第16讲 三角函数的概念及同角公式诱导公式（8个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数概念、弧度制、同角公式及诱导公式等核心考点，按“概念-公式-应用”逻辑层次构建知识体系，通过教材基础梳理、核心题型归纳、方法技巧提炼、真题例题讲解及巩固练习等环节，帮助学生系统突破三角基础难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“题型化分层突破”策略，每个题型整合核心知识与解题方法，如诱导公式通过“奇变偶不变”口诀结合角变换训练培养推理意识，同角公式“知一求一”强调象限符号判断发展逻辑思维，配套基础巩固与综合检测分层练习，有效提升学生应试能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第16讲 三角函数的概念及同角公式诱导公式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材基础知识】 1．角的概念的推广 （1）定义：平面内__一条射线______绕着它的___端点_____按箭头所示方向__旋转______到终止位置，形成角．其中点是角的顶点，射线是角的___始边_____，射线是角的____终边____． （2）按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． （3）按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． （4）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合． 2．弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于__半径长____的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示． （2）公式 角α的弧度数公式 （弧长为l，半径为r） 角度与弧度的换算 ；______ 弧长公式 ______ 扇形面积公式 ______=______ 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 叫做的正弦，记作 叫做的余弦，记作 叫做的正切，记作 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线   有向线段_ ____为正弦线   有向线段______为余弦线   有向线段_____为正切线 4．同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 5．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 ____ ____ ____ _____ ____ 余弦 ____ ____ ____ ____ _____ 正切 ____ ____ 口诀 奇变偶不变，符号看象限 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 角的概念及其表示 核心知识 1.任意角定义 正角逆时针旋转形成 负角顺时针旋转形成 零角不发生旋转 2.象限角 角的顶点在原点始边与x轴正半轴重合终边落在第几象限就称为第几象限角 终边落在坐标轴上的角不属于任何象限称为轴线角 3.终边相同的角 所有与角终边相同的角构成集合 4.区间角、区域角可用不等式表示角的范围 方法技巧 1.判断象限角先把角写成使再看所在象限 2.终边相同角集合书写注意不能省略 3.区分“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”三者范围 4.区域角书写规范注意边界能否取等号 【经典例题1】（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 【经典例题2】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 【巩固练习1】（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又 是第三象限角， 的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为______. （2）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是__________，角的终边所在位置是______. 【答案】 ，， 第二象限 第一、二象限及y轴的非负半轴 【详解】（1）由题意得，∴. 令，则，， ∴，即在内终边与相同的角为，，. （2）由是第三象限的角，得，， ∴，∴角的终边在第二象限. 由，得， ∴角的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴. 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 【答案】或 【分析】根据题意得出，可得出的表达式，结合的范围可得出的值，即可得出的值. 【详解】依题意，可知角与角终边相同，故，所以， 又因为，即，可得， 因为，故或， 当时，；当时，. 故或. 故答案为：或. 【题型2】 角的弧度制及扇形的周长面积公式 核心知识 1.角度与弧度换算 2.扇形基础公式（为圆心角弧度数半径弧长） 弧长公式 扇形周长 扇形面积 方法技巧 1.计算扇形相关题目圆心角统一换成弧度制再代入公式 2.看清题干求弧长还是扇形周长不要遗漏两条半径 3.已知周长求面积最值常转化为二次函数求最值 4.角度制和弧度制不可混用在同一个式子中 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由侧面积比得半径比，由侧面展开图圆心角之和及弧长公式得母线长等于两半径之和，联立解得半径，结合勾股定理求高，代入体积公式求比. 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 【经典例题2】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式及题意得，解得， 由圆心角公式得圆心角大小为. 故选：A. 【巩固练习1】（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 【答案】 【分析】利用弧长公式求出的长，利用扇形面积公式求出大、小扇形面积，最后作差求出扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. 【巩固练习2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算求解. 【详解】设圆心角为，所以，所以3 故选：C. 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 【答案】6或 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 【题型3】 任意角三角函数的定义 核心知识 设角终边上任一点 方法技巧 1.已知终边上点坐标直接套用定义计算三角函数值 2.终边过定点含参数时注意参数正负对x,y符号的影响 3.单位圆定义（）简化计算 4.已知三角函数值反推终边上点坐标可设为正数快速赋值 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知角终边上，  且，则的值为_____． 【答案】2或0 【分析】首先根据正切函数的定义，求，再将关于的齐次分式转化为正切表示，最后代入求值. 【详解】由于，故，解得. 当时， ， 当 ， 【经典例题2】（2026高一上·广东中山·专题练习）已知角α的终边经过点，则_____ 【答案】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角正弦的定义可得. 【详解】由题可知，， 所以，解得. 故选：C. 【巩固练习3】（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则________. 【答案】 【分析】利用单位圆求出的坐标，利用正切函数的定义可求答案. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第二象限的点，所以， 解得，因为在第二象限，所以， 所以. 故答案为： 【题型4】 三角函数在各象限的符号 核心知识 依据定义 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 口诀一全正二正弦三正切四余弦 方法技巧 1.由三角函数正负判断角所在象限存在两种象限的情况要分类讨论 2.多个三角函数符号条件联立取象限交集 3.轴线角单独检验轴线角三角函数值存在0或不存在的情况 4.由角的范围快速判断x,y正负得到三角函数符号 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角 【经典例题2】（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】若，则为第一象限、第二象限角或终边在轴正半轴上； 若为第二象限角，则， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件． 【巩固练习1】（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【巩固练习2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据角α的象限确定三角函数值的符号，即得点所在的象限. 【详解】因角α为第四象限角，则， 故点在第三象限. 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 【题型5】 同角三角函数的平方关系 核心知识 1. 2.变形公式 方法技巧 1.知一求一题型利用平方关系开方符号由角所在象限决定 2.齐次式求值常用进行代换 3.化简根号下三角函数式子开根号先写成完全平方形式 4.遇到相关式子平方后建立与的联系 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且，求的值． 【答案】 【详解】由，得， 将其代入，得， ∴，由于为三角形内角，故，又，故， ∴，，故． 【经典例题2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系，结合角的范围，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 【巩固练习1】（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. 【巩固练习2】（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角的三角函数关系计算，即可得答案； （2）将化为，利用齐次式法求值，即得答案. 【详解】（1）在第二象限，结合， ，则. （2）因为，显然，所以， 所以 . 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，且是第二象限角. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1). (2)9 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系计算可得. （2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）由，，即，解得. 因为是第二象限角，所以. 因为，所以. （2）. 【题型6】 同角三角函数中“和差积”的关系 核心知识 三者知其一可以求出另外两个 方法技巧 1.核心思路平方实现和差与乘积互相转化 2.开方时必须结合角范围判断正负 3.已知求优先判断正负避免增根 4.分式化简、求值题目常结合齐次式一起使用 【经典例题1】（2026·山东日照·模拟预测）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求出，联立求出，，即可求出的值. 【详解】解：因为①，则， 所以，则，所以，，， 又，所以②， 联立①②，解得，， 所以. 【经典例题2】（2026·海南海口·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方关系求得，然后由二倍角公式计算. 【详解】因为，所以，， 又 ， 所以， 所以， 又 . 【巩固练习1】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 【巩固练习2】（2026·河南·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，即， 所以，故，即， 可知，得， 所以，解得，， 故． 【巩固练习3】（2026·陕西西安·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． 因为，，所以，， 所以，又， 所以，故． 【题型7】 诱导公式中的角的变换 核心知识 诱导公式口诀奇变偶不变符号看象限 1.“偶不变”中为偶数函数名不变 2.“奇变”中为奇数函数名正弦↔余弦 3.符号看象限把看作锐角判断原角所在象限确定原式三角函数正负 方法技巧 1.任意角化简步骤负角→正角→内的角→锐角三角函数 2.角变换优先统一形式形如、、熟练转化 3.多组诱导公式连续使用时分步变换不要一步跳步出错 4.出现与、与这类互补互余角优先使用诱导公式 【经典例题1】（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以. 【经典例题2】（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过角的变形将未知角转化为已知角，利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以． 【巩固练习1】（2026·宁夏银川·一模）已知，则__________． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 因为， 所以. 【巩固练习2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 【巩固练习3】．（2026·四川雅安·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关系结合诱导公式及条件求结论. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【题型8】 同角公式与诱导公式的综合计算 核心知识 综合运用诱导公式完成角化简再利用同角平方关系、和差积关系进行求值化简 方法技巧 1.解题顺序先用诱导公式化简角再用同角公式求值 2.已知条件带角度先把角度统一转化为锐角三角函数 3.条件给出一个三角函数值求其余三角函数先判断角范围确定符号 4.化简求值大题先化简再代入数值减少计算量 5.遇到复杂嵌套角度分层使用诱导公式逐步拆解 【经典例题1】（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为_____. 【答案】 【分析】化简，结合诱导公式，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 可得 . 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江·开学考试）（1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意利用诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果. （2）由同角三角函数关系及倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）因为，是第一象限角， 易得， 所以. 【巩固练习2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点.求的值. 【答案】 【分析】运用三角函数的定义求得，再利用诱导公式及弦化切的知识对原式进行化简，即可得解. 【详解】根据任意角三角函数的定义可得， 所以. 所以的值为. 【巩固练习3】（2025高一上·湖北武汉·专题练习）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求解. （3）利用已知求得，，结合诱导公式化简表达式，进而计算可求解. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. （3）因为为角终边上一点，所以， 所以，. ， 原式. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可得. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 3．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得， 所以，该扇形圆心角的弧度数为. 4．（25-26高一下·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一个扇形的圆心角为， 所以这个圆心角的弧度数为. 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察所求角与已知角的数量关系，利用三角函数诱导公式转化求解. 【详解】已知，则，故B正确. 6．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，得到， 所以. 7．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的半径为2，弧长为， 所以扇形的面积为. 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，结合扇形的弧长、面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（）， 由题意可得方程组： ，解得，， 因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确. 10．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 11．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 12．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则点在第二象限，α是第二象限角，A选项错误； 因为，即， 所以，B选项错误,C选项错误； ，D选项正确. 13．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 【答案】D 【分析】结合任意角的概念、象限角的范围、终边相同的角的表示以及扇形的面积和弧长公式逐一验证各选项． 【详解】对于A，规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角， 时钟时针为顺时针旋转，每小时转过的角度为， 4小时转过的角度为，故A错误； 对于B，若为第二象限角，则， 所以，则是第一或第三象限角，故B错误； 对于C，终边落在直线上的角满足，故C错误； 对于D，若圆心角为的扇形的面积为， 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则， 由，故D正确． 二、多选题 14．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 三、填空题 15．（25-26高一下·辽宁·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则_________. 【答案】 【详解】由题可得， ， 而. 16．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 【答案】1 【详解】. 17．（2026高三·全国·专题练习）阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 【答案】③ 【详解】命题①，点，，半径，则 ，当时，； 当时，，结果不唯一，故①错误； 命题②，满足的角为， 有无穷多个角，故②错误； 命题③，已知，且，即落在第三象限，， 由，可得，代入得， 位于第三象限取负值，则，故③正确； 命题④，，而，故，恒成立； 原式，等价于， 需满足，即， 则在一、四象限，故④错误． 18．（2026高二下·全国·竞赛）两个圆锥，的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为．设，的侧面积分别为，，体积分别为，.若，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积公式，及侧面展开图的圆心角公式，从而得到两圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式即可求出比值． 【详解】依题意，不妨设圆锥的底面半径为，高为， 圆锥底面半径为，高为，两者母线长为， 则，，又，则， 又侧面展开图的圆心角之和为， 则，得， 则，， 所以． 四、解答题 19．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义依次求解即可； （2）根据诱导公式化简，再将（1）的结论代入计算即得. 【详解】（1）由点得，，. 则，，； （2）原式. 将代入，可得原式=. 20．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义，结合诱导公式即可求解； （2）由三角函数的定义，结合诱导公式即可求解. 【详解】（1）由得， 则，，. 又， ， . （2）， ，， . 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第16讲 三角函数的概念及同角公式诱导公式 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材基础知识】 1．角的概念的推广 （1）定义：平面内__一条射线______绕着它的___端点_____按箭头所示方向__旋转______到终止位置，形成角．其中点是角的顶点，射线是角的___始边_____，射线是角的____终边____． （2）按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． （3）按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． （4）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合． 2．弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于__半径长____的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示． （2）公式 角α的弧度数公式 （弧长为l，半径为r） 角度与弧度的换算 ；______ 弧长公式 ______ 扇形面积公式 ______=______ 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 叫做的正弦，记作 叫做的余弦，记作 叫做的正切，记作 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三 角 函 数 线   有向线段_ ____为正弦线   有向线段______为余弦线   有向线段_____为正切线 4．同角三角函数基本关系式的变形 （1）． （2） 5．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 ____ ____ ____ _____ ____ 余弦 ____ ____ ____ ____ _____ 正切 ____ ____ 口诀 奇变偶不变，符号看象限 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 角的概念及其表示 核心知识 1.任意角定义 正角逆时针旋转形成 负角顺时针旋转形成 零角不发生旋转 2.象限角 角的顶点在原点始边与x轴正半轴重合终边落在第几象限就称为第几象限角 终边落在坐标轴上的角不属于任何象限称为轴线角 3.终边相同的角 所有与角终边相同的角构成集合 4.区间角、区域角可用不等式表示角的范围 方法技巧 1.判断象限角先把角写成使再看所在象限 2.终边相同角集合书写注意不能省略 3.区分“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”三者范围 4.区域角书写规范注意边界能否取等号 【经典例题1】（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【经典例题2】（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【巩固练习1】（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若角的终边与角的终边相同，则在内终边与角的终边相同的角为______. （2）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是__________，角的终边所在位置是______. 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知为小于的正角，这个角的倍与角的终边关于轴对称，那么______． 【题型2】 角的弧度制及扇形的周长面积公式 核心知识 1.角度与弧度换算 2.扇形基础公式（为圆心角弧度数半径弧长） 弧长公式 扇形周长 扇形面积 方法技巧 1.计算扇形相关题目圆心角统一换成弧度制再代入公式 2.看清题干求弧长还是扇形周长不要遗漏两条半径 3.已知周长求面积最值常转化为二次函数求最值 4.角度制和弧度制不可混用在同一个式子中 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 【巩固练习1】（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 【巩固练习2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（    ） A．1 B． C．3 D．6 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 【题型3】 任意角三角函数的定义 核心知识 设角终边上任一点 方法技巧 1.已知终边上点坐标直接套用定义计算三角函数值 2.终边过定点含参数时注意参数正负对x,y符号的影响 3.单位圆定义（）简化计算 4.已知三角函数值反推终边上点坐标可设为正数快速赋值 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知角终边上，  且，则的值为_____． 【经典例题2】（2026高一上·广东中山·专题练习）已知角α的终边经过点，则_____ 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则________. 【题型4】 三角函数在各象限的符号 核心知识 依据定义 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 口诀一全正二正弦三正切四余弦 方法技巧 1.由三角函数正负判断角所在象限存在两种象限的情况要分类讨论 2.多个三角函数符号条件联立取象限交集 3.轴线角单独检验轴线角三角函数值存在0或不存在的情况 4.由角的范围快速判断x,y正负得到三角函数符号 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【经典例题2】（2026·湖南·模拟预测）“”是“为第二象限角”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习1】（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知角α为第四象限角， 则在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【题型5】 同角三角函数的平方关系 核心知识 1. 2.变形公式 方法技巧 1.知一求一题型利用平方关系开方符号由角所在象限决定 2.齐次式求值常用进行代换 3.化简根号下三角函数式子开根号先写成完全平方形式 4.遇到相关式子平方后建立与的联系 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且，求的值． 【经典例题2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知，且是第二象限角. (1)求与的值； (2)求的值. 【题型6】 同角三角函数中“和差积”的关系 核心知识 三者知其一可以求出另外两个 方法技巧 1.核心思路平方实现和差与乘积互相转化 2.开方时必须结合角范围判断正负 3.已知求优先判断正负避免增根 4.分式化简、求值题目常结合齐次式一起使用 【经典例题1】（2026·山东日照·模拟预测）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·海南海口·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【巩固练习2】（2026·河南·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·陕西西安·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】 诱导公式中的角的变换 核心知识 诱导公式口诀奇变偶不变符号看象限 1.“偶不变”中为偶数函数名不变 2.“奇变”中为奇数函数名正弦↔余弦 3.符号看象限把看作锐角判断原角所在象限确定原式三角函数正负 方法技巧 1.任意角化简步骤负角→正角→内的角→锐角三角函数 2.角变换优先统一形式形如、、熟练转化 3.多组诱导公式连续使用时分步变换不要一步跳步出错 4.出现与、与这类互补互余角优先使用诱导公式 【经典例题1】（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则________. 【经典例题2】（25-26高一下·云南曲靖·阶段检测）已知，且，则的值为（       ） A．0 B． C． D． 【巩固练习1】（2026·宁夏银川·一模）已知，则__________． 【巩固练习2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】．（2026·四川雅安·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8】 同角公式与诱导公式的综合计算 核心知识 综合运用诱导公式完成角化简再利用同角平方关系、和差积关系进行求值化简 方法技巧 1.解题顺序先用诱导公式化简角再用同角公式求值 2.已知条件带角度先把角度统一转化为锐角三角函数 3.条件给出一个三角函数值求其余三角函数先判断角范围确定符号 4.化简求值大题先化简再代入数值减少计算量 5.遇到复杂嵌套角度分层使用诱导公式逐步拆解 【经典例题1】（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为_____. 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江·开学考试）（1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 【巩固练习2】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点.求的值. 【巩固练习3】（2025高一上·湖北武汉·专题练习）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高一下·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．α是第一象限角 B．角与α的终边相同 C． D． 13．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 B．若是第二象限角，则也是第二象限角 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 二、多选题 14．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（25-26高一下·辽宁·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则_________. 16．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）化简：__________. 17．（2026高三·全国·专题练习）阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 18．（2026高二下·全国·竞赛）两个圆锥，的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为．设，的侧面积分别为，，体积分别为，.若，则的值为__________． 四、解答题 19．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值． 20．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $