【详解】解：正数有、、9，负数有、、；0既不是正数也不是负数． 6．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是______． 【答案】 【详解】 解：“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是． 三、解答题 7．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里： ，，，，，，，． 【答案】 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】略 8．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 【答案】(1) 解：沿顺时针方向转了12圈表示为圈； (2) 解：表示乒乓球的质量低于标准质量； (3) 解：“”表示大米的标准净含量为，实际每袋大米的净含量允许的误差范围为上下，即合格净含量范围是到． 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 9．1700多年前，我国数学家刘徽首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例如：．这个记载比国外早了差不多八百年．根据上述材料，解决问题： (1)如图，黑色算筹表示的有理数是 ． (2)下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A．（黑色）            B．（红色） C．（黑色）            D．（红色） 【答案】(1) (2)A 【分析】本题考查了正负数的实际表示（刘徽的算筹记数法）及对材料信息的提取与应用；解题的关键是紧扣材料中“黑色算筹表示负数、红色算筹表示正数”的规则，结合题目给出的算筹数字对应关系（横表十位数字、竖表个位数字）进行判断． （1）根据题目示例“黑色算筹二横三竖表示”，明确黑色表负数、横的数量对应十位数字、竖的数量对应个位数字，据此确定黑色算筹（二横三竖）表示的有理数； （2）要表示，需满足“黑色算筹（表负数）、3横（十位数字3）、5竖（个位数字5）”，据此匹配选项． 【详解】（1）解：根据材料及题目示例可知，黑色算筹表示负数，算筹中横的数量对应十位数字，竖的数量对应个位数字； 题目中黑色算筹为二横三竖，即十位数字为2，个位数字为3，且为负数，故该有理数是 故答案为： （2）解：要表示，需满足两个条件：①用黑色算筹（因是负数，黑色表负数）；②算筹为3横（十位数字3）、5竖（个位数字5）． A、黑色算筹，且为三横五竖，符合表示的条件，此选项符合题意； B、红色算筹（红色表正数），无法表示负数，此选项不符合题意； C、黑色算筹，但为五竖三横（对应十位数字3、个位数字5的反序，即），此选项不符合题意； D、红色算筹（红色表正数），无法表示负数，此选项不符合题意． 故选：A． 10．一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】(1) 解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． (2)元，元 (3)元 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 【详解】（1）略 （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正数和负数 知识点 1：正数、负数与 0 的概念 　　1、正数：大于 0 的数叫做正数。正数前面的 “”（正号）可以省略不写，例：、、都是正数。 　　2、负数：在正数前面加上 “”（负号）得到的数叫做负数，负数小于 0；负数前面的负号不能省略，例：、、都是负数。 　　3、的意义：0 既不是正数，也不是负数。0 是正数与负数的分界；0 可以表示 “没有”，也可以表示计量基准（例如、海拔 0 米）。 分类 定义 示例 书写要点 正数 大于 0 的数 ，， “” 可以省略 负数 正数前加负号，小于 0 的数 ，， “” 不能省略 0 正负数的分界 不属于正数、负数 知识点 2：具有相反意义的量 　　1、三层判定条件：①意义相反；②具备数量；③必须是同类量，三者缺一不可。 　　2、特点 　　（1）成对性：单独一个量不能构成相反意义的量。 　　（2）同类性：只能是同一属性的量，如向东走与盈利不属于同类量，不能构成相反意义的量。 　　（3）不唯一性：数量大小不需要相等。例：盈利 200 元的相反意义量可以亏损 100 元，也可以亏损 500 元。 　　3、表示规则：把其中一种意义的量规定为正，用正数表示；与之相反意义的量就用负数表示；同一道题目中正方向一经规定，不能随意更改，书写时必须带上单位。 　　常见相反意义词语举例：增加↔减少、零上↔零下、前进↔后退、收入↔支出、盈利↔亏损、上升↔下降、向东↔向西。 知识点 3：正负数表示误差、浮动范围 　　1、形如的实际含义：标准数值为a，允许比标准最多大b，最少小b。 　　2、合格范围：最小值a-b，最大值a+b，实际数值落在区间[a-b,a+b]即为合格。 【基础必考题型】 【题型 1】正负数与 0 的概念辨析 1. 核心知识点   1. 正数、负数的定义；0 既不是正数也不是负数。   2. 正号可以省略，负号不可省略。 2. 解题方法技巧   1. 判断数的属性，直接和 0 对比：大于 0 为正数，小于 0 为负数。   2. 牢记 0 的特殊性，不属于正数、负数；不要看见带“-”就直接判定为负数。 【例题1】.（26-27七年级上·全国·开学考试）在、、0、，2.5、这些数中，正数有_______，负数有_____． 【变式题1-1】.（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有____，负数有____，其中____既不是正数，也不是负数． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【变式题1-3】.（2026·山西吕梁·一模）中国是世界上最早使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中，就首次引入了负数的概念．下列各数中，是负数的是（　　） A．5 B． C．0 D． 【题型 2】判断具有相反意义的量 1. 核心知识点   1. 相反意义量的三要素：意义相反、有数量、属于同类量。   2.《九章算术》中正负概念的文化背景。 2. 解题方法技巧   1. 排除不同属性的两组量，如身高和重量、路程和钱数。   2. 相反意义的量必须同时具备 “相反词语 + 具体数量”。 【例题2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．“黑色”和“白色”表示具有相反意义的量 B．“快”和“慢”表示具有相反意义的量 C．“向南100米”和“向北1000米”表示具有相反意义的量 D．“米”就表示向东走了15米 【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）请举出一些具有相反意义的量的实例． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； (2)若“”表示增加，则“”表示______． 【变式题2-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）在下列横线上填上适当的词，使其前后意义相反． （1）向东走3米和______走3米； （2）某地某天最高气温是零上，最低气温是______； （3）飞机下降0.6千米和______1千米； （4）弹簧伸长和______． 【题型 3】解读情境中正负数的实际含义 1. 核心知识点   1. 正负数用来表示一组相反意义的量。   2. 读懂题干预先规定的基准与正负含义。 2. 解题方法技巧   1. 先圈画题干规定：什么情况记作正，什么记作负。   2. 符号只代表和规定方向相反，不代表好坏。 【例题3】.（25-26七年级下·云南德宏·期末）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式题3-1】.（26-27七年级上·河南商丘·开学考试）如果规定比海平面高，用正数表示，那么海拔表示比海平面低．( )（填“√”或“×”） 【变式题3-2】.（24-25六年级上·上海普陀·期中）如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是毫米，该零件（   ） A．合格 B．不合格 C．无法判断 D．可能合格也可能不合格 【培优高频题型】 【题型 4】型误差浮动范围应用 1. 核心知识点   1. 的实际意义；合格数值的取值区间。   2. 判断产品是否合格。 2. 解题方法技巧   1. 算出最大值a+b、最小值a-b。   2. 待测数值落在最小、最大值之间即为合格，否则不合格。 【例题4】.（25-26七年级上·广东深圳·期末）2025年赣南脐橙的采摘时间定在了11月3日，这是因为此时脐橙的食用口感、风味基本反映其固有品种特征．某赣南脐橙包装纸箱上标明大果直径为，小茗从箱子里任意取出一个脐橙并测量其直径为，那么这个脐橙大小______．（填“合格”或“不合格”） 【变式题4-1】.（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）第十五届全国运动会是粤港澳三地首次联合承办的全国性综合运动会，于2025年11月21日落下帷幕．全运会使用的乒乓球的产品参数标明球的直径是，这表明乒乓球的标准直径为．如果一只乒乓球的直径大于标准直径记作，那么小于标准直径记作（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）下表列出了一带一路沿线城市与北京的时差，我国驻巴西里约的工作人员为了收看大阅兵（北京时间9月3日上午10点开始），需要在里约____________点开始观看（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，惠灵顿时间为，那么惠灵顿与北京的时差为） 城市 惠灵顿 开罗 莫斯科 里约 时差 【题型 5】跨学科时差 / 纪年情境题 1. 核心知识点   1. 正负数表示时间差，正数代表更早，负数代表更晚。   2. 公元、公元前的正负记法。 2. 解题方法技巧   1. 当地时间 = 北京时间 + 时差。   2. 注意跨 0 点，日期会发生变化。 【例题5】.（25-26七年级上·河北·单元复习）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市_____代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【变式题5-1】.（2026·湖南怀化·一模）历史年份中，通常以公元元年为基准，公元后的年份用正数表示，公元前的年份用负数表示．若公元前年秦朝统一六国记作年，那么公元年唐朝建立应记作（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【变式题5-2】.（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 【题型 6】正负数数列规律探究 1. 核心知识点   1. 观察数列数字与符号双重循环规律。   2. 根据项数判断对应数字符号。 2. 解题方法技巧   1. 拆分观察：数字部分、符号部分分开找循环周期。   2. 用项数除以周期，看余数判断符号。 【例题6】.（26-27七年级上·全国·课后作业）分别观察下面各题中依次排列的一些数，猜测它们的排列各有什么规律？请按你猜测的规律，接着写出后面的3个数．你能分别说出各题排列的数中第10个数、第100个数、第200个数、第201个数是什么吗？ (1)1，，1，，1，，1，，______，______，______，…； (2)1，，3，，5，，7，，______，______，______，…； (3)，，，，，，，______，______，______，…． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面各数：，，，，，，，，，...... (1)写出这列数中的第100个数和第2023个数． (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2025是否在这列数中？若在，请写出2025是第几个数；若不在，请说明理由． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·单元复习）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 易错点 1、误认为带 “” 符号的数就是负数；后续会学到化简符号，带负号不一定是负数。 2、对 0 的理解片面，只认为 0 代表 “什么都没有”，忽略 0 可以作为计量基准，0 既不是正数，也不是负数。 3、判断相反意义的量时，忽略 “同类量” 条件，把不同属性的量当成相反意义的量。 4、书写正负数表达实际意义时，漏掉单位；基准发生改变，仍然沿用旧基准计算。 重点 1、掌握正数、负数、0 的概念，能够准确区分正数、负数。 2、会识别、会用正负数表示生活中具有相反意义的量，读懂实际情境中正负数的含义。 难点 1、理解 0 的多重实际意义，区分 “表示没有” 和 “作为计量基准” 两种情形。 2、读懂动态变化类题目，区分固定基准与动态变化基准，正确完成递推计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．若规定向东走记作，则向西走记作（     ） A． B． C． D． 2．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之．”若盈余3万元记作万元，则万元表示（    ） A．亏损万元 B．盈余3万元 C．亏损3万元 D．不盈余不亏损 二、填空题 4．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃． 5．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 6．古人常用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．例如“红色算筹”表示的数是．则“黑色算筹”表示的数是______． 三、解答题 7．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里： ，，，，，，，． 8．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 9．1700多年前，我国数学家刘徽首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例如：．这个记载比国外早了差不多八百年．根据上述材料，解决问题： (1)如图，黑色算筹表示的有理数是 ． (2)下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A．（黑色）            B．（红色） C．（黑色）            D．（红色） 10．一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $