考点14：导数与含参不等式的恒成立问题导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案聚焦导数与含参不等式恒成立问题，系统整合考情分析、求解策略及分参、端点效应等五大题型，通过问题链设计引导学生自主梳理知识逻辑，构建“策略-题型-应用”的层次化知识网络。 亮点在于诊断性自测与个性化提升设计，开篇设置近三年高考真题自测，结合题型分类的方法指导与模拟题演练，培养学生数学思维与表达能力。每个模块配有反思总结表，助力自主诊断薄弱点，教师可依学情精准指导，提升备考实效。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点14 导数与含参不等式的恒成立问题 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；已知最值、极值求参数是常见题型。纵观近三年的新高考试题难度范围广，几乎是必考的知识点，研究方式多变，是整个导数问题的综合。可以预测2027年新高考命题依旧会考察，并且出题方向继续多变，客观题和主观题均有可能出。 1.利用导数研究不等式含参问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2. 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立 （1），； （2），； （3），； （4），. 3.端点效应（必要性探路，充分性护航） （1）一阶端点效应：如果连续函数在某一点处有，则当时，恒成立的一个必要条件为：在的右邻域内递增，即。因为如果，则函数会在的右邻域内递减，在此区间上与矛盾。这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处导数值的符号，这就是端点效应。 （2）二阶端点效应：如果连续函数在区间上，恒成立，且，则利用，给出参数范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性。 4.“端点效应法” 的解题步骤： （1）恒成立问题的一侧为 0（若非零移项使不等式的一侧为 0），得到新的函数使之大于等于 0 (或者小于等于 0)； （2）定义域端点处的函数值为 0，函数求导； （3）求出端点处一阶导函数值，若此值不恒为 0 ，则导函数在此点处函数值大于等于 0(或者小于等于 0)，求出参数范围（得a的范围）；若此点处一阶导函数值恒为，把一阶导函数当作新函数再求导函数令二阶导数在此点处函数值大于等于 (或者小于等于 0)，求出参数范围，依次类推，直到得出参数范围； （4）证明充分性成立：证明在这个参数范围下，原不等式确实恒成立；如果参数不在该范围，则举出反例，说明不成立。 5.双参数不等式的方法： （1）转化即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； （2）构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 6.已知函数的单调性，求参的取值范围 （1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2.（2025·天津高考真题第15题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 5.（2024·全国甲卷(理)高考真题第21题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 题型一：含参恒成立问题（分参） 题型分析：参变量分离是处理恒成立、存在性问题最常用手段。 解题核心为把参数单独放到不等式一侧。适用条件：①不等式容易变形，参数能够干净分离；②分离之后得到的函数容易求导、求最值。 1.（2026届· 广东深圳· 二模·16题节选）已知函数．若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 2.（2026届· 河北衡水· 4月联考·19题节选）已知函数，其中.若，恒成立，求的取值范围. 3.（2026届· 吉林长春· 一模）若函数，且恒成立，则实数 . 4.（2026届· 福建福州宁德· 适应考试·16题节选）已知函数．若，求的取值范围． 5.（2026届·河北唐山· 一模·18题节选）函数，. 若在上单调递减，求a的取值范围； 6.（2026届·江苏九校· 一模·19题节选）已知函数.对任意，是的必要条件，求的最小值； 7.（2026届·山东济南·5月针对训练·18题节选）已知函数．对任意，都有，求k的取值范围. 8.（2026届· 湖北宜昌· 4月调研）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. 9.（2026届·安徽合肥·三模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 10.（2026届·湖南湘一名校联盟· 12月质检·18题节选）已知函数. 若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 题型二：含参恒成立问题（不分参） 题型分析：当参变分离运算复杂、分离后函数零点隐零点无法求解，就不分离参数，直接整体构造函数，转化为（或）在定义域恒成立。 1.（2026届· 广东东莞· 二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 2.（2026届· 广东揭阳· 质量检测）已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________． 3.（2026届·广东·第二次调研）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 4.（2026届·湖北名校联盟·5月检测·15题节选）已知函数．若存在大于零的极值，求a的取值范围. 5.（2026届· 广东广州· 二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若是函数的极值点，证明：． 6.（2026届·辽宁鞍山·5月检测·19题节选）已知函数.若对于恒成立，求的取值范围； 7.（2026届·湖北武汉· 4月供题·17题节选）已知函数，其中. 若，求的取值范围. 8.（2026届· 江西宜春· 4月联考）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 9.（2026届· 东北三省三校· 二模·18题节选）已知（）当时,,求实数a的取值范围. 10. （2026届·黑龙江齐齐哈尔· 一模·19题节选）已知函数.若对任意，都有，求实数的取值范围； 题型三：双参数问题 题型分析：题目同时出现两个参数，给出不等式恒成立或存在条件，求参数关系式的最值、参数取值范围。解题思路： ①消元转化：利用恒成立条件，找到两个参数之间约束关系，把双参数问题转化单参数函数；②隐零点代换：导数零点建立起和等式，把全部用零点表达，目标表达式变成只关于函数，再求值域。 1.（2026届·安徽黄山· 一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2026届·江西九江· 一模）已知实数满足，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 3.（2026届·四川成都·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C．e D． 4.（2026届·湖北部分市州· 1月联考）已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.（2026届· 山东德州· 4月评估）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 6.（2026届· 广东东莞· 二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 7.（2026届·广东广州·一模·18题节选）已知函数 .若存在 ,使得 对任意 恒成立,证明: . 8.（2026届· 湖南省联考· 期末·18题节选）已知函数. 若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 题型四：端点效应 题型分析：端点效应是必要性探路中高频模型。端点效应算出来的只是必要条件，不是充分条件，必须验证充分性，不能直接写答案。 1.（2026届· 广东深圳· 二模·16题节选）已知函数．若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 2.（2026届·湖北鄂州· 4月调研·18题节选）已知函数．若对恒成立，求的取值范围； 3.（2026届· 江苏扬州·5月质检·19题节选）已知函数，．若对任意，都有成立，求的取值范围； 4.（2026届· 四川自贡· 三模·19题节选）函数．当时恒成立，求的取值范围； 5.（2026届·山东聊城· 一模·19题节选）已知函数．当时，恒成立，求a的取值范围； 6.（2026届·厦大附属中学· 3月训练·19题节选）已知函数． 当时，，求a的取值范围. 7.（2026届·江西重点校联盟· 一模·19题节选））已知函数．若都有恒成立，求的最大值． 8.（2026届· 福建部分高中· 一模·19题节选）已知函数．（且） 若对任意实数，均有，求的值. 题型五：构造、同构 题型分析：核心是把不等式两边整理为同一个函数模型，利用单调性脱去外壳，简化不等式，避免复杂求导。 1.（2026届·河北衡水·二模·17题节选）已知函数，.若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 2.（2026届·湖南岳阳·5月模拟）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______. 3.（2027届·扬州中学· 开学考）已知正数、满足，则（   ） A． B． C． D． 4.（2027届·乌鲁木齐第一中学· 开学考）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点14 导数与含参不等式的恒成立问题 考情分析 新高考对知识的考查要求：能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值；已知最值、极值求参数是常见题型。纵观近三年的新高考试题难度范围广，几乎是必考的知识点，研究方式多变，是整个导数问题的综合。可以预测2027年新高考命题依旧会考察，并且出题方向继续多变，客观题和主观题均有可能出。 1.利用导数研究不等式含参问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2. 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立 （1），； （2），； （3），； （4），. 3.端点效应（必要性探路，充分性护航） （1）一阶端点效应：如果连续函数在某一点处有，则当时，恒成立的一个必要条件为：在的右邻域内递增，即。因为如果，则函数会在的右邻域内递减，在此区间上与矛盾。这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处导数值的符号，这就是端点效应。 （2）二阶端点效应：如果连续函数在区间上，恒成立，且，则利用，给出参数范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性。 4.“端点效应法” 的解题步骤： （1）恒成立问题的一侧为 0（若非零移项使不等式的一侧为 0），得到新的函数使之大于等于 0 (或者小于等于 0)； （2）定义域端点处的函数值为 0，函数求导； （3）求出端点处一阶导函数值，若此值不恒为 0 ，则导函数在此点处函数值大于等于 0(或者小于等于 0)，求出参数范围（得a的范围）；若此点处一阶导函数值恒为，把一阶导函数当作新函数再求导函数令二阶导数在此点处函数值大于等于 (或者小于等于 0)，求出参数范围，依次类推，直到得出参数范围； （4）证明充分性成立：证明在这个参数范围下，原不等式确实恒成立；如果参数不在该范围，则举出反例，说明不成立。 5.双参数不等式的方法： （1）转化即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； （2）构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 6.已知函数的单调性，求参的取值范围 （1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 1.（2026·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，，故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有. 故选：B 2.（2025·天津高考真题第15题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入（可以消掉），得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1);(2)证明见解析;(3). 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ，所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为.综上，. 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 5.（2024·全国甲卷(理)高考真题第21题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值.；(2) 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 题型一：含参恒成立问题（分参） 题型分析：参变量分离是处理恒成立、存在性问题最常用手段。 解题核心为把参数单独放到不等式一侧。适用条件：①不等式容易变形，参数能够干净分离；②分离之后得到的函数容易求导、求最值。 1.（2026届· 广东深圳· 二模·16题节选）已知函数．若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】 【解析】解法1：令，则， 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围为； 解法2：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 2.（2026届· 河北衡水· 4月联考·19题节选）已知函数，其中.若，恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】由恒成立，得，化简得： ， 即，即 设，，令，解得， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以在处取极大值，，故. 3.（2026届· 吉林长春· 一模）若函数，且恒成立，则实数 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上所述：. 4.（2026届· 福建福州宁德· 适应考试·16题节选）已知函数．若，求的取值范围． 【答案】 【解析】解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使，不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述，的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． 5.（2026届·河北唐山· 一模·18题节选）函数，. 若在上单调递减，求a的取值范围； 【答案】 【解析】函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 6.（2026届·江苏九校· 一模·19题节选）已知函数.对任意，是的必要条件，求的最小值； 【答案】 【解析】∵对任意，是的必要条件， ∴， 在上单调递增， 则，即在上恒成立， 令，， 在单调递减， . 7.（2026届·山东济南·5月针对训练·18题节选）已知函数．对任意，都有，求k的取值范围. 【答案】 【解析】若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. 8.（2026届· 湖北宜昌· 4月调研）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】设曲线过点的切线的切点为， 则切线的斜率， 所以，，切线方程为， 所以恒成立， 所以恒成立， 令，则 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则为的极小值点， 又因为时，， 所以，故. 9.（2026届·安徽合肥·三模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1）故，;（2） 【解析】（1）已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. （2）由（1）得，则. 求导得.因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，，求导得.因为时，，所以，即在上单调递增.因此.故，即的取值范围为. 10.（2026届·湖南湘一名校联盟· 12月质检·18题节选）已知函数. 若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】，即，因为，所以， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式转化为恒成立，设， 所以， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以在内有唯一极大值点，即，从而， 当时，不等式转化为恒成立， 令，解得，则在上的单调性如下， 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在内有唯一极小值点，则，从而， 综上，的取值范围是. 题型二：含参恒成立问题（不分参） 题型分析：当参变分离运算复杂、分离后函数零点隐零点无法求解，就不分离参数，直接整体构造函数，转化为（或）在定义域恒成立。 1.（2026届· 广东东莞· 二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 【答案】D 【解析】因为，可得，所以当时，等号成立； 若恒成立，则必为函数的最小值点，可得； 又，即可得，所以； 经检验，当时， 令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取得极小值，也是最小值，即恒成立， 所以符合题意. 故选：D. 2.（2026届· 广东揭阳· 质量检测）已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为，所以， 当时，那么函数恒成立， 所以要使，有恒成立， 则在恒成立， 又函数在上单调递减， 根据与一定存在交点可知存在零点， 所以存在，使得时，，时，， 不合题意，舍去. 当时，设为切线，设切点为， 则，所以，那么，， ①当时，存在两个零点， 令，那么， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 当时，，此时无法满足题意，舍去； ②当时，由①可知，，所以； ③当时，恒成立，要使得恒成立， 则只需恒成立，由①得：，所以， 即，综上：的取值范围是：. 3.（2026届·广东·第二次调研）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】设，则当时，不成立；当时，由，得，则不成立；当时，若，则，即成立；若，则，即，得．综上，的取值范围是． 4.（2026届·湖北名校联盟·5月检测·15题节选）已知函数．若存在大于零的极值，求a的取值范围. 【答案】 【解析】已知，其定义域为，则， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令得（负根舍去）， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以是的极小值点， 则， 所以． 5.（2026届· 广东广州· 二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若是函数的极值点，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以三角形的面积是：. （2），， ， 因为是函数的极值点，所以且，即， 因为，所以，所以，解得， ，将代入得：， 令，， ， 令，，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以，所以在上单调递减，所以， 所以. 6.（2026届·辽宁鞍山·5月检测·19题节选）已知函数.若对于恒成立，求的取值范围； 【答案】 【解析】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 7.（2026届·湖北武汉· 4月供题·17题节选）已知函数，其中. 若，求的取值范围. 【答案】 【解析】当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 8.（2026届· 江西宜春· 4月联考）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由， 所以函数在处的切点为：， 又， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：， 将点代入切线方程中得：，解得：. （2）由（1）得：， 所以对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以，且， 将代入中化简得： 在上恒成立， 令， 由， 令， 则，因为，所以， 即在上单调递减， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，满足题意， 当时，存在使得，且时，， 此时在上单调递增，所以，不满足题意. 综上实数的取值范围为 9.（2026届· 东北三省三校· 二模·18题节选）已知（）当时,,求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 10.（2026届·黑龙江齐齐哈尔· 一模·19题节选）已知函数.若对任意，都有，求实数的取值范围； 【答案】 【解析】由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. 题型三：双参数问题 题型分析：题目同时出现两个参数，给出不等式恒成立或存在条件，求参数关系式的最值、参数取值范围。解题思路： ①消元转化：利用恒成立条件，找到两个参数之间约束关系，把双参数问题转化单参数函数；②隐零点代换：导数零点建立起和等式，把全部用零点表达，目标表达式变成只关于函数，再求值域。 1.（2026届·安徽黄山· 一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 即对于恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 2.（2026届·江西九江· 一模）已知实数满足，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【解析】将整理为， 构造函数（），. ， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，可知， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 由题意可得， 所以， 当且仅当时，不等式成立. 此时，， 所以. 故选：D. 3.（2026届·四川成都·一模）已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【解析】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立， 则函数和的零点相同， 所以，则， 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，所以最大值为， 故选：A. 4.（2026届·湖北部分市州· 1月联考）已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 令，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，， 当时，，画出大致图像如下：   当时，与仅有一个交点， 令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； ，此时，， ， ， ， 令，， 若存在a，使得对任意成立， 等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故， 实数b的取值范围，的最小值为. 故选：D 5.（2026届· 山东德州· 4月评估）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任意的，都有， 则在上恒成立， 令，， 则，令，得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此存在，使， 令，则，令，得， 当时，当时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，的最大值为. 故选：A. 6.（2026届· 广东东莞· 二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 【答案】（1）详解见解析；（2） 【解析】（1）当时，， 所以， 当时，，令，得， 令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由恒成立，可得， 令，则 因为， 当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 故此时， 所以的最小值为； 当时，， 当时，易得为减函数， 又时，， 由零点存在性定理得，存在，使得， 在上单调递增，在单调递减， 故此时， 此时， 综上可知当时，的最小值为. 7.（2026届·广东广州·一模·18题节选）已知函数 .若存在 ,使得 对任意 恒成立,证明: . 【答案】证明见解析 【解析】 即 ,即 .若对 恒成立,即 ，又 且 时, 时, 故 ,使 即 ,即 此时 欲证 ,此时 所以 设 所以 ,证毕. 8.（2026届· 湖南省联考· 期末·18题节选）已知函数. 若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 【答案】 【解析】恒成立，即恒成立，则。 设函数，即， 则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为。 故存在，使得，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以 。 要使最大，则取，再分析的最大值。 设函数， 则， 因为，且仅在处等号成立， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即的最大值为，当时，，得 题型四：端点效应 题型分析：端点效应是必要性探路中高频模型。端点效应算出来的只是必要条件，不是充分条件，必须验证充分性，不能直接写答案。 1.（2026届· 广东深圳· 二模·16题节选）已知函数．若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】 【解析】由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 下证：当时，， 若，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为. 2.（2026届·湖北鄂州· 4月调研·18题节选）已知函数．若对恒成立，求的取值范围； 【答案】 【解析】 当a≤2时， 在上单调递增，恒成立； 当a>2时，令得，，则 当时，，在上单调递减，，不合题意． ，a的取值范围为 3.（2026届· 江苏扬州·5月质检·19题节选）已知函数，．若对任意，都有成立，求的取值范围； 【答案】 【解析】由题意知，..设，，即在上单调递增 当时，所以，所以在上单调递增，所以，符合题意。 当时，，，即＜0，所以，，即，，所以在单调递减。所以，，与矛盾。 综上所述，的取值范围为。 4.（2026届· 四川自贡· 三模·19题节选）函数．当时恒成立，求的取值范围； 【答案】 【解析】由题意知，， ①当时，设，． 当时，，单调递增；时，，单调递减． 由于，故． 故在单调递减，故恒成立． ②当时，，，此时不等式不成立． ③当时，单调递减。又，即所以，，即，，所以在单调递增。所以，，与矛盾。 综上，的取值范围是． 5.（2026届·山东聊城· 一模·19题节选）已知函数．当时，恒成立，求a的取值范围； 【答案】 【解析】当时，恒成立，即，移项可得， 令， ， 1-1=0， 令，，， ①时，又，所以， 令，， 令，， 在单调递减，，即， 在单调递减，， 即，故时符合题意； ②当时，， 故，时，，单调递增，， 时，，单调递增，， 故时不符合题意； 综上，的取值范围是 6.（2026届·厦大附属中学· 3月训练·19题节选）已知函数． 当时，，求a的取值范围. 【答案】 【解析】当时，，即， 设， 则， 令，则． 当时，，所以存在，使得当时，单调递增， 故当时，，即，不符合题意； 当时，，且当时，． 令， 则当时，因为，所以， 故当时，单调递减，此时， 所以当时，单调递减，即当时，，即 综上，a的取值范围是. 7.（2026届·江西重点校联盟· 一模·19题节选））已知函数．若都有恒成立，求的最大值． 【答案】 【解析】当时，， 即，令， 则，其中， 令，则且， 令，则，其中. 令，，则， 故在上单调递减，其中. ①若，则， 令，在上单调递增，， 所以恒成立. 故在上单调递增，且. 所以在上也单调递增，且， 所以，故恒成立. ②若，则， 且，使得当时，， 所以函数在上单调递减， 故时，， 所以函数在上单调递减， 所以时，， 所以时，，与恒成立矛盾． 综上所述：的最大值为. 8.（2026届· 福建部分高中· 一模·19题节选）已知函数．（且） 若对任意实数，均有，求的值. 【答案】 【解析】设， 则， 情形1：，则，矛盾， 情形2：，则， 取正整数，使得，则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最小的一个为， 那么对任意，恒有， 理由：假设存在实数使得， 于是在区间内函数存在至少一个零点，这与的定义矛盾， 故对任意，恒有， 故在区间上单调递减，于是，矛盾， 情形3：，则， 取负整数，使得， 则， 于是在区间内函数存在至少一个零点，取其中最大的一个为， 同情况2可知，在区间上单调递增，于是，矛盾， 综上，只可能. 下面证明满足要求， 当时，，满足题目条件. 当时，先证明，． 设，则，故为增函数， 于是当时，， 故，所以，成立， 当时，，故，所以，成立． 当时，，成立. 综上知成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 由函数在上单调递增， 所以， 当时，成立， 所以当时，， 即， 可见满足要求. 题型五：构造、同构 题型分析：核心是把不等式两边整理为同一个函数模型，利用单调性脱去外壳，简化不等式，避免复杂求导。 1.（2026届·河北衡水·二模·17题节选）已知函数，.若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】不妨设，则，同除以得， 所以在单调递增，所以. ①若，恒成立，符合题意. ②若，则恒成立. 令，则，令，则， 所以在单调递增，在单调递减，所以，所以. ③若，同理，恒成立，由②可知，当时，，所以不存在满足条件的.综上所述，. 2.（2026届·湖南岳阳·5月模拟）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】已知，函数定义域为， 若恒成立，即恒成立， 此时，即恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得 当时，；当时，， 又，所以当时，，， 此时需满足，即恒成立， 则在恒成立， 所以在恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时， 则实数a的取值范围为. 3.（2027届·扬州中学· 开学考）已知正数、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正数、满足，所以， 构造函数，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 构造函数，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 又因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时 故选：D 4.（2027届·乌鲁木齐第一中学· 开学考）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，构造函数，所以， 因为，且恒成立，因此，即是在上的严格单调递增函数， 因为，因此，对原不等式两边同时除以， 可得，即，等价于，即， 因为在上恒成立，因为，不等式可变形为， 因为是单调递减函数，最小值在处取得，为，因为是对上恒成立， 所以，即，所以的取值范围为 故选：B 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $