思维拓展专题 4：圆（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学讲义通过知识体系全景梳理表格系统构建“圆”的知识脉络，涵盖圆的认识、对称性、周长、面积、环形与组合图形、扇形六大模块，用核心内容、关键方法、易错提醒三栏呈现，辅以解题方法速查表归纳五种核心算法，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于分层精练设计与思维方法指导，能力进阶篇夯实基础如环形面积计算，思维拓展篇通过半径扩大规律题培养推理意识，结合建模思维区分周长与面积应用场景，易错避坑指南针对性解决r²计算等误区，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题 4：圆（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材） 适用范围：人教版（2024 年新教材）六年级上册　第四单元　圆　｜　含例题精讲 · 易错避坑 · 分层精练 · 逐题解析 　目　录 本讲学习目标　………………………………　1 第一部分　核心方法论与知识体系构建　………………………………　2 　　一、知识体系全景梳理　………………………………　2 　　二、解题方法图表记忆法　………………………………　3 　　三、数学思维提升　………………………………　4 第二部分　典型例题解构与解题策略精讲　………………………………　6 第三部分　易错避坑指南　………………………………　9 第四部分　分层进阶专题精练　………………………………　11 　　一、能力进阶篇（★★★）　………………………………　11 　　二、思维拓展篇（★★★★）　………………………………　12 第五部分　精准解析　………………………………　15 　本讲学习目标 本讲对应新教材第四单元“圆”的全部内容，共安排 5 道精讲例题、5 条易错提醒和 14 道分层练习。学完以后，你应该能够独立完成下面五件事。 目标1　认识圆心、半径、直径，理解并能熟练运用 d＝2r、r＝d÷2 互相推算，说清楚圆有无数条对称轴的道理。 目标2　掌握圆的周长公式 C＝πd＝2πr（π 取 3.14），既能由半径或直径正向求周长，也能由周长逆向求出直径或半径。 目标3　掌握圆的面积公式 S＝πr²，理解 r² 表示 r×r（不是 r×2）的算理，并能规范书写“先算 r×r，再乘 π”的计算步骤。 目标4　会计算环形面积（外圆面积减内圆面积）以及“外方内圆”“外圆内方”一类组合图形的面积，理清正方形边长与圆的直径、半径之间的关系。 目标5　认识扇形（弧、圆心角），能计算半圆、四分之一圆等简单扇形的面积，并能综合运用圆的知识解决周长比、面积比、组合图形周长、捆扎问题、行程弯道、等积变形、反推半径等思维拓展问题。 　第一部分　核心方法论与知识体系构建 圆是本册教材第四个单元，也是同学们第一次系统学习“曲线图形”——在这之前学过的长方形、正方形、三角形都是由线段围成的，圆却是由一条曲线围成的。正因为“不一样”，圆的每一个概念、每一条公式都值得慢慢琢磨。这一部分我们先不急着做题，把圆的知识体系铺开来看一遍：哪些概念必须记牢，哪些公式要正向反向都会用，哪些地方最容易在考试中丢分。把这张“地图”先装进脑子里，后面每遇到一道题才知道该往哪个方向走。 　一、知识体系全景梳理 整个单元其实是从“认识圆”出发，先弄清楚圆心、半径、直径这三个基本概念，再研究“沿着圆边走一圈有多长”（周长）和“圆里面铺满有多大”（面积）这两件事，最后延伸到扇形、环形和各种组合图形。下面这张表把六个知识模块的核心内容、关键方法和常见失分点集中在一起，建议同学们一边读，一边在草稿本上给每一行补一个自己想到的例子。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 圆的认识 圆心 O 确定圆的位置，半径 r 决定圆的大小；直径 d 是通过圆心、两端都在圆上的线段 同一个圆里所有半径都相等、所有直径都相等，直径是半径的2倍：d＝2r，r＝d÷2 把“决定位置”的圆心和“决定大小”的半径说反，或者把 d＝2r 记成 d＝r÷2 圆的对称性 圆是轴对称图形，沿任意一条直径对折都能完全重合 圆的对称轴就是每一条直径所在的直线，因为直径有无数条，所以对称轴也有无数条 只说出一条或几条对称轴，漏掉“有无数条”这个关键结论 圆的周长 围成圆的曲线的长叫圆的周长；任何圆的周长都是它直径的3倍多一些，这个固定的倍数叫圆周率，用π表示，取近似值3.14 C＝πd 或 C＝2πr；已知直径先乘π，已知半径先乘2再乘π（或直接用2πr） 忘记先把半径变成直径就直接乘π，或者已知周长反求直径时把除法当成了乘法 圆的面积 把圆分割拼接成近似长方形，长近似于周长的一半（πr），宽近似于半径r，从而推出S＝πr² 先算r×r（不是r×2），再乘π；已知直径要先除以2求出半径才能代入公式 把r²算成r×2，或者直接拿直径代入S＝πr²而忘记先求半径 环形与组合图形 环形＝大圆（外圆）减小圆（内圆）；外方内圆、外圆内方要先理清正方形边长与圆直径、半径的关系 环形面积＝π×外半径²－π×内半径²，一定要分别平方后再相减，不能先把半径相减 把两个半径直接相减再乘π；把“外方内圆”和“外圆内方”的边长、直径对应关系弄反 扇形的认识 圆上两点间的曲线叫弧；一条弧和经过两端的两条半径围成的图形叫扇形；顶点在圆心的角叫圆心角 扇形的大小由圆心角决定；简单情形（如半圆、四分之一圆）可以直接按“几分之几个整圆”来求面积 把扇形和三角形混淆，或者忘记扇形面积只是整圆面积的一部分，直接套用整圆公式 　二、解题方法图表记忆法 方法是死的，题目是活的。为了让同学们在考场上能迅速调出对应的招式，我们把本单元最常用的五种方法整理成下面这张速查表。表里的口诀不必死记硬背，先把操作步骤理解透，再回头念一遍口诀，自然就记住了。做练习卡壳的时候，翻回这一页对照着找方法。 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 半径直径互推法 已知半径求直径，或已知直径求半径 ①先判断已知的是半径还是直径　②半径乘2得直径，直径除以2得半径　③把结果代回原题继续计算 知半径乘2，知直径除2 周长正逆推算法 已知半径或直径求周长；已知周长反求直径或半径 ①正向：半径先乘2变直径（或直接用2πr），再乘π　②逆向：周长先除以π得直径，直径需要半径时再除以2 正向先乘后求周，逆向先除后得径 面积规范书写法 已知半径（或直径）求圆的面积 ①如果给的是直径，先除以2求出半径　②把半径自己乘自己算出r×r　③再用这个得数乘π 先求半径莫心急，r乘r再乘π 环形拆分计算法 已知内、外圆的半径（或直径）求环形面积 ①分别求出外圆半径和内圆半径　②外半径自乘、内半径自乘，分别乘π得两个圆的面积　③外圆面积减内圆面积 内外半径先平方，大圆面积减小圆 组合图形转化法 外方内圆、外圆内方、半圆拼圆等组合图形的周长与面积 ①先看清正方形边长与圆直径、半径的对应关系　②把组合图形拆分或拼合成熟悉的圆、半圆、长方形分别计算　③按题目要求相加或相减 方边等于圆直径，拆拼化整成熟形 　三、数学思维提升 培优和课内练习最大的区别，不在于数字更大、步骤更多，而在于思考的角度更多。本单元最适合训练下面四种思维方式，每一种都配了一个小例子。请同学们看到例子先自己想一想，再往下看讲解，效果会好得多。 ◆ 运算思维　看到 r² 不要下意识地想去乘2，r² 表示 r×r，是这个数自己乘自己两次。算面积的时候，建议先单独把 r×r 算出来，写成一个中间得数，再乘 π，这样不容易把“平方”和“乘2”混在一起。 专题示例：计算半径是7米的圆的面积。先算r×r：7×7＝49，再算3.14×49＝153.86（平方米）。 ◆ 建模思维　看到“篱笆”“铁丝”“边缘”“绕一圈”这类沿着圆边走一圈的词，对应的是周长；看到“占地”“铺草皮”“刷漆的面”这类铺满整个圆面的词，对应的是面积。关系式一写出来，公式代入就只是最后一步计算，难点全在“该用周长还是该用面积”。 专题示例：一个半径2米的圆形水池，给它围一圈栏杆用的是周长：2×3.14×2＝12.56（米）；给它铺一层防水膜用的是面积：3.14×2×2＝12.56（平方米）。两个得数刚好一样，但单位一个是“米”一个是“平方米”，意义完全不同，一定要看清楚题目问的是长度还是面积。 ◆ 推理思维　半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍（因为C＝2πr，倍数直接乘到r上）；但面积却扩大到原来的“倍数×倍数”（因为S＝πr²，r和r要各扩大一次）。这一条规律是本单元思维拓展题最常用的推理工具。 专题示例：一个圆的半径从3米扩大到6米（扩大到原来的2倍）。原来周长3.14×2×3＝18.84（米），扩大后周长3.14×2×6＝37.68（米），恰好是原来的2倍；原来面积3.14×3×3＝28.26（平方米），扩大后面积3.14×6×6＝113.04（平方米），恰好是原来的4倍（2×2）。 ◆ 转化思维　遇到不规则的组合图形，常常需要把它拆开或拼起来，转化成我们熟悉的圆、半圆、长方形等基本图形分别计算，再合并或相减。特别是“两个完全相同的半圆”，往往可以直接看成一个整圆来处理，不用先算半圆再乘2，能省下一步计算。 专题示例：两个半径都是3米的半圆拼成一个整圆，圆的面积直接按整圆算：3.14×3×3＝28.26（平方米），不需要先算一个半圆的面积3.14×3×3÷2＝14.13（平方米）再乘2——两种算法结果一致，但直接按整圆算更快。 这一部分的两张表和四种思维方式不是让大家背下来的，而是留着随时翻的。做题时先想清楚“这道题属于哪个知识模块、该调用哪种方法”，再动笔计算，正确率往往比闷头硬算高得多。接下来我们进入例题精讲，看看这些方法在真实题目里是怎样落地的。 　第二部分　典型例题解构与解题策略精讲 看懂一道题和会做一道题之间，隔着“方法”两个字。下面五道例题分别对应本单元的五个核心考点，每一道都按“读题—分析—规范解答—方法点拨”四步展开。请同学们先用纸遮住解答自己做一遍，再对照讲解，重点看自己是在哪一步卡住的。 【例1】半径直径关系与圆的认识　 李伯伯家院子里新建了一个圆形鱼池，量得鱼池的直径是8米。请你求出这个鱼池的半径，并说一说这个圆一共有多少条对称轴，理由是什么。 分析　直径与半径的关系是d＝2r，反过来就是r＝d÷2，已知直径求半径要用除法。关于对称轴：圆沿着任何一条直径对折，两边都能完全重合，所以每一条直径所在的直线都是圆的一条对称轴；因为圆上有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。 规范解答　 直径与半径的关系：d＝2r，也就是r＝d÷2 代入数据：8÷2＝4（米） 圆沿任何一条直径对折都能完全重合，而圆有无数条直径，所以圆的对称轴有无数条 答：这个鱼池的半径是4米；这个圆一共有无数条对称轴，因为每一条直径所在的直线都是圆的一条对称轴，圆的直径又有无数条。 方法点拨　已知直径求半径，或已知半径求直径，都是最基础但极易搞混的一步，记住“直径永远是半径的2倍”这句话，写出等量关系式d＝2r，再决定该乘2还是该除以2。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，这两点也一定要分清楚。 【例2】周长计算与逆向——已知周长求直径　 小区广场上有一个圆形喷泉，喷泉的半径是5米。（1）沿着喷泉边缘装一圈护栏，护栏大约要多长？（2）广场另一侧还有一个圆形花坛，量得它的周长是37.68米，这个花坛的直径是多少米？ 分析　第（1）问是已知半径求周长，用C＝2πr；第（2）问正好是第（1）问的反过来——已知周长求直径，要用除法d＝C÷π，而不是继续乘π。 规范解答　 （1）C＝2πr＝2×3.14×5＝31.4（米） （2）已知周长求直径，用d＝C÷π 37.68÷3.14＝12（米） 答：（1）护栏大约要31.4米；（2）这个花坛的直径是12米。 方法点拨　半径求周长用C＝2πr（或先算出直径再用C＝πd）；已知周长反过来求直径，要做除法d＝C÷π，千万别把“除”看成“乘”——正算是用乘法把“圆的大小”展开成周长，反算是用除法把周长“收回”成直径，方向刚好相反。 【例3】面积计算——r²＝r×r的规范书写　 学校劳动基地新开辟了一块圆形花圃，量得花圃的半径是6米。这块花圃的面积是多少平方米？ 分析　面积公式S＝πr²，这里的r²表示r×r，不是r×2。规范的做法是先单独算出r×r这一步，再乘π，这样不容易把“平方”和“乘2”弄混。 规范解答　 S＝πr²＝π×（r×r） 先算r×r：6×6＝36 再算3.14×36＝113.04（平方米） 答：这块花圃的面积是113.04平方米。 方法点拨　r²读作“r的平方”，意思是r×r（这个数自己乘自己），千万不能理解成r×2。写脱式的时候，建议先单独算出r×r这一步再乘π，步骤清楚，也不容易出错。 【例4】环形面积——外圆减内圆　 一个圆形花坛的直径是10米，花坛外围环绕着一条宽2米的环形小路。这条小路的面积是多少平方米？ 分析　环形面积＝大圆（外圆）面积－小圆（内圆）面积。花坛本身是内圆，半径＝10÷2＝5米；小路的外边缘是外圆，外圆半径＝内圆半径＋小路宽度＝5＋2＝7米。 规范解答　 内圆（花坛）半径：10÷2＝5（米） 外圆半径：5＋2＝7（米） 外圆面积：3.14×7×7＝153.86（平方米） 内圆面积：3.14×5×5＝78.5（平方米） 环形小路面积：153.86－78.5＝75.36（平方米） 答：这条环形小路的面积是75.36平方米。 方法点拨　环形面积＝外圆面积－内圆面积＝π×外半径²－π×内半径²，一定要先分别把外、内半径平方，再乘π，最后才相减；不能把两个半径先相减再乘π，那样算出来的不是面积。 【例5】外方内圆——组合图形面积　 一块正方形木板，边长是8米，工人师傅要在木板正中间裁出一个最大的圆（圆的直径正好等于正方形的边长）。裁去圆之后，剩下的木板面积是多少平方米？ 分析　正方形边长8米，面积是8×8；圆的直径等于正方形边长8米，半径＝8÷2＝4米，圆面积是π×4×4；剩下的面积＝正方形面积－圆面积。 规范解答　 正方形面积：8×8＝64（平方米） 圆的半径：8÷2＝4（米） 圆的面积：3.14×4×4＝50.24（平方米） 剩下的木板面积：64－50.24＝13.76（平方米） 答：剩下的木板面积是13.76平方米。 方法点拨　“外方内圆”问题里，正方形的边长等于圆的直径，不是等于半径，一定要先除以2求出半径，再代入面积公式；剩下的部分＝正方形面积－圆面积，方向不要搞反——正方形一定比里面裁出的圆大。 　第三部分　易错避坑指南 下面这五个坑，是同学们在圆这个单元里反复踩到的。请特别注意：每一条的第一段都是错误的做法，特意写出来是为了让大家看清楚它错在哪里，千万不要照着记。读完以后，建议把自己曾经犯过的那一条抄进错题本，并重做一遍对应的题目。 误区一　把半径直接当直径用，求周长时漏乘2 错误示例　计算半径是4米的圆的周长时，有同学直接算3.14×4＝12.56（米），把周长的算法用成了“π乘半径”。 错在哪里　周长公式是C＝πd或C＝2πr，直径是半径的2倍，如果不先把半径乘2变成直径，而是直接拿半径去乘π，得数就只有正确答案的一半。 正确做法　先把半径4米乘2得到直径8米，再用C＝πd＝3.14×8＝25.12（米）；或者直接用C＝2πr＝2×3.14×4＝25.12（米），两种算法结果一致。 误区二　把r²算成r×2，而不是r×r 错误示例　计算半径是5米的圆的面积时，有同学把r²算成了r×2，算成3.14×（5×2）＝3.14×10＝31.4（平方米）。 错在哪里　r²表示r×r（两个r相乘，即这个数自己乘自己），不是r×2（r的2倍），这是两种完全不同的运算——右上角的小“2”是指“自己乘自己”，不是“乘以2”。 正确做法　S＝πr²＝π×（r×r）＝3.14×（5×5）＝3.14×25＝78.5（平方米）。 误区三　求环形面积时把半径先相减再乘π 错误示例　一个圆环，外圆半径是6米，内圆半径是4米，有同学算成3.14×（6－4）＝3.14×2＝6.28（平方米）。 错在哪里　环形面积要先分别算出外圆面积和内圆面积，再相减，也就是π×外半径²－π×内半径²，不能把两个半径直接相减以后再乘π——面积是“平方”这个量，不能只对半径做一次减法就当成面积差。 正确做法　外圆面积：3.14×6×6＝113.04（平方米）；内圆面积：3.14×4×4＝50.24（平方米）；环形面积：113.04－50.24＝62.8（平方米）。 误区四　已知周长反求直径时，方向搞反用了乘法 错误示例　一个圆的周长是18.84米，有同学要求它的直径，却算成18.84×3.14＝59.1576（米）。 错在哪里　已知周长求直径，用的是除法d＝C÷π，而不是乘法——周长本身就是直径的π倍，要从周长“倒推”回直径，应该做除法，而不是继续乘π，方向搞反了，得数会离谱地偏大。 正确做法　d＝C÷π＝18.84÷3.14＝6（米）。 误区五　“外方内圆”看反半径与直径的关系 错误示例　正方形地砖的边长是6米，中间画一个最大的圆（圆的直径正好等于正方形的边长）。有同学求这个圆的面积时，把边长6米直接当成半径代入公式，算成3.14×6×6＝113.04（平方米）。 错在哪里　“外方内圆”中，圆的直径才等于正方形的边长，不是半径等于边长——半径应该是边长的一半。把边长直接当成半径代入，算出的圆比正方形本身还要大，这明显不合理，因为圆是画在正方形里面的，不可能比正方形还大。 正确做法　先算出正方形的面积：6×6＝36（平方米）；再求圆的半径：6÷2＝3（米）；圆的面积：3.14×3×3＝28.26（平方米）；28.26平方米小于36平方米，才符合“圆画在正方形里面”的实际情况。 回头看这五个坑就会发现，它们几乎都出在同一个地方——半径与直径的换算，以及r²到底是“自己乘自己”还是“乘以2”。计算的每一步都对，只要这两处判断错了，整道题就作废。所以做完圆这一单元的题以后，请养成一个习惯：回头检查一下自己用的到底是半径还是直径、平方是不是算成了r×r。下面进入分层练习，请带着这五条提醒去做题。 　第四部分　分层进阶专题精练 下面的练习分成两个层次。“能力进阶篇”紧扣课本的知识点，难度与单元测试相当，用来检查基础是否扎实；“思维拓展篇”需要两步以上的推理，考察的是把几种方法组合起来用的能力。全部题目的详细解析都在第五部分，请一定先独立完成，再对照解析订正。 　一、能力进阶篇（★★★） 本篇共8题，建议用时25分钟。请把每一步的算式完整地写在题目下面的方框里，只写一个得数是拿不到满分的。 1．小区门口有一个圆形井盖，量得它的直径是70厘米。这个井盖的半径是多少厘米？井盖为什么大多做成圆形而不是方形？请用一句话说明理由。 解答： 2．一辆自行车车轮的直径是66厘米。这个车轮的周长是多少厘米？ 解答： 3．体育课上，一个呼啦圈的半径是35厘米。转动一圈，呼啦圈滚过的距离是多少厘米？ 解答： 4．王奶奶家有一块圆形菜地，半径是9米。这块菜地的面积是多少平方米？ 解答： 5．公园里一个圆形喷水池，直径是6米，喷水池外围有一圈宽1米的鹅卵石观赏道。这圈观赏道的面积是多少平方米？ 解答： 6．下面的说法正确吗？正确的在括号里画“√”，错误的画“×”，并简单说明理由。 （1）圆的半径扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍。（　） （2）圆周率π是一个固定不变的数，我们在计算时通常取它的近似值3.14。（　） （3）在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。（　） 解答： 7．小刚用卷尺绕一棵大树的树干量了一圈，量得周长是94.2厘米。这棵树的树干（近似看成圆）的半径是多少厘米？ 解答： 8．一个圆形花坛的半径是4米，沿着一条直径修了一条小路，把花坛分成了两个完全相同的半圆形花池。其中一个半圆形花池的面积是多少平方米？ 解答： 　二、思维拓展篇（★★★★） 本篇共6题，建议用时30分钟。这些题目往往不能一眼看出答案，需要先想清楚数量之间的关系再动笔。遇到卡壳的时候，回头翻一翻第一部分的方法速查表。 9．小明测量了一个圆形杯垫，量得它的半径是2.5厘米。如果换成一个半径是5厘米的大杯垫（半径扩大到原来的2倍），大杯垫的周长是小杯垫周长的多少倍？大杯垫的面积又是小杯垫面积的多少倍？请你先分别算出两个杯垫的周长和面积，再比较，最后写出你发现的规律。 解答： 10．学校种植园的一块地，形状是中间一个长方形、两端各接一个半圆（像跑道的形状）。长方形部分长12米、宽8米，两端半圆的直径都等于长方形的宽。给这块地围一圈篱笆，需要多长的篱笆？ 解答： 11．工地上把3根完全相同的圆柱形水管紧紧捆在一起（横截面是三根管子两两相切摆放），每根水管的直径都是20厘米。如果在外面紧贴着捆一圈铁丝（接头处忽略不计），这圈铁丝至少要多长？ 解答： 12．学校环形跑道的最内圈由两条长80米的直道和两个半圆形弯道组成，内圈半圆的直径是40米。第二圈跑道比第一圈（内圈）的半径多1米。李老师沿第二圈跑道跑一整圈，比沿第一圈跑道多跑多少米？ 解答： 13．小丽用两张同样大小的半圆形彩纸（半径都是3.5厘米）拼成了一个完整的圆形，贴在教室的黑板报上。这个圆形彩纸的面积是多少平方厘米？ 解答： 14．有一个圆形晒谷场，占地面积是200.96平方米。这个晒谷场的半径是多少米？（先求出r²，再想一想哪个整数的平方等于这个数） 解答： 　第五部分　精准解析 下面是全部14道练习的详细解析。请注意，解析里给出的不只是答案，更重要的是每一步为什么这样想。如果你的答案是对的，也建议对照看看有没有更简洁的思路；如果答错了，请找出自己是在哪一步转错了弯，把那一步单独重做一遍，比整题抄一遍有用得多。 第1题　直径求半径与圆形井盖的道理 已知直径求半径，用r＝d÷2：70÷2＝35（厘米）。 井盖大多做成圆形，是因为同一个圆的所有直径都相等，圆形井盖不管怎么转动放置，都不会因为翻转而掉进比它稍小的井口里；如果井盖是方形的，沿对角线方向就可能掉下去。 答：这个井盖的半径是35厘米；井盖做成圆形是因为同一个圆所有直径都相等，不管怎么放都不会掉进井里。 第2题　已知直径求周长 已知直径，直接用C＝πd：3.14×66＝207.24（厘米）。 答：这个车轮的周长是207.24厘米。 第3题　已知半径求周长 已知半径，用C＝2πr：2×3.14×35＝219.8（厘米）。 答：呼啦圈滚过的距离是219.8厘米。 第4题　已知半径求面积 先算r×r：9×9＝81。 再乘π：3.14×81＝254.34（平方米）。 答：这块菜地的面积是254.34平方米。 第5题　环形面积 内圆（喷水池）半径：6÷2＝3（米）。 外圆（观赏道外边缘）半径：3＋1＝4（米）。 外圆面积：3.14×4×4＝50.24（平方米）；内圆面积：3.14×3×3＝28.26（平方米）。 观赏道面积：50.24－28.26＝21.98（平方米）。 答：这圈观赏道的面积是21.98平方米。 第6题　判断说法对错 （1）半径扩大到原来的2倍，周长确实扩大到原来的2倍，但面积是πr²，r要自乘一次，所以面积应扩大到原来的2×2＝4倍，不是2倍，这个说法是错误的。 （2）圆周率π是一个固定不变的无限不循环小数，实际计算时通常取近似值3.14，这个说法是正确的。 （3）同一个圆里，所有半径长度都相等，所有直径长度也都相等，这个说法是正确的。 答：（1）×；（2）√；（3）√。 第7题　已知周长求半径 已知周长求半径，要先除以π得直径，再除以2得半径，也可以合并成一步除以2π：2×3.14＝6.28。 94.2÷6.28＝15（厘米）。 答：这棵树树干的半径是15厘米。 第8题　半圆面积 先算整圆的面积：3.14×4×4＝50.24（平方米）。 半圆面积是整圆面积的一半：50.24÷2＝25.12（平方米）。 答：其中一个半圆形花池的面积是25.12平方米。 第9题　周长比与面积比的规律 小杯垫周长：2×3.14×2.5＝15.7（厘米）；大杯垫周长：2×3.14×5＝31.4（厘米）。 31.4÷15.7＝2，大杯垫周长是小杯垫周长的2倍。 小杯垫面积：3.14×2.5×2.5＝19.625（平方厘米）；大杯垫面积：3.14×5×5＝78.5（平方厘米）。 78.5÷19.625＝4，大杯垫面积是小杯垫面积的4倍。 发现的规律：半径扩大到原来的n倍，周长也扩大到原来的n倍，面积却扩大到原来的n×n（即n²）倍。 答：大杯垫周长是小杯垫的2倍，面积是小杯垫的4倍。 第10题　半圆＋直线的组合图形周长 长方形的两条长边照原样保留：2×12＝24（米）。 两端的两个半圆（直径都是8米）合起来正好是一个整圆，周长：3.14×8＝25.12（米）。 篱笆总长：24＋25.12＝49.12（米）。 答：需要49.12米长的篱笆。 第11题　管道捆扎问题 3根水管两两相切摆成三角形，铁丝的直线部分共有3段，每段长度都等于水管的直径：3×20＝60（厘米）。 铁丝绕过每根水管的一段弧，三段弧合起来正好是一个整圆的周长（这是三根等圆捆扎的经典结论）：3.14×20＝62.8（厘米）。 铁丝总长：60＋62.8＝122.8（厘米）。 答：这圈铁丝至少要122.8厘米。 第12题　跑道弯道问题 两条跑道的直道部分长度相同（都是80米），可以互相抵消，不用比较。 两条跑道两端的弯道，合起来分别正好是一个整圆，周长的差只与半径的差有关：周长差＝2π×半径差。 2×3.14×1＝6.28（米）。 答：李老师沿第二圈跑道跑一整圈，比沿第一圈跑道多跑6.28米。 第13题　半圆拼成整圆的等积变形 两张半径3.5厘米的半圆形彩纸拼成一个完整的圆，不用分别算两次半圆再相加，直接按整圆的面积公式计算即可。 先算r×r：3.5×3.5＝12.25。 再乘π：3.14×12.25＝38.465（平方厘米）。 答：这个圆形彩纸的面积是38.465平方厘米。 第14题　已知面积反推半径 由S＝πr²，先求出r²：200.96÷3.14＝64。 再想哪个整数自己乘自己等于64：8×8＝64，所以r＝8。 答：这个晒谷场的半径是8米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $