专题1.2.5有理数的大小比较（知识点梳理+题型举一反三+同步练习） 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

1.2.5有理数的大小比较 【题型1】用数轴比较有理数的大小 1. 知识点 数轴的核心性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，即若数在数的右侧，则。 用数轴比较大小的步骤：先在数轴上准确标出各有理数的位置（需符合数轴三要素：原点、正方向、单位长度），再根据左右顺序判断大小。 2. 考点 根据数轴上点的位置直接判断数的大小关系（如已知点、在数轴上的位置，比较对应数、的大小）。 在数轴上表示指定有理数后，按从小到大或从大到小排序（如将、、、在数轴上标出并连接）。 3. 易错点 遗漏数轴的三要素（尤其是单位长度不统一或忘记标原点），导致数的位置标注错误，进而比较失误。 混淆数的正负与数轴位置（如将负数标在数轴右侧，正数标在左侧）。 4. 解题技巧 遵循“一画（数轴）、二标（数的位置）、三比较（左右顺序） ”的固定步骤，确保流程清晰。 标注数时，先确定特殊数（如、）的位置，再根据与特殊数的距离标注其他数（如在左侧3个单位，在右侧2个单位）。 【例题1】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 【变式题1-1】．（2024-2025•文登区期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将﹣a，﹣b，﹣c，﹣d四个数按照从小到大的顺序排列：　 　 ． 【变式题1-2】．（2024-2025•高州市期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式题1-3】．（2024-2025•安陆市期末）有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞﹣a＞b＞﹣b C．b＞a＞﹣b＞﹣a D．b＞﹣a＞a＞﹣b 【题型2】法则法比较有理数的大小 1. 知识点 有理数大小比较法则（按数的符号分类）： 两数同号：同为正数，绝对值大的数大；同为负数，绝对值大的反而小； 两数异号：正数大于负数； 一数为0：正数大于0，0大于负数（即“正>0>负”）。 两个负数比较的关键：先计算绝对值，再通过绝对值大小反推原负数大小（如与，，故）。 2. 考点 直接根据法则判断不同符号有理数的大小（如比较、、的大小）。 从一组数中找出最大数或最小数（如在、、、中找最小数）。 比较两个负数的大小（如比较与的大小）。 3. 易错点 比较两个负数时，直接比较原数数值，忽略“绝对值大的反而小”（如误判）。 混淆“正数、0、负数”的大小关系（如误判“”或“负数 > 0”）。 4. 解题技巧 第一步：对有理数按“正数、0、负数”分类，先明确数的符号属性； 第二步：按法则比较： 不同类（如正数与负数）：直接用“正>0>负”判断； 同类（如两个负数）：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后反推原数大小。 【例题2】．（2024-2025•东莞市校级期末）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣4）． 【变式题2-1】．（2024-2025•马边县期末）已知一列数：﹣4，，0，﹣（﹣1），﹣1.5． （1）在数轴上画出表示下列各数的点； （2）并用“＞”符号连接各数． 【变式题2-2】．（2024-2025•昭通期末）给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　 　 ，非负数有　 　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 【变式题2-3】．（2024-2025•通道县期末）已知下列各数，按要求完成各题： +4.5，，0，﹣2.5，6，﹣5，+（﹣3）． （1）负数集合：{　 　 …}； （2）用“＜”把它们连接起来是　 　 ； （3）画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【题型3】有理数大小比较的实际应用 1. 知识点 核心原理：实际场景中，有理数的大小对应具体意义（如温度、海拔、气压等），比较方法与数学中有理数法则一致，但需结合场景理解“正负含义”。 常见场景： 温度：数值越大表示越热（如，即3比-5温暖）； 海拔：正数表示高于海平面，负数表示低于海平面（如，即50米处比-100米处高）； 气压：数值越大表示气压越高（如，即1010hPa气压更高）。 2. 考点 比较实际数据的大小（如比较北京、上海、哈尔滨的温度高低）； 根据大小关系分析实际意义（如“海拔”表示比地势更高）； 结合基准值（如0、海平面）判断场景状态（如温度表示低于冰点，海拔表示海平面）。 3. 易错点 混淆“数值大小”与“实际感受”（如误认，忽略负数绝对值大的反而小）； 忽略单位直接比较（如误将“海拔-50米”与“温度-50”比较，单位不同无意义）。 4. 解题技巧 第一步：明确场景中“正、负的实际含义”（如温度负表示低于0℃，海拔负表示低于海平面）； 第二步：将实际数据转化为有理数，按数学法则比较大小； 第三步：结合场景解释结果（如“”说明2℃更温暖）。 【例题3】．（2024-2025•宁远县期末）1月5日，小寒，哈尔滨、北京、杭州、长沙四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，0℃，1℃，其中气温最低的城市是（　　） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．长沙 【变式题3-1】．（2024-2025•大洼区校级三模）几种气体的液化温度（标准大气压）如表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） ﹣269 ﹣253 ﹣196 ﹣183 其中液化温度最低的气体是（　　） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【变式题3-2】．（2024-2025•临沧模拟）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 这些数据中，最低的海拔是（　　） A．﹣415 B．﹣28 C．﹣156 D．﹣40 【变式题3-3】．（2024-2025•北票市期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/℃ ﹣14 ﹣6 ﹣9 ﹣16 其中最低气温最大的城市是（　　） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【题型4】作差法与作商法比较有理数的大小 1. 知识点 作差法： 原理：对任意有理数、，若，则；若，则；若，则。 适用场景：大小接近的数（如分数、小数），直接比较困难时（如与）。 作商法： 原理： 两正数、：若，则；若，则；若，则； 两负数、：先比绝对值（同正数法则），再根据“绝对值大的负数小”判断。 适用场景：正分数易约分时（如与）。 2. 考点 作差法：比较大小接近的有理数（如与）、含字母的数（如与）。 作商法：比较正分数（如与）、结合绝对值比较负数（如与）。 3. 易错点 作差法：作差时符号错误（如误算为）、计算结果出错（如分数通分错误）。 作商法：对负数直接作商（未先处理绝对值）、约分错误（如误算）。 4. 解题技巧 作差法：一作差（算）→二判正负→三得结论。 作商法：正数直接作商→与1比较→得结论；负数先求绝对值→按正数法则比较→反推原数大小。 【例题4】．（2024-2025•望花区期末）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长M和图2中长方形的周长N． （2）在（1）的条件下，若b＞c，用“作差法”比较M、N的大小． 【变式题4-1】．利用作商法，比较与的大小． 【变式题4-2】．比较大小： （1）作差比较：与； （2）作商比较：与 （3）找中间量比较：与． 【变式题4-3】．（2024-2025•梁平区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：m＝712，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么m＝712的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 　 　 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 　 　 ． 【题型5】有理数大小比较的其他方法 【例题5】．（2024-2025•河西区期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：结合具体的数，通过特例探究当a＞0时，a与的大小． 解：当a＞1时，取a＝2，则2； 取a，则；…，所以a． 当a＝1时，a． 当0＜a＜1时，取a，则2；取a，则；…，所以a． 综上，当a＞1时，a；当a＝1时，a；当0＜a＜1时，a． 问题：结合具体的数，通过特例探究当a＜0时，a与的大小． 【变式题5-1】．阅读下列材料：当a＞0时，如a＝3，则|a|＝3＝a，此时a的绝对值是它本身；当a＝0时，|a|＝0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如a＝﹣3，则|a|＝3＝﹣a，此时a的绝对值是它的相反数．综上可得，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a． 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题． （1）比较大小：|﹣7|　 　 7；|3|　 　 ﹣3．（填“＜”“＝”或“＞”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析|a|与﹣a的大小关系． 【变式题5-2】．（2024-2025•盐都区月考）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． （1）上述方法是先通过找中间量 　 　 来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，　 　 大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； （2）利用上述方法比较与的大小． 【变式题5-3】．（2024-2025•尧都区月考）阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： ×年×月×日 比较两个数的大小的方法 今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？… 任务：（1）上述方法是先通过找中间量 　 　 来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，　 　 大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． （2）利用上述方法比较与的大小． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．下列各数中比﹣3小的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．3 3．四个有理数1，﹣2，0，﹣1，其中最小的是（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1 4．有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞﹣a＞b＞﹣b C．b＞a＞﹣b＞﹣a D．b＞﹣a＞a＞﹣b 5．在有理数0，2，|﹣3|，﹣1中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．0 二．填空题（共5小题） 6．把，，87%，这四个数，按从大到小的顺序排列，结果是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ＞　 　 ． 7．今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是2℃，0℃，﹣16℃，﹣21℃，其中气温最低的是 　 　 ℃． 8．用“＞”或“＜”号填空：（1） 　 　 ． 9．在2，﹣1，﹣1.1，0这四个数中最小的数是　 　 ． 10．写出一个大于﹣1且小于0的有理数：　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）写出大于的所有负整数； （3）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来． 12．给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　 　 ，非负数有　 　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 13．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”号比较这四个数的大小． 3，﹣4，0.5，0． 14．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣4）． 15．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是﹣3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是　 　 ． （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　 　 ； （3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5有理数的大小比较 【题型1】用数轴比较有理数的大小 1. 知识点 数轴的核心性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，即若数在数的右侧，则。 用数轴比较大小的步骤：先在数轴上准确标出各有理数的位置（需符合数轴三要素：原点、正方向、单位长度），再根据左右顺序判断大小。 2. 考点 根据数轴上点的位置直接判断数的大小关系（如已知点、在数轴上的位置，比较对应数、的大小）。 在数轴上表示指定有理数后，按从小到大或从大到小排序（如将、、、在数轴上标出并连接）。 3. 易错点 遗漏数轴的三要素（尤其是单位长度不统一或忘记标原点），导致数的位置标注错误，进而比较失误。 混淆数的正负与数轴位置（如将负数标在数轴右侧，正数标在左侧）。 4. 解题技巧 遵循“一画（数轴）、二标（数的位置）、三比较（左右顺序） ”的固定步骤，确保流程清晰。 标注数时，先确定特殊数（如、）的位置，再根据与特殊数的距离标注其他数（如在左侧3个单位，在右侧2个单位）。 【例题1】．（2024-2025•蓬溪县校级期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞b B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a+b＞0 【答案】B 【分析】由数轴可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，即可得到a+b＜0，逐一判断即可． 【解答】解：由题可得：a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a+b＜0， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数大小比较，数轴，熟练掌握相关运算法则以及不等式的性质结合点在数轴上的位置是解答本题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•文登区期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将﹣a，﹣b，﹣c，﹣d四个数按照从小到大的顺序排列：　﹣d＜﹣c＜﹣b＜﹣a　 ． 【答案】﹣d＜﹣c＜﹣b＜﹣a． 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给数轴可知， a＜b＜0＜c＜d且|d|＞|a|＞|c|＞|b|， 所以﹣a，﹣b，﹣c，﹣d四个数按照从小到大的顺序排列为：﹣d＜﹣c＜﹣b＜﹣a． 故答案为：﹣d＜﹣c＜﹣b＜﹣a． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较及数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•高州市期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据距离原点越近其绝对值的越小即可求出结果． 【解答】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B， 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴的表示方法，在解题时要注意绝对值的性质是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•安陆市期末）有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞﹣a＞b＞﹣b C．b＞a＞﹣b＞﹣a D．b＞﹣a＞a＞﹣b 【答案】D 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a，b的符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，a＜0＜b，|a|＜b， ∴b＞﹣a＞a＞﹣b． 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，数轴数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 【题型2】法则法比较有理数的大小 1. 知识点 有理数大小比较法则（按数的符号分类）： 两数同号：同为正数，绝对值大的数大；同为负数，绝对值大的反而小； 两数异号：正数大于负数； 一数为0：正数大于0，0大于负数（即“正>0>负”）。 两个负数比较的关键：先计算绝对值，再通过绝对值大小反推原负数大小（如与，，故）。 2. 考点 直接根据法则判断不同符号有理数的大小（如比较、、的大小）。 从一组数中找出最大数或最小数（如在、、、中找最小数）。 比较两个负数的大小（如比较与的大小）。 3. 易错点 比较两个负数时，直接比较原数数值，忽略“绝对值大的反而小”（如误判）。 混淆“正数、0、负数”的大小关系（如误判“”或“负数 > 0”）。 4. 解题技巧 第一步：对有理数按“正数、0、负数”分类，先明确数的符号属性； 第二步：按法则比较： 不同类（如正数与负数）：直接用“正>0>负”判断； 同类（如两个负数）：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后反推原数大小。 【例题2】．（2024-2025•东莞市校级期末）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣4）． 【答案】， ﹣|﹣3|＜﹣2＜0＜﹣（﹣4）． 【分析】先画出数轴，然后在数轴上标出题目中的各个数据，再用“＜”号连接起来即可． 【解答】解：数轴如下， ， ﹣|﹣3|＜﹣2＜0＜﹣（﹣4）． 【点评】本题考查有理数大小的比较、数轴、绝对值、相反数，解答本题的关键是明确题意，画出相应的数轴，标出相应的数据． 【变式题2-1】．（2024-2025•马边县期末）已知一列数：﹣4，，0，﹣（﹣1），﹣1.5． （1）在数轴上画出表示下列各数的点； （2）并用“＞”符号连接各数． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）将各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴即可得出答案． 【解答】解：（1）在数轴上表示各数如图所示： （2）由数轴可得：． 【点评】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•昭通期末）给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　　 ，非负数有　0，﹣（﹣2），3　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】（1）；0，﹣（﹣2），3； （2）有理数表示在数轴上，． 【分析】（1）根据有理数的分类即可求解； （2）根据数轴上的点表示有理数，再根据数轴的特点从左往后依次增大即可求解． 【解答】解：（1）， 分数是：；非负数是：0，﹣（﹣2），3； 故答案为：；0，﹣（﹣2），3； （2）在数轴上表示这些数如图：， ∴． 【点评】本题主要考查有理数的分类，数轴的特点，掌握有理数的分类，数轴上点表示有理数是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•通道县期末）已知下列各数，按要求完成各题： +4.5，，0，﹣2.5，6，﹣5，+（﹣3）． （1）负数集合：{　，﹣2.5，﹣5，+（﹣3）　 …}； （2）用“＜”把它们连接起来是　　 ； （3）画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 【答案】（1），﹣2.5，﹣5，+（﹣3）； （2）； （3）见解析． 【分析】（1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可； （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可； （3）在数轴上表示出各数即可． 【解答】解：（1）在数据+4.5，，0，﹣2.5，6，﹣5，+（﹣3）中． ，+（﹣3）＝﹣3， ∴负数有，﹣2.5，﹣5，+（﹣3）； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，即为所求． 【点评】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号，正确记忆相关知识点是解题关键． 【题型3】有理数大小比较的实际应用 1. 知识点 核心原理：实际场景中，有理数的大小对应具体意义（如温度、海拔、气压等），比较方法与数学中有理数法则一致，但需结合场景理解“正负含义”。 常见场景： 温度：数值越大表示越热（如，即3比-5温暖）； 海拔：正数表示高于海平面，负数表示低于海平面（如，即50米处比-100米处高）； 气压：数值越大表示气压越高（如，即1010hPa气压更高）。 2. 考点 比较实际数据的大小（如比较北京、上海、哈尔滨的温度高低）； 根据大小关系分析实际意义（如“海拔”表示比地势更高）； 结合基准值（如0、海平面）判断场景状态（如温度表示低于冰点，海拔表示海平面）。 3. 易错点 混淆“数值大小”与“实际感受”（如误认，忽略负数绝对值大的反而小）； 忽略单位直接比较（如误将“海拔-50米”与“温度-50”比较，单位不同无意义）。 4. 解题技巧 第一步：明确场景中“正、负的实际含义”（如温度负表示低于0℃，海拔负表示低于海平面）； 第二步：将实际数据转化为有理数，按数学法则比较大小； 第三步：结合场景解释结果（如“”说明2℃更温暖）。 【例题3】．（2024-2025•望花区期末）对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长M和图2中长方形的周长N． （2）在（1）的条件下，若b＞c，用“作差法”比较M、N的大小． 【答案】（1）2a+4b+2c，2a+2b+4c； （2）M＞N． 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）求出M﹣N的差，再判断其正负即可． 【解答】解：（1）M＝2（a+b+b+c）＝2a+4b+2c， N＝2（b+3c+a﹣c）＝2a+2b+4c； （2）M﹣N＝2b﹣2c＝2（b﹣c）， 因为b＞c， 所以b﹣c＞0， 所以M﹣N＞0， ∴M＞N． 【点评】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是掌握整式加减混合运算的运算顺序和运算法则． 【变式题3-1】．利用作商法，比较与的大小． 【答案】∴． 【分析】利用作商比较法，直接比较得结论． 【解答】解：∵0，0， 又∵（） 1， ． 【点评】本题考查了有理数大小的比较，掌握作商比较法是解决本题的关键．作商比较法：（1）当a＞0，b＞0时，若1，则a＞b；若1，则a＜b；（2）当a＜0，b＜0时，若1，则a＜b，若1，则a＞b， 【变式题3-2】．比较大小： （1）作差比较：与； （2）作商比较：与 （3）找中间量比较：与． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两数之差大于零来比较大小即可； （2）根据两数之比大于1来比较大小即可； （3）根据两数与第三个数的大小比较解答即可． 【解答】解：（1）0， ∴； （2）1， ∴； （3）， ， ∴． 【点评】此题考查有理数的大小比较，关键是运用作差和作商的方法来比较． 【变式题3-3】．（2024-2025•梁平区期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：m＝712，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么m＝712的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 　211　 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 　985　 ． 【答案】211；985． 【分析】根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【解答】解：∵|6﹣4|＝2，|6﹣5|＝1，|4﹣5|＝1，6＞1＝1， ∴645的“绝对数”为211； 欲使得x最大，则百位数最大，其次十位数， ∵x的“绝对数”为431， ∴不妨取百位数为9，十位数为8，个位数为5， ∴985的“绝对数”为431，是满足条件的所有x中最大的数． 故答案为：211；985． 【点评】本题考查了有理数大小比较，根据题意求出符合题意的数值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 【题型4】作差法与作商法比较有理数的大小 1. 知识点 作差法： 原理：对任意有理数、，若，则；若，则；若，则。 适用场景：大小接近的数（如分数、小数），直接比较困难时（如与）。 作商法： 原理： 两正数、：若，则；若，则；若，则； 两负数、：先比绝对值（同正数法则），再根据“绝对值大的负数小”判断。 适用场景：正分数易约分时（如与）。 2. 考点 作差法：比较大小接近的有理数（如与）、含字母的数（如与）。 作商法：比较正分数（如与）、结合绝对值比较负数（如与）。 3. 易错点 作差法：作差时符号错误（如误算为）、计算结果出错（如分数通分错误）。 作商法：对负数直接作商（未先处理绝对值）、约分错误（如误算）。 4. 解题技巧 作差法：一作差（算）→二判正负→三得结论。 作商法：正数直接作商→与1比较→得结论；负数先求绝对值→按正数法则比较→反推原数大小。 【例题4】．（2024-2025•宁远县期末）1月5日，小寒，哈尔滨、北京、杭州、长沙四个城市的最低气温分别是﹣20℃，﹣10℃，0℃，1℃，其中气温最低的城市是（　　） A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．长沙 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较的法则比较各个城市的最低气温的大小，得到答案． 【解答】解：∵﹣20＜﹣10＜0＜1， ∴气温最低的城市是哈尔滨， 故选：A． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【变式题4-1】．（2024-2025•大洼区校级三模）几种气体的液化温度（标准大气压）如表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） ﹣269 ﹣253 ﹣196 ﹣183 其中液化温度最低的气体是（　　） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度． 【解答】解：∵﹣269℃＜﹣253℃＜﹣196℃＜﹣183℃， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•临沧模拟）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m ﹣415 ﹣28 ﹣156 ﹣40 这些数据中，最低的海拔是（　　） A．﹣415 B．﹣28 C．﹣156 D．﹣40 【答案】A 【分析】比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【解答】解：根据负数比较大小的法则：两个负数比较，绝对值大的反而小可得： ∵|﹣415|＝415，|﹣28|＝28，|﹣156|＝156，|﹣40|＝40，415＞156＞40＞28， ∴﹣415＜﹣156＜﹣40＜﹣28， ∴这些数据中，最低的海拔是﹣415， 故选：A． 【点评】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•北票市期末）冬至是二十四节气中的第22个节气，2024年冬至这一天沈阳、大连、鞍山和抚顺的最低气温如表： 城市 沈阳 大连 鞍山 抚顺 最低气温/℃ ﹣14 ﹣6 ﹣9 ﹣16 其中最低气温最大的城市是（　　） A．沈阳 B．大连 C．鞍山 D．抚顺 【答案】B 【分析】先求出各个负数的绝对值，然后比较绝对值的大小，最后根据几个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较，从而得到答案即可． 【解答】解：|﹣14|＝14，|﹣6|＝6，|﹣9|＝9，|﹣16|＝16， ∵16＞14＞9＞6， ∴﹣16＜﹣14＜﹣9＜﹣6， ∴最低气温最大的城市是大连， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握几个负数比较，绝对值大的反而小． 【题型5】有理数大小比较的其他方法 【例题5】．（2024-2025•河西区期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：结合具体的数，通过特例探究当a＞0时，a与的大小． 解：当a＞1时，取a＝2，则2； 取a，则；…，所以a． 当a＝1时，a． 当0＜a＜1时，取a，则2；取a，则；…，所以a． 综上，当a＞1时，a；当a＝1时，a；当0＜a＜1时，a． 问题：结合具体的数，通过特例探究当a＜0时，a与的大小． 【答案】见试题解答内容 【分析】解决该题，结合﹣1为例子，分别从大于，等于，小于进行考虑，后综述． 【解答】解：当0＞a＞﹣1时，取a，则﹣2； 取a，则﹣3；…，所以a． 当a＝﹣1时，a． 当a＜﹣1时，取a＝﹣3，则3；取a＝﹣4，则；…，所以a． 综上，当﹣1＜a＜0时，a；当a＝1时，a；当a＞﹣1时，a． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，以例子进行类推，首先找到适合的界数，难度一般． 【变式题5-1】．阅读下列材料：当a＞0时，如a＝3，则|a|＝3＝a，此时a的绝对值是它本身；当a＝0时，|a|＝0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如a＝﹣3，则|a|＝3＝﹣a，此时a的绝对值是它的相反数．综上可得，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a． 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题． （1）比较大小：|﹣7|　＝　 7；|3|　＞　 ﹣3．（填“＜”“＝”或“＞”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析|a|与﹣a的大小关系． 【答案】（1）＝；＞； （2）当a＞0时，|a|＞﹣a；当a＝0时，|a|＝﹣a；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【分析】（1）根据绝对值的意义，即可解答； （2）分三种情况：当a＞0时；当a＝0时；当a＜0时，然后根据绝对值的意义即可解答． 【解答】解：（1）|﹣7|＝7；|3|＞﹣3， 故答案为：＝；＞； （2）当a＞0时，|a|＝a＞﹣a； 当a＝0时，|a|＝﹣a＝0； 当a＜0时，|a|＝﹣a； 综上所述：当a＞0时，|a|＞﹣a；当a＝0时，|a|＝﹣a；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【点评】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•盐都区月考）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． （1）上述方法是先通过找中间量 　　 来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，　绝对值　 大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； （2）利用上述方法比较与的大小． 【答案】（1），绝对值； （2）． 【分析】（1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【解答】解：（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）因为，， 所以， 所以， 即与的大小关系为：． 【点评】本题主要考查有理数大小比较，理解材料中的解题思路是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•尧都区月考）阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： ×年×月×日 比较两个数的大小的方法 今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？… 任务：（1）上述方法是先通过找中间量 　　 来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，　绝对值　 大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． （2）利用上述方法比较与的大小． 【答案】（1），绝对值； （2）． 【分析】（1）根据计算过程和有理数的大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可． 【解答】解：（1）上述方法是先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法， 故答案为：，绝对值； （2）∵，， ∴， ∴． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，能找出中间量是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B A B． D A． 一．选择题（共5小题） 1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据距离原点越近其绝对值的越小即可求出结果． 【解答】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B， 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴的表示方法，在解题时要注意绝对值的性质是解题的关键． 2．下列各数中比﹣3小的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．3 【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A．∵|﹣4|＝4，|﹣3|＝3，4＞3，∴﹣4＜﹣3，故符合题意； B．∵|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，2＜3，∴﹣2＞﹣3，故不符合题意； C．∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，1＜3，∴﹣1＞﹣3，故不符合题意； D．3＞﹣3，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 3．四个有理数1，﹣2，0，﹣1，其中最小的是（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1 【答案】B． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴最小的数是：﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 4．有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则a，﹣a，b，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞﹣a＞b＞﹣b C．b＞a＞﹣b＞﹣a D．b＞﹣a＞a＞﹣b 【答案】D 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a，b的符号及绝对值的大小，进而可得出结论． 【解答】解：∵由图可知，a＜0＜b，|a|＜b， ∴b＞﹣a＞a＞﹣b． 故选：D． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，数轴数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键． 5．在有理数0，2，|﹣3|，﹣1中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．0 【答案】A． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵|﹣3|＝3， ∴﹣1＜0＜2＜3， ∴﹣1＜0＜2＜|﹣3|， ∴最小的数是：﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．把，，87%，这四个数，按从大到小的顺序排列，结果是：　　 ＞　　 ＞　　 ＞　87%　 ． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先比较高位上的数字，如果高位上的数字相同，再比较低位数字，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：∵，87%＝0.87， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力． 7．今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是2℃，0℃，﹣16℃，﹣21℃，其中气温最低的是 　﹣21　 ℃． 【答案】﹣21． 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：|﹣16|＝16，|﹣21|＝21， ∵16＜21， ∴﹣21＜﹣16， ∴﹣21℃＜﹣16℃＜0℃＜2℃， ∴其中气温最低的是﹣21℃． 故答案为：﹣21． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 8．用“＞”或“＜”号填空：（1） 　＞　 ． 【答案】＞． 【分析】根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出答案． 【解答】解：∵||，||，， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的比较大小，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 9．在2，﹣1，﹣1.1，0这四个数中最小的数是　﹣1.1　 ． 【答案】﹣1.1． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣1.1＜﹣1＜0＜2， ∴最小的数是：﹣1.1． 故答案为：﹣1.1． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 10．写出一个大于﹣1且小于0的有理数：　﹣0.5（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣0.5（答案不唯一）． 【分析】根据有理数大小比较的方法解答即可． 【解答】解：大于﹣1且小于0的有理数可以是﹣0.5（答案不唯一）， 故答案为：﹣0.5（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）a＝　2　 ，b＝　﹣3　 ． （2）写出大于的所有负整数； （3）在数轴上标出表示，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则得出即可； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【解答】解：（1）∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴a＝2，b＝0﹣3＝﹣3， 故答案为：2，﹣3； （2）大于的所有负整数是﹣2，﹣1； （3）﹣|﹣1|＝﹣1，﹣b＝3， |﹣1|＜0＜﹣b． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，②在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 12．给出下列各数：﹣1.5，0，﹣|﹣3|，，﹣（﹣2），3 （1）在这些数中，分数有　　 ，非负数有　0，﹣（﹣2），3　 ； （2）在数轴上表示这些数，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】（1）；0，﹣（﹣2），3； （2）有理数表示在数轴上，． 【分析】（1）根据有理数的分类即可求解； （2）根据数轴上的点表示有理数，再根据数轴的特点从左往后依次增大即可求解． 【解答】解：（1）， 分数是：；非负数是：0，﹣（﹣2），3； 故答案为：；0，﹣（﹣2），3； （2）在数轴上表示这些数如图：， ∴． 【点评】本题主要考查有理数的分类，数轴的特点，掌握有理数的分类，数轴上点表示有理数是解题的关键． 13．在数轴上表示出下列各数，并用“＜”号比较这四个数的大小． 3，﹣4，0.5，0． 【答案】﹣4＜0＜0.5＜3， 【分析】在数轴上表示有理数，解题时注意：比较有理数的大小可以利用数轴，从左到右的顺序，即从小到大的顺序． 【解答】解：如图所示：从左到右的顺序，即从小到大的顺序． ∴﹣4＜0＜0.5＜3． 【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，正确进行计算是解题关键． 14．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣2，0，﹣|﹣3|，﹣（﹣4）． 【答案】， ﹣|﹣3|＜﹣2＜0＜﹣（﹣4）． 【分析】先画出数轴，然后在数轴上标出题目中的各个数据，再用“＜”号连接起来即可． 【解答】解：数轴如下， ， ﹣|﹣3|＜﹣2＜0＜﹣（﹣4）． 【点评】本题考查有理数大小的比较、数轴、绝对值、相反数，解答本题的关键是明确题意，画出相应的数轴，标出相应的数据． 15．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是﹣3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是　4　 ． （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为　2或6　 ； （3）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据点A表示﹣3即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数左边的数总比右边的数小用“＜”号把这些数连接起来即可． 【解答】解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）∵点B所表示的数是4，点C与点B的距离为2个单位长度， ∴点C表示的数为：4﹣2＝2或4+2＝6， 即点C表示的数为：2或6， 故答案为：2或6； （3）|﹣1.5|＝1.5，﹣（+1.6）＝﹣1.6， 在数轴上表示，如图所示： 由数轴可知：． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $