01导数中的不等式证明问题导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数中不等式证明专题，将直接构造、放缩、同构、隐零点、凹凸反转等核心类型按思维进阶构建知识网络，通过问题链和任务驱动引导学生自主归纳证明步骤，形成完整的解题认知框架。 亮点在于诊断性变式训练和分层学习设计，如每种类型配备从基础到高考真题的变式题组，学生通过错题分析自主定位薄弱环节，培养数学思维和逻辑推理能力。每个模块设有方法总结表和反思日志，助力构建个性化解题策略，教师可依据学生反馈精准指导，提升备考实效。

高考一轮总复习导学案 素养提升专题--- 01导数中的不等式证明问题 一、知识梳理 知识点一 证明不等式的一般思维和基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 知识点二 不等式证明类型归纳 类型一 直接构造法： 证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； 类型二 、适当放缩构造法： （1） 根据已知条件适当放缩 （二）利用常见的放缩结论，如切线放缩、泰勒展开式等 1.指数函数的切线不等式 ①；②． 2.对数函数的切线不等式 ①；②；③． 3.三角函数的切线不等式 ①当时， ；当时， ； ②当时， ；当时， ． 4.泰勒展开式 （1）常见函数的泰勒展开式 ①，其中； ②，其中； ③，其中； ④，其中； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． （2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式 ①，，，， ②，；； ③；； ④； ⑤； ⑥；；，，，， 类型三 指对同构构造函数证明不等式 类型四 隐零点证明不等式 类型五 凹凸反转证明不等式 凸凹反转：欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 2、 类型应用 类型一 直接构造法： 例1：（20-21高二下·全国·课后作业）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），．      变式训练1-1：直观验证：，， 变式训练1-2：（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 变式训练1-3：（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 变式训练1-4：（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：. 变式训练1-5：（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 例2：（22-23高二下·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 变式训练2-1：（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； 变式训练2-2：（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数，，其中，为自然对数的底数．证明：当时，． 变式训练2-3：（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 变式训练2-4：（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，记. (1)求的单调区间与极值； (2)(i)证明：，都有； 类型二 放缩法证明不等式 例3：（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， 证明:恒成立； 变式训练3-1：（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数，，证明：. 变式训练3-2：（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 变式训练3-3：（换元后放缩）（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； 变式训练3-4：函数，，其中为常数，当时，证明：． 类型三 同构构造函数证明不等式 例4：已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立. 变式训练4-1：已知函数，，，． (1)求的单调区间； (2)若的最大值为1，证明：对任意的，； 变式训练4-2：（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间和极值； (3)若，函数，证明：当，. 类型四 利用隐零点证明不等式 例5：（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 变式训练5-1：（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 变式训练5-2：（2026·湖南长沙·三模）已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； 类型五 利用凹凸反转证明不等式 例6：（2025高二·全国·专题练习）证明： 变式训练6-1：已知，，，求证：． 变式训练6-2：已知函数，． (1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值． (2)若，，证明：． 变式训练6-3：（2025·天津滨海新区·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 素养提升专题--- 01导数中的不等式证明问题 一、知识梳理 知识点一 证明不等式的一般思维和基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 知识点二 不等式证明类型归纳 类型一 直接构造法： 证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； 类型二 、适当放缩构造法： （1） 根据已知条件适当放缩 （二）利用常见的放缩结论，如切线放缩、泰勒展开式等 1.指数函数的切线不等式 ①；②． 2.对数函数的切线不等式 ①；②；③． 3.三角函数的切线不等式 ①当时， ；当时， ； ②当时， ；当时， ． 4.泰勒展开式 （1）常见函数的泰勒展开式 ①，其中； ②，其中； ③，其中； ④，其中； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． （2）由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式 ①，，，， ②，；； ③；； ④； ⑤； ⑥；；，，，， 类型三 指对同构构造函数证明不等式 类型四 隐零点证明不等式 类型五 凹凸反转证明不等式 凸凹反转：欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明. 2、 类型应用 类型一 直接构造法： 例1：（20-21高二下·全国·课后作业）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象； （2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论，然后画出、、的图象. 【详解】（1）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴，得证.    （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 令，则，而， ∴时，，单调递增， 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 综上，，上恒成立.    变式训练1-1：直观验证：，， 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造，利用导数研究其在上的单调性并确定最小值，即可证明，进而画出、的图象. 【详解】∵等价于， ∴可令，则，在上， ∴在上单调递增，即， ∴在上恒成立，则，得证. 变式训练1-2：（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. 【详解】（1）由，可得， 所以切线斜率为． （2）令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 变式训练1-3：（25-26高三上·北京丰台·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 变式训练1-4：（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解； （2）构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. （2）令，易知的定义域为， 则，当时，；当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，则，命题得证. 变式训练1-5：（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； 【详解】（1）由题意得函数定义域为，． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 先证明不等式，设，则， 所以在上单调递减，故，即． 再证明不等式，设， 则，所以在上单调递增， 故，即． 综上，原命题得证． 例2：（22-23高二下·北京·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 变式训练2-1：（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. 变式训练2-2：（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数，，其中，为自然对数的底数．证明：当时，． 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】原命题可转化为证明当时，，构造相应函数后求导研究单调性即可得. 【详解】当时，要证，即证，即证， 即证，即证， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 故，即，即得证. 变式训练2-3：（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以. 变式训练2-4：（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，记. (1)求的单调区间与极值； (2)(i)证明：，都有； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；极大值为，无极小值； (2)（i）由题意要证，即证，在 上成立. 令，，则， 设 ，，则 ①当时，，则在上单调递增，而， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故，即时，,则； ②当时，，，则 综上，当时，，即得证. 类型二 放缩法证明不等式 例3：（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， 证明:恒成立； 【答案】证明见解析； 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据不等式构造函数和分别证明大于等于零恒成立即可； 【详解】易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. 变式训练3-1：（25-26高三·上海·二轮复习）已知函数，，证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】利用导数可证得当时，，则有，对原不等式进行放缩，得，所以证明即可证明原不等式，令，利用导数可求得，由此证得原不等式成立. 【详解】设，则， 即在上单调递增，所以， 即，； 要证，即证， 因为，则有， 所以若，则一定有， 只需证， 即证， 令，则，令，则有， 则当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增，， 即，， 因此，即， 则，即得证. 变式训练3-2：（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）将 转化为 ，令 ，由求解； （2）法一：由(1)知，将问题转化为证 ，即证明；法二：令，，证明即可. 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 变式训练3-3：（换元后放缩）（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）可得，设，得，令，求得，得到单调性和最大值，得到，即可得证. 【详解】（1）由函数，可得， 则且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知：，则， 不等式，即， 即，其中， 设，可得，且，不等式即为， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以时，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，所以， 所以. 变式训练3-4：函数，，其中为常数，当时，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用参数的范围对函数进行放缩，结合的泰勒公式放缩证明. 【详解】由于，∴即证 由的泰勒展开式得，，得， 即，即，得证． 类型三 同构构造函数证明不等式 例4：已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）将所证不等式变形为，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性，可证得，再构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得所证不等式成立. 【详解】（1）因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 当时，要证，即证， 即证， 当时，， 构造函数，其中，则， 即函数在上单调递增， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，，即， 因此，当时，，即， 故原不等式得证. 变式训练4-1：已知函数，，，． (1)求的单调区间； (2)若的最大值为1，证明：对任意的，； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间； （2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明； 【详解】（1）的定义域为，令得， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，， ，要证，即证， 即证，即证， 构造函数，则， 令得，令得， 在单调递增，在单调递减， ，即恒成之，当且仅当时等号成立. ，，使得， 恒成立，故对于任意的，. 变式训练4-2：（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的单调区间和极值； (3)若，函数，证明：当，. 【答案】(1) (2)单调递减区间为：，递增区间为：；极大值为，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）对于切线方程，需要先求出函数在该点的导数，得到切线斜率，再结合该点坐标求出切线方程； （2）对于函数的单调性和极值，通过求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出极值； （3）解法一：要证，即证明，令函数，，通过研究新函数的单调性，求解最值即可证明不等式；解法二：令，，设，，通过求导求解最值即可证明. 【详解】（1）当时，， 则，，， 所以切线方程为； （2）当时，，， 令，， 故在上单调递减，而， 因此0是在上的唯一零点， 即：0是在上的唯一零点， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 的单调递减区间为：；递增区间为：， 的极大值为，无极小值； （3），， 要证明，即证明， 因为， 所以要证，即证， 令，，则证， 设，，对其求导的， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取最小值，即， 所以当时，得证. 类型四 利用隐零点证明不等式 例5：（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． （2）令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 变式训练5-1：（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0个 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导得，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得； （2）构造，利用导数证明在上恒成立，即可证； （3）问题化为，上，，应用导数求它们的区间最大值，即可求. 【详解】（1）由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； （2）令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； （3）由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 变式训练5-2：（2026·湖南长沙·三模）已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； 【答案】(1)当时，在定义域上单调递增，当时，的减区间为，增区间为 (2) ①证明见解析； 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分和两种情况，即可求解； （2） ①求的单调区间，进而求出的最小值，即可求解； 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时，的减区间为，增区间为， 综上所述，当时，在定义域上单调递增， 当时，的减区间为，增区间为. （2）①当时, 令，易知的定义域为， ，易知在区间上单调递增， 又，所以存在，使，即， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由，得到，， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以，即. 类型五 利用凹凸反转证明不等式 例6：（2025高二·全国·专题练习）证明： 【答案】证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】要证原不等式成立，只需证明，分别构造函数，利用导数求最小值与最大值即可得证. 【详解】要证明，只需证， 令，则的定义域为， 因为， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 故只需证，且等号成立的条件与不同， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 故，当且仅当时等号成立， 故. 变式训练6-1：已知，，，求证：． 【解析】令，，则，则，只需证明，即证； ，，故只需证明，即证， 记，则， 当时，；当时，； 即在上递减，在上递增， ①，当且仅当时等号成立， 再记，则， 当时，；当时，； 在上递增，在上递减． ②，当且仅当时等号成立． 由①②等号不同时取到，得，于是． 变式训练6-2：已知函数，． (1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值． (2)若，，证明：． 【解析】（1）因为，所以． 令，解得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以．     因为，，所以． 令，解得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以．     由题意可得，解得． （2）证明：要证，即证，即证．     令，，，． 易得，则令，得；令，得．     所以在上单调递减，在上单调递增． 所以．     易得． 令，得；令，得．     所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，     所以，故． 变式训练6-3：（2025·天津滨海新区·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程组，解之即可； （2）将原不等式转化为，利用导数分别证明、 ，两个等号不是同时取到，进而得证； 【详解】（1）由题意，， 设切点，又直线与图象相切， 所以，即， 得，即，代入， 得，解得，代入，解得. 经检验，符合题意. 所以的值为. （2）当时，， 要证，即证， 令，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 而上面两个等号不是同时取到， 所以在上恒成立， 即当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $