专题30.3 正多边形与圆（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦正多边形与圆的核心知识，系统梳理从基础概念（定义、关键元素）到角度计算公式、核心直角三角形模型，再到周长面积、作图、对称性等知识点，构建层层递进的学习支架，助力学生夯实基础并关联应用。 资料以核心直角三角形模型为计算重点，通过题型变式训练提升推理能力，结合探究式学习与课后检测培养应用意识，课中辅助教师高效授课，课后复盘笔记帮助学生查漏补缺，深化对知识的理解与运用。

简一数理 初中专题讲义 专题30.3 正多边形与圆 （新教材人教版） 知识点一、基础概念考点 2 知识点二、必考角度计算公式 3 知识点三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 3 知识点四、周长与面积公式 5 知识点五、正多边形与圆的作图考点 5 知识点六、对称性高频考点 5 知识点七、易混易错点总结 5 知识点八、中考常用二级结论 6 【题型1 求正多边形的中心角】 6 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 8 【题型3 正多边形与圆的综合】 10 【题型4 尺规作图---正多边形】 13 【题型5 正多边形边长、边心距、半径计算】 17 【题型6 正多边形的周长与面积计算】 21 【题型7 正多边形角度综合计算（内角/外角/中心角）】 23 【探究式学习】 27 【课后检测】 33 【复盘笔记】 47 知识点一、基础概念考点 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 知识点二、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 知识点三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， 知识点四、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 知识点五、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 知识点六、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 知识点七、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 知识点八、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 【题型1 求正多边形的中心角】 【例1】如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 【变式1-2】正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 【答案】C 【分析】根据正多边形中心角、内角、边心距、半径的定义并结合边长为2逐项判断即可． 【详解】解：A．∵ 正边形中心角和为，正六边形， ∴中心角为，故选项A正确； B．∵ 边形内角和为，正六边形， ∴ 内角和为，每个内角为，故选项B正确； C、D．∵ 正六边形的外接圆半径等于边长，已知边长为， ∴ 正六边形半径为，故选项D结论正确； ∵ 边心距是正六边形中心到边的距离，边长一半为，半径为，由勾股定理得：边心距， 故选项C错误，符合题意． 【变式1-3】如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 【例2】如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【变式2-1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式2-2】如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 【变式2-3】如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 【题型3 正多边形与圆的综合】 【例3】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 【变式3-1】如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【变式3-3】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【题型4 尺规作图---正多边形】 【例4】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-1】作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 【变式4-3】用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】略 【题型5 正多边形边长、边心距、半径计算】 【例5】如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 【变式5-1】如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 【变式5-2】已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（    ） A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为，通过分析弦对应的圆心角与已知角的关系，分情况计算正多边形的边数． 【详解】解：设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为， 当角的顶点在圆上时，如图， ∵， ∴圆的内接正多边形每个内角的度数为， ∴， ∴； 当角的顶点在圆外时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，正多边形的边数为或． 故选：C． 【变式5-3】如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，连接，根据圆的周长求出半径，得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，连接， 由圆的周长得，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴该正六边形的高为， 故选：D． 【题型6 正多边形的周长与面积计算】 【例6】如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方形边长，正六边形的边长，圆的半径三者相等，，，则，再根据扇形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形与圆的综合是关键． 连接，则，是等边三角形，由此得到，，由圆的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴正六边形内切圆的面积为， 故选：B ． 【变式6-2】如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴扇形的面积是， 故选：C． 【变式6-3】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，设圆的半径为，分别求出正三角形，正方形的边长，进而求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设等圆和的半径为，如图，作于点C，连接，连接， ∵正三角形和正方形分别内接于等圆和， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【题型7 正多边形角度综合计算（内角/外角/中心角）】 【例7】如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图, 正八边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：B． 【变式7-1】如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，连接，根据正六边形的性质可得全等三角形，则可得到是等边三角形，则可推导出圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接，，． 六边形是正六边形， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 【变式7-2】如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正多边形和圆，圆周角定理等知识， 根据圆周角定理求出，，再根据三角形内角和定理即可求出答案 【详解】解：∵正八边形内接于， ∴，， ∴， 故选：C 【变式7-3】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形与圆综合，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边，根据该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，得到，利用勾股定理可推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可求出的度数，再求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设该正多边形的中心为点O，为该正多边形的一条边， 过点O作于C，连接， ∴， ∵该正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为， ∴正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正方形， ∴该正多边形的内角和为360度， 故选：B． 【探究式学习】 1.如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 2.已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 在上取点G，使，连接， 同理（1）可得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形三角形， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）连接、，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，进而在中，勾股定理，即可求解． （2）在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解； （3）由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解 【详解】（1）解：连接、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴ 在中， ∴ ∴的半径为 （2）略 （3）解：点A到的距离是或，理由如下： ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点是这两圆的交点， ①当点P在如图3①所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴A、P、D、B在以为直径的圆上， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，， ∴由（2）中的结论可得：， ∴， ∴； ②当点P在如图3②所示位置时， 连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：点A到的距离为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 【课后检测】 1.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解内切圆的面积，容易判断黑色部分的面积是内切圆的一半，从而求出黑色部分的面积． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴内切圆的直径为， ∴内切圆的面积为， 根据题意可知，黑色部分的面积是内切圆的一半， ∴黑色部分的面积为． 2.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 3．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 4．如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 5．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 6．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 7．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 8．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 9．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． 11．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 12．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，即可； （2）连接交于点G，作直线，即可．设直线分别与交于点M，N，结合正六边形的性质可得到，从而得到直线平分正六边形的面积，再结合圆的性质，可得直线平分的面积． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 14．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1) 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 15．在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② (3) 【分析】（1）证明，再根据同弧所对的圆周角相等可知即可求解； （2）①根据中垂线可知，再根据菱形的对角线是菱形的对称轴可知，即可求证；②过点作，过点作,根据三角函数，用来表示，进而构造等量关系化简即可； （3）以为圆心，为半径画圆，当为切点时，取得最小值． 【详解】（1）证明：连接， 在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴, ∵四边形是圆的内接四边形， ∴, ∵， ∴, 在和中， ∴, ∴， 在圆内， 则, 是等边三角形； （2）①证明：连接， 在等边三角形中，， ∴是边边上的中垂线， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； ②解：过点作垂足为点，过点作垂足为点， 在菱形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是边边上的中垂线， ∴, 以为圆心，为半径画圆， 当为切点时，取得最小值， ∴ 设， ∴，， ， ∴ ∴的最小值为． 【复盘笔记】 第 2 页 共 47 页 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题30.3 正多边形与圆 （新教材人教版） 知识点一、基础概念考点 2 知识点二、必考角度计算公式 3 知识点三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 3 知识点四、周长与面积公式 5 知识点五、正多边形与圆的作图考点 5 知识点六、对称性高频考点 5 知识点七、易混易错点总结 5 知识点八、中考常用二级结论 5 【题型1 求正多边形的中心角】 6 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 6 【题型3 正多边形与圆的综合】 7 【题型4 尺规作图---正多边形】 8 【题型5 正多边形边长、边心距、半径计算】 10 【题型6 正多边形的周长与面积计算】 10 【题型7 正多边形角度综合计算（内角/外角/中心角）】 11 【探究式学习】 13 【课后检测】 15 【复盘笔记】 20 知识点一、基础概念考点 1. 定义 · 正多边形：各边相等、各内角相等的多边形。 易错点：仅四边相等≠正方形（菱形内角不等）；仅四角相等≠正方形（矩形边长不等）。 · 正多边形的外接圆：经过正多边形所有顶点的圆，圆心叫中心，半径叫外接半径 R。 · 内切圆：与正多边形各边都相切的圆，半径叫边心距 r（中心到一边的垂直距离）。 2. 5 个关键元素 · 中心：外接圆圆心 · 半径 R：中心→顶点 · 边心距 r：中心→边（内切圆半径） · 中心角：相邻两条半径的夹角 · 边长 a：正多边形一条边 知识点二、必考角度计算公式 设边数为 n(n≥3，整数) （1） 中心角 （2） 正多边形内角： （3） 外角：（正多边形外角 = 中心角） （4） 内角 + 外角 =180 知识点三、核心直角三角形模型（计算重中之重） 过中心作一条边的垂线，连接两个相邻顶点，分割出全等直角三角形： 斜边 = 外接半径 R 一条直角边 = 边心距 r 另一条直角边 = （边长一半） 锐角 = 中心角 = 勾股定理恒成立： 常用特殊正多边形数值（直接背） · 正六边形（n=6） 中心角 = 60°，由 6 个等边三角形组成，， · 正方形（n=4） 中心角 = 90°，， · 正三角形（n=3） 中心角 = 120°，， 知识点四、周长与面积公式 (1) 周长： (2) 面积：正多边形可拆成 n 个全等等腰三角形 文字记忆：面积 =二分之一× 周长 × 边心距 知识点五、正多边形与圆的作图考点 (1) 等分圆周作正多边形 · 正六边形：圆规截取半径六等分圆周 · 正三角形：隔一个等分点连接正六边形顶点 · 正方形：作互相垂直两条直径，顺次连接端点 (2) 作图原理：相等圆心角对等弦，等分弧→等分弦→正多边形 知识点六、对称性高频考点 · 轴对称：正n边形有n条对称轴，每条过中心和一个顶点 / 一条边中点 · 中心对称：仅当n为偶数时，是中心对称图形，对称中心为外接圆圆心 例：正五边形无中心对称；正六、正方形有中心对称 知识点七、易混易错点总结 (1) 任意多边形都有外接圆 （×，这句话错误）；只有正多边形一定同时有外接圆、内切圆，且同心圆 (2) 各边相等多边形不一定是正多边形（菱形）；各角相等也不一定（矩形） (3) 中心角 = 外角，不等于内角 (4) 边心距是内切圆半径，永远小于外接半径 (5) 奇数边正多边形无中心对称 知识点八、中考常用二级结论 · 同圆内，边数越多：边长越小、边心距越大、面积越接近圆面积 · 正六边形内接于圆，边长等于圆半径 · 同一个正多边形，外接圆半径 R > 边心距 r 【题型1 求正多边形的中心角】 【例1】如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 【变式1-3】如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】 【例2】如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【变式2-1】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式2-2】如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型3 正多边形与圆的综合】 【例3】如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【变式3-2】如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 尺规作图---正多边形】 【例4】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【变式4-2】如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式4-3】用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【题型5 正多边形边长、边心距、半径计算】 【例5】如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【变式5-1】如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式5-2】已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（    ） A．3或8 B．6或8 C．3或6 D．5或6 【变式5-3】如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 【题型6 正多边形的周长与面积计算】 【例6】如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【题型7 正多边形角度综合计算（内角/外角/中心角）】 【例7】如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，经过正六边形的顶点A、E，则所对的圆周角等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1.如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 2.已知，正方形和它的外接圆． (1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径； (2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明； (3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离． 【课后检测】 1.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形的边长为2，则黑色部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 3．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 4．如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 5．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 7．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 9．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 11．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 12．如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 13．如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 14．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 15．在菱形中，，，点是边上的动点（不与，重合），过，，三点的圆交菱形的边于点，作于点，交于点． (1)如图1，连接和．求证：是等边三角形． (2)如图2，连接交于点，连接，，． ①求证：． ②设，，求关于的关系式． (3)的最小值为 ． 【复盘笔记】 第 2 页 共 47 页 第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $