第1章 专题2 特殊平行四边形中的折叠问题&专题3 特殊平行四边形中的动点问题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 专题2特殊平行四边形中的折叠问题 [答案7] 类型①菱形的折叠问题 5(宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别 (河南信阳期末)如图，在菱形纸片ABCD中， 在边BC,CD上，且EF∥BD,把△ECF沿EF翻 ∠A=60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿 折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处. DE折叠，点C对应点为点C',且DC是AB的垂 若A,M,B三点共线，则2的值为 直平分线，则∠DEC的大小为 ( A.30°B.45° C.60° D.75° 5题图 类型③正方形的折叠问题 1题图 2题图 6(西藏中考)如图，在正方形ABCD中，AB=6,E 2(陕西西安期中)如图，在菱形ABCD中，AD=4, 是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点 ∠B=60°，E为AD的中点，点F在边CD上，连 F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的 接EF,将△DEF沿EF翻折，使得点D落在点 长为 () D处，连接CD',则CD'的最小值是 A.35 B.2 C.2√/10 D.42 类型②矩形的折叠问题 3如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD重合， 得到折痕MN,再将点A沿过点D的直线折叠到 MN上，对应点为A',折痕为DE.若AB=10,BC 6题图 7题图 =6,则A'N的长为 7如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠， A.10-35 B.4 使顶点D落在边BC上的点E处，折痕为GH.若 C.10-23 D.3 BE:EC=2:1,则线段CH的长为 8(重庆渝中区期中)如图，在正方形ABCD中，点 M在CD上，将△ADM沿着AM翻折得到 △ANM,连接BN,DN.若∠NDM=30°，则∠ABN 3题图 4题图 的度数为 4④（山东枣庄期中）如图，将矩形纸片ABCD沿BE 折叠，使点A落在对角线BD上的A'处.若 ∠DBC=34°，则∠A'EB等于 8题图 A.28°B.34° C.56° D.62° 16o 第一章特殊平行四边形 专题3 特殊平行四边形中的动点问题 [答案7] ①（大庆中考）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm. 4④如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向 且AC=6cm,BD=8cm,过点B,C分别作AC,BD 点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s 的平行线相交于点E. 的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边 (1)判断四边形BOCE的形状并证明； 以4cm/s的速度向点D运动.点P、点H和点Q (2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2cm/s 同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随 的速度运动了ts,连接BG.当S AABG=2S△oBG 之停止运动.设动点的运动时间为ts,当QP= 时，求t的值 QH时，t的值为 D A◆P H+—B 1题图 4题图 A.S B.4 g.10 D.20 2如图，在正方形ABCD中，M,N为边BC,CD上 5在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是 的动点（不含端点），连接AN,AM,MW,若AB= 线段A0上的一个动点（不与点A,0重合），过 √2，∠MAN=45°，则△MNC的周长是( 点P作PE⊥PB,交边CD于点E. A.√2 B.2 C.22 D.3 (1)如图①，求证：PE=PB; y (2)如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E 作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中， PF的长度是否发生变化？若不变，试求出 0 C 2题图 3题图 PF的长；若变化，请说明理由； 3(山东济南期末)如图，在平面直角坐标系中，点 (3)用等式表示线段PC,PA,EC之间的数量 O为坐标原点，AB∥OC,点B,C的坐标分别为 关系 (15,8),(21,0),动点M从点A开始，沿A→B 以每秒1个单位长度的速度运动；动点N从点C 入 开始，沿C→0以每秒2个单位长度的速度运 动.点M,N同时出发，当一个点到达终点后另 5题图① 5题图② 个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为 t秒. （1)当t=3时，点M的坐标为 ,点V的 坐标为 (2)当t= 时，四边形OAMN是矩形. 2·∠BCH=∠HAB,BC=AB, .△ABH≌△CBM, .BH=BM,∠MBC=∠ABH. 同理，△MBH是等腰直角三角形， ∴.MH=√2BH. .·CH=CM+MH,∴.CH=AH+√2BH 专题2特殊平行四边形中的折叠向题 1.D[解析]连接BD,设C'D与AB 的交点为P,如答图.四边形ABCD 为菱形，.AB=AD.”∠A=60°，A .△ABD为等边三角形，∠ADC= 120°，∠C=60°.DC是AB的垂 C 直平分线，P为AB的中点， ,DP为∠ADB的平分线，即 1题答图 ∠ADP=∠BDP=30°，.∠PDC=90°，∴.由折叠的性质，得 ∠CDE=∠PDE=45.在△DEC中，∠DEC=180°- (∠CDE+∠C)=75°.故选D. 2.2√5-2[解析]如答图，连接AC,CE.四边形ABCD是 菱形，AD=4,∠B=60°，∴.CD=AD=4,∠D=∠B=60°， ∴.△ACD是等边三角形.E为AD的中点，DE=AE= AD-2,CELADLCED90CE=CD-DE √42-2=25.由翻折，得D'E=DE=2.CD'+D'E≥ CE,.CD'+2≥2√3，.CD'≥25-2，.CD'的最小值 为23-2. 2题答图 3.A4.D 52 [解析]：四边形ABCD是矩形，AD=BC,AB=CD, ∠ABC=90°.EF∥BD,.∠CEF=∠CBD,∠FEM= ∠EMB.由翻折，得∠CEF=∠FEM,MF=CF,∴，∠EMB= ∠EBM,.CE=BE=ME..AD∥BC,.∠ADM=∠EBM .∠ADM=∠AMD,AD=AM.设BE=ME=x,则AD=AM =2x,AE=AM+EM=3x,∴.AB=√AE2-BE2=2V2x, 品号 6.C[解析]四边形ABCD是正方形，AB=6,E是BC的中 点，.CB=CD=AD=AB=6,∠D=∠B=∠C=90°，∴.BE =CE=CB=3.由折叠，得A=AB,FE=BE=3,LAFE =∠B=90°，∴.AF=AD,∠AFG=∠D=90°.在Rt△AFG和 △ADG中，{AC:AG,△AFG≌R△ADc(HL),万 =DG.CE2+CG2=EG2,CG=6-DG,EG=3+FG=3+ DG,.32+(6-DG)2=(3+DG)2,解得DG=2,.AG= √/AD2+DG=√62+22=2√10.故选C. 7.4 8.75°[解析]如答图，设AM与ND相交于点E,由翻折，得 ∠DAM=∠MAN,AD=AN,AM⊥DN,∴.∠DEM=90°. 参考答案及解析 ∠NDM=30°，.∠DMA=60°.四边形ABCD是正方 形，∴.AB=AD,∠BAD=∠CDA=90°，.∠DAM=90°- ∠DMA=30°，AB=AW,∴∠MAN=∠DAM=30°，∴.∠BAN =∠BAD-∠DAM-∠MAN=90°-30°-30°=30°..·AB =AN,LABN=∠AB=之(I80°-LBN)=7× (180°-30°)=75°. D 8题答图 专题3特殊平行四边形中的动点问题 1.D 2.C[解析]四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC= CD,∠D=∠BAD=∠B=90°.如答图，将△ABM绕点A顺 时针旋转90°得到△ADE,则AE=AM,∠ADE=∠B=90°， BM=DE,∠EAD=∠MAB,.E在CD的延长线上 .·∠MAB+∠DAN=∠DAB-∠MAN=45°=∠MAN, .'.∠EAD+∠DAN=∠EAN=∠MAN.在△EAN和△MAN [AE =AM, 中，{∠EAN=∠MAW,∴.△EAN≌△MAN(SAS),.MN= LAN=AN, EN=DE+DN=BM+DN,∴，△MNC的周长为MC+NC+ MN (MC+BM)+(NC DN)=BC DC..DC BC=AB =√2，.△MWC的周长为2√2.故选C. B DN 2题答图 3.(1)(3,8)(15,0)(2)7 4.解：(1)四边形B0CE是矩形.证明如下： .BE∥OC,EC∥OB, .四边形BOCE是平行四边形 :四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴.∠BOC=90°，∴.四边形B0CE是矩形. (2):四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm, ..OA=OC=3 cm,OB=OD=4 cm. S△ABG=2S△OBG,.AG=20G, ∴.2t=2(3-2t)或2t=2(2t-3), 解得t=1或t=3. 5.(1)证明：如答图①，过点P作MN∥AD,分别交AB于点M, 交CD于点N:PB⊥PE,.∠BPE=90°， .∴∠MPB+∠EPN=90°. :四边形ABCD是正方形，.∠BAD=∠D=90 .'AD∥MN,.∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°， .∠MPB+∠MBP=90°，∴.∠EPN=∠MBP. 在Rt△PWC中，∠PCN=45°， ·△PNC是等腰直角三角形， .PN=CN,∴.BM=CN=PN. T∠PBM=∠EPN, 在△BMP和△PNE中，BM=PN, L∠BMP=∠PNE, 7 同步练测·九年级数学·上册·北师版 ∴.△BMP≌△PNE(ASA),∴.PB=PE. 5题答图① 5题答图② (2)解：在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化. 如答图②，连接OB.:O是正方形ABCD对角线AC的中 点，OB⊥AC,∠AOB=90°， ∴.∠OBP+∠BPO=90° .∠BPE=90° ∴.∠BPO+∠FPE=90°，.∠OBP=∠FPE. .·EF⊥AC,.∴.∠EFP=∠AOB=90 由(1)得PB=PE. LOBP=∠FPE, 在△OBP和△FPE中， ∠BOP=∠PFE, PB=EP. ∴△OBP≌△FPE(AAS),∴OB=PF. AB=2,△AB0是等腰直角三角形， .OB=2,∴.PF的长为√2. (3)解：PC=PA+√2EC.如答图①. .∠BAC=45°， △AMP是等腰直角三角形，∴PA=√2PM. 由(1)知PM=NE,.PA=√2NE. :△PCN是等腰直角三角形， .PC=√2NC=2(NE+EC)=√2NE+√2EC=PA+2EC, 即PC=PA+√2EC. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：如答图，设OQ交AB于点P,AP=m 亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成， 0A=0B,0C=0D,0M=00,LA0B=×360°=90， ∠A00=LB00=g×3600=45, ..0QLAB.OP-AP-BP-748,OA-0Q-CQ-DQ- CD..LOPA9B=2AP2m, .0A=√OP2+AP2=√2AP=√2m, CD=2CQ=20A=22mCD-22m AB=2m=2 D 1题答图 2.解：(1)a=20×2 ×2+20=20√2+20. (2)如答图所示 2题答图 ·8… 易错疑难集训 1.A 2.30°或150°[解析]如答图①，当∠ABC为锐角时，过，点A 作AE⊥BC于点E.:菱形ABCD的周长为16，∴.AB=BC= 4.丈.菱形ABCD的面积为8，∴.AE=2,易得∠ABE=30° 即∠ABC=30°；如答图②，当∠ABC为钝角时，过点D作 DF⊥AB于点F.,菱形ABCD的周长为16，.AD=AB=4. 又：菱形ABCD的面积为8，.DF=2,易得∠DAF=30°， .∠ABC=150°.故∠ABC的度数为30°或150°. D D C B EC FB 2题答图① 2题答图② 3.(2,12)或(-2,0) 4.解：如答图①，当BC为底边时，PB=PC 易证△ABP≌△DCP, 所以AP=PD=子AD=子8C=3. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB=√AB2+AP2= √42+32=5； 如答图②，当CP为底边时，则BP=BC=6. 综上所述，PB的长为5或6. B 4题答图① 4题答图② 5.D[解析]如答图①，连接AE.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.又BE=CF,.△ABE≌ △BCF,.AE=BF,.BF+DE=AE+DE.延长AB到点H, 使得BH=AB,连接EH,DH,则EH=AE,∴AE+DE=EH+ DE≥DH如答图②，当D,E,H三，点共线时，AE+DE取最小 值，此时AE+DE=DH.在Rt△ADH中，DH=√A+AD2 =√⑧2+42=45，.BF+DE的最小值为4V5.故选D. D D Bi E B E H H 5题答图① 5题答图② 6.(1)证明：如答图，连接AC,交BD于点O. 四边形ABCD是正方形， ∴.BD⊥AC,B0=D0,A0=CO. BF=DE,..OD +DE =OB+BF,OE=OF, :.四边形AECF是平行四边形. 又，EF⊥AC,.四边形AECF是菱形 (2)解：.四边形ABCD是边长为1的正方形， .AB=AD=1,.BD=AC=√2，EF=32, 四边形4ECF的面积为74C,EF=子×万×3=3. (3)解：四边形AECF是菱形， .点A与点C关于直线EF对称