第一章 特殊平行四边形 题型练习(折叠问题、动态问题、、对称性) 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形折叠、动态、对称性三大题型，提炼“折叠三步骤”“动中取静”等方法，构建从性质应用到动态探究的逻辑体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|4题（菱形/矩形折叠计算）|一折看痕、二等全等、三解列方程|折叠全等性质→勾股定理/方程求解| |动态问题|3题（矩形动态判定）|动中取静，抓瞬间位置|动态位置分析→矩形/菱形判定条件| |对称性|5题（对称性质应用）|中心对称/轴对称性质，内角和公式|对称性质→面积计算/图形变换推理|

特殊平行四边形题型练习(折叠问题、动态问题、、对称性) 考点1: 特殊平行四边形中的折叠问题 · 一折：看怎么折，折痕在哪儿. 二等：位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称，即折叠前后的两部分全等，对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等，且折叠后，对应点(不重合时)的连线被折痕垂直平分. 三解：根据勾股定理、全等三角形的性质等列方程或直接解题. 练习1. 1. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠.若点B落在BC的延长线上的点F处，则CF的长为(　 　). A.2 B.6－3 C.2 D. 6－6 2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A落在BD上的点F处，连接CF，则∠BFC的度数是(　 　). A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3. 如图，在矩形ABCD中，CD＝5，AD＝12，E是AD上一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠后，点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为(　 　). A. 1 B. C. D. 4 4. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60° ，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时， 的值为 . 第4题 第5题 5. 如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E，F分别在边AB，CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P.若AM＝5cm，则折痕EF的长为 cm . 考点2: 特殊平行四边形有关的动态问题 · 解决动态几何探究问题时，要抓住点在运动过程中的一个瞬间(或一个确定的位置)，动中取静. 练习2. 1. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，到达点B处停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状变化依次为(　 　). A．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 2. 如图,在矩形ABCD中，AD＝12 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动。这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点D出发沿DA向终点A运动；点Q从点B出发沿BC向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ 考点3: 四边形的对称性 · ①n边形内角和＝(n－2)×180°;外角和恒为360°(与n无关);正n边形每个内角＝ ②中心对称:绕某点转180°与自身重合平行四边形是中心对称图形(对角线交点是对称中心)，菱形/矩形/正方形同理;正n边形：当n为偶数时既是轴对称又是中心对称. 图示 对称性 菱形 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 矩形 轴对称图形，对称轴是过对边中点的直线，共有两条；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 正方形 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，共有四条对称轴；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 练习3. 1. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为(　 　). A.8 B.12 C. 16 D. 20 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P，△EFD与△APD关于点D成中心对称.若AC＝7，BD＝8，则BE的长度为(　 　). A.12 B.15 C. 12.5 D. 15.5 3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接EF，则S△AEF为(　 　). A.2 B.4 C.4 D.8 4. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画四边形.所画四边形的顶点均在格点上，面积为8，每条边长均为无理数. (1)在图①中画既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图②中画轴对称四边形，但不是中心对称四边形 (3)在图③中画中心对称四边形，但不是轴对称四边形. 巩固练习： 1. 如图，正方形ABCD的边长为8，作MN//DC分别交AD，BC于点M，N，在MN上任取两点P，Q，连接AP，BP，CQ，DQ，则图中阴影部分的面积是(　 　). A.48 B.40 C.32 D.24 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4 cm/s的速度向点D运动.点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，的值为(　 　). A. B.4 C. D. 3. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，若AB＝9，BC＝6，则FC'的长为 . 4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF. (1)求折叠后DE的长； (2)连接DF，四边形EBFD是菱形吗？说明理由； (3)求折痕EF的长. 5. 如图,在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠DAB＝60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P的运动过程中，设运时间为ts. (1)写出线段PD的长(用含t的式子表示). (2)当PQ平分菱形ABCD的面积时，求t的值. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 特殊平行四边形题型练习(折叠问题、动态问题、、对称性) 考点1: 特殊平行四边形中的折叠问题 · 一折：看怎么折，折痕在哪儿. 二等：位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称，即折叠前后的两部分全等，对应边、对应角、对应线段、周长、面积等均相等，且折叠后，对应点(不重合时)的连线被折痕垂直平分. 三解：根据勾股定理、全等三角形的性质等列方程或直接解题. 练习1. 1. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠.若点B落在BC的延长线上的点F处，则CF的长为(　D　). A.2 B.6－3 C.2 D. 6－6 2. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A落在BD上的点F处，连接CF，则∠BFC的度数是(　D　). A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3. 如图，在矩形ABCD中，CD＝5，AD＝12，E是AD上一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠后，点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为(　C　). A. 1 B. C. D. 4 4. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60° ，将纸片折叠，点A，D分别落在A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时， 的值为 . 第4题 第5题 5. 如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E，F分别在边AB，CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P.若AM＝5cm，则折痕EF的长为 13 cm . 考点2: 特殊平行四边形有关的动态问题 · 解决动态几何探究问题时，要抓住点在运动过程中的一个瞬间(或一个确定的位置)，动中取静. 练习2. 1. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，到达点B处停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF的形状变化依次为(　B　). A．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 2. 如图,在矩形ABCD中，AD＝12 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动。这段时间内，当运动时间为 2.4s，4s或7.2s 时，以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点D出发沿DA向终点A运动；点Q从点B出发沿BC向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ 解：(1)当t＝3时，四边形ABQP是矩形；(2)当t＝时，四边形AQCP是菱形 考点3: 四边形的对称性 · ①n边形内角和＝(n－2)×180°;外角和恒为360°(与n无关);正n边形每个内角＝ ②中心对称:绕某点转180°与自身重合平行四边形是中心对称图形(对角线交点是对称中心)，菱形/矩形/正方形同理;正n边形：当n为偶数时既是轴对称又是中心对称. 图示 对称性 菱形 轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 矩形 轴对称图形，对称轴是过对边中点的直线，共有两条；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 正方形 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，共有四条对称轴；中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 练习3. 1. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为(　B　). A.8 B.12 C. 16 D. 20 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点P，△EFD与△APD关于点D成中心对称.若AC＝7，BD＝8，则BE的长度为(　C　). A.12 B.15 C. 12.5 D. 15.5 3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接EF，则S△AEF为(　D　). A.2 B.4 C.4 D.8 4. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画四边形.所画四边形的顶点均在格点上，面积为8，每条边长均为无理数. (1)在图①中画既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图②中画轴对称四边形，但不是中心对称四边形 (3)在图③中画中心对称四边形，但不是轴对称四边形. 解：(1)如图①，正方形ABCD即为所求； (2)如图②，四边形EFGH即为所求； (3)如图③，平行四边形PQRS即为所求. 巩固练习： 1. 如图，正方形ABCD的边长为8，作MN//DC分别交AD，BC于点M，N，在MN上任取两点P，Q，连接AP，BP，CQ，DQ，则图中阴影部分的面积是(　C　). A.48 B.40 C.32 D.24 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4 cm/s的速度向点D运动.点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，的值为(　D　). A. B.4 C. D. 3. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，若AB＝9，BC＝6，则FC'的长为 5 . 4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF. (1)求折叠后DE的长； (2)连接DF，四边形EBFD是菱形吗？说明理由； (3)求折痕EF的长. 解：(1)DE＝5. (2)四边形EBFD是菱形.理由： ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF， ∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE，∵ED＝BE，∴BF＝DE. 又∵BF∥ED，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形EBFD为菱形. (3)如答图，连接BD，在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝3 . ∵菱形EBFD的面积为BD·EF＝DE·AB. ∴×3 ·EF＝5×3，∴EF＝ . 5. 如图,在菱形ABCD中，AB＝4 cm，∠DAB＝60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P的运动过程中，设运时间为ts. (1)写出线段PD的长(用含t的式子表示). (2)当PQ平分菱形ABCD的面积时，求t的值. 解：(1)PD＝(2t－4)cm；(2)当PQ平分菱形ABCD的面积时，t＝ 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $