专题 26.5 二次函数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义系统梳理二次函数全章知识，从基础概念（定义三要素、特殊形式）到图象性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、平移规律），再到三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、与方程不等式的关系，最后到实际应用（四大经典模型），构建递进式学习支架。 资料亮点在于知识梳理配图形图解和“左加右减”等口诀，助力几何直观（数学眼光），题型精析分基础与综合，例题配变式训练，培养推理能力（数学思维），实际应用模型模板（如销售利润最值）强化模型意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺。

专题 26.5 二次函数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】二次函数基础概念（入门必掌握） 2 【知识点二】二次函数图象与性质 2 【知识点三】二次函数三种解析式 4 【知识点四】二次函数与方程、不等式 4 【知识点五】二次函数实际应用 5 二.题型精析（基础巩固得升） 6 【题型 1】二次函数识别与参数求解 6 【题型 2】图象平移变换 7 【题型 3】对称轴、顶点、增减性判断 9 【题型 4】系数、式子符号判断 12 【题型 5】待定系数法三式求解析式 18 【题型 6】二次函数与与坐标轴交点个数 21 【题型 7】二次函数不等式求解 23 【题型 8】实际最值应用题 27 三.题型精析（综合压轴） 30 【题型 9】区间最值问题（易错压轴） 30 【题型 10】二次函数与几何综合问题 33 【题型 11】二次函数与折叠、旋转问题 39 【题型 12】二次函数与存在性问题 47 四.同步检测 58 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 58 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 64 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 68 一.知识梳理 【知识点一】二次函数基础概念（入门必掌握） 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 定义三要素（缺一不可）（1）自变量 的最高次数为 2；（2）二次项系数 （ 退化为一次函数）；（2）等式右边是关于 的整式。 特殊形式：（1）（最简二次函数，）；（2）（无一次项）；（3）（无常数项，过原点） 【知识点二】二次函数图象与性质 1. 最简二次函数 图象与性质 图象：顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线 图形图解（y=ax²基础图象）：平面直角坐标系中，两条抛物线共顶点（0,0）、共对称轴y轴；a＞0图象全部在x轴上方，开口向上；a＜0图象全部在x轴下方，开口向下；|a|越大，抛物线收缩越窄，|a|越小，抛物线舒展越宽。 （1）当 （开口向上） ①图象特征：抛物线开口向上，顶点 是最低点； ②最值： 时，； ③增减性：， 随 增大而减小；， 随 增大而增大。 （2）当 （开口向下） ①图象特征：抛物线开口向下，顶点 是最高点； ②最值： 时，； ③增减性：， 随 增大而增大；， 随 增大而减小。 （3）开口大小规律 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 2 .二次函数平移规律 由基础抛物线 平移得到 平移口诀：左加右减，上加下减 ①左右平移（变x）： 向右平移 个单位； 向左平移 个单位； ②上下平移（变整体）： 向上平移 个单位； 向下平移 个单位。 重点易错：左右平移是对 本身加减，不是对括号外加减！ 平移图形图解：基础抛物线y=ax²，左右平移仅改变对称轴位置，顶点沿x轴水平移动；上下平移顶点沿y轴竖直移动，对称轴不变。例：y=a（x+3）² 由原图象左移3个单位，y=a（x）²+2 由原图象上移2个单位，整体图象形状、开口大小完全不变，仅位置改变。 3 顶点式完整性质 ①顶点坐标： ②对称轴：直线 ③，顶点为最低点，最小值 ；，顶点为最高点，最大值 。 4 一般式完整性质 由一般式可配方转为顶点式： ①对称轴：直线 ②顶点坐标： ③与y轴交点： 5 系数 图象符号判断（选择填空压轴） （1）：决定开口方向与宽窄 开口向上； 开口向下 （2）：决定对称轴位置（左同右异） ①（同号）→ 对称轴在y轴左侧 ②（异号）→ 对称轴在y轴右侧 ③ → 对称轴为y轴 （3）：决定与y轴交点 交y轴正半轴； 交y轴负半轴； 过原点 （4）：决定与x轴交点个数 ①：与x轴2个交点 ②：与x轴1个交点（顶点在x轴上） ③：与x轴无交点 【知识点三】二次函数三种解析式 1 三种解析式对比与适用场景（背诵） 解析式形式 表达式 适用条件 优点 一般式 已知任意3个普通点 通用万能，最终标准答案格式 顶点式 已知顶点/对称轴/最值+1点 计算最简，快速求最值 交点式 已知与x轴两个交点+1点 快速写解析式，仅限有交点时 2 待定系数法标准五步解题法 选式 → 设式 → 代入 → 求解 → 整理（化为一般式）:最优选择优先级：交点式＞顶点式＞一般式 【知识点四】二次函数与方程、不等式 1 函数与一元二次方程核心关系 令 ，二次函数 转化为方程 。 核心结论：抛物线与x轴交点的横坐标 = 一元二次方程的实数根。 2 图象法解一元二次不等式（带图解逻辑） 设方程 两根 不等式数形图解核心：抛物线被x轴分割为三部分，x轴上方区域对应函数值y＞0，x轴上交点对应y=0，x轴下方区域对应y＜0，结合开口方向即可快速判定解集区间。 ① 开口向上 ：：图象在x轴上方 → 或 （取两边） 图象在x轴下方 → （取中间） ② 开口向下 :：图象在x轴上方 → （取中间）：图象在x轴下方 → 或 （取两边） 含等号注意： 解集需要包含根的取值。 【知识点五】二次函数实际应用 1. 四大经典模型解题模板 模型1：几何面积最值 周长固定矩形，面积二次函数模型，正方形面积最大；解题务必验证边长＞0。 模型2：销售利润最值（中考高频） 核心公式： 涨价销量减少、降价销量增加，构造二次函数求顶点最值。 模型3：运动轨迹问题 高度 随时间 变化，求最大高度、落地时间、对应时刻高度。 模型4：抛物线建筑问题（拱桥、隧道） 解题关键：合理建立平面直角坐标系，优先设顶点式简化计算。 拱桥/隧道图形图解：常规建系方式：将抛物线顶点置于坐标系y轴正半轴最高点，水面/路面水平线为x轴，抛物线左右对称分布，根据跨度、高度标注关键点坐标，代入解析式求解，完美贴合实际图形结构。 2. 实际问题最易错点 顶点不一定可取！若顶点横坐标不在自变量取值范围内，最值取区间端点。 区间最值图形图解：完整抛物线最值在顶点，若自变量被限制在某一段区间（线段图象），顶点在线段内则取顶点最值；顶点在线段外，线段两端点为最值点，左端点、右端点分别对应区间最大/最小值。 二.题型精析（基础巩固得升） 【题型 1】二次函数识别与参数求解 【例题1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数的解析式． 根据二次函数的定义求出的值，进而求函数的解析式即可． 解：∵是二次函数， ∴，， ∴，， 即， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做二次函数”进行求解即可． 解：由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【题型 2】图象平移变换 【例题2】（25-26九年级下·全国·课后作业）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标． 解：先将原抛物线配方化为顶点式： 抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下． 根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为． 平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线． 因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”． 由平移的规律可求得平移后的二次函数解析式，代入点直接求得答案． 解：将抛物线向上平移个单位长度后的抛物线的函数解析式为， 将点代入得， 解得． 【题型 3】对称轴、顶点、增减性判断 【例题3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1）；（2）有最小值，最小值为1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 解：（1）解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 【变式1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是 （    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及几何变换，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向下；对每个选项分析、判断即可； 解：、由二次函数得，对称轴为直线；故本项错误； 、由二次函数得，顶点坐标为；故本项错误； 、由二次函数的图象可由二次函数的图象向上平移1个单位得到；故本项错误； 、由二次函数得，其开口向下，顶点为，则在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小；故本项正确； 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）二次函数图象的顶点坐标是，且抛物线经过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出它的开口方向，对称轴、最值． 【答案】（1）；（2）开口向下，对称轴为直线，最大值为5 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象与性质求解即可． 解：（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入上式得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）根据抛物线， ∵， 则抛物线开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时函数的最大值为5． 【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【题型 4】系数、式子符号判断 【例题4】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 【变式1】（2024·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 【题型 5】待定系数法三式求解析式 【例题5】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，熟记待定系数法是解题的关键． 将点、、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法建立关于、、的方程组，解方程组即可求得解析式． 解：∵二次函数的图象过点，，且与y轴交于点， ∴可得 解得 ∴该二次函数的表达式为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【题型 6】二次函数与与坐标轴交点个数 【例题6】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 解：（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）关于函数y＝x2﹣4x+4的图像与x轴的交点个数，下列说法正确的是（　　） A．两个相同的交点 B．两个不同的交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像与x轴的交点问题可直接进行求解． 解：由函数y＝x2﹣4x+4可得： ， ∴该二次函数的图像与x轴的交点个数为一个，即两个相同的交点； 故选A． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像与x轴的交点问题是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 【变式3】（25-26九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在． 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． 解：（1）解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； （2）解：略． 【题型 7】二次函数不等式求解 【例题7】（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： （1）方程的两个根为________________； （2）不等式的解集为_______________； （3）y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； （4）若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 解：（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 【变式1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据图象，写出满足不等式的解集：________； （3）当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围． （1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标； （2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集； （3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 解：（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的对称轴为， 点与点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 （2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 故不等式的解集为． 故答案为：． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 【题型 8】实际最值应用题 【例题8】（2026·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每个定价为元，应进货个；（2）每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 解：（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎，某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘汁能获得的最大销售收入为（   ） A．640元 B．605元 C．600元 D．560元 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值在实际销售问题中的应用，解题的关键是正确设定变量，并根据“售价每降低0.5元，销量增加5瓶”这一条件，准确建立销售收入关于售价变动量的二次函数模型．明确售价变动与销量变动的关系：售价每降低0.5元，销量增加5瓶；设定变量：为简化计算，通常设售价降低的次数（以0.5元为单位）为变量；建立函数：用变量表示新的售价和新的销售量，两者的乘积即为销售收入函数．求解最值：将销售收入函数化为二次函数的一般形式，利用顶点坐标公式或配方法求出最大值． 解：设售价在10元的基础上降低 个0.5元（即降价元） 则降价后： 每瓶售价为：元； 每天销售量为：瓶 则每天的销售收入 （元）为： 整理得，是一个关于的二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，有最大值， 当时，最大， 将代入得元， 故选A． 【变式2】（2025·上海徐汇·模拟预测）某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在___________米内，才能确保隧道内行车安全． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．正确的建立坐标系，利用待定系数法求得函数解析式，利用二次函数的性质解答即可． 解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置， 设抛物线的顶点为D，由题意得，点顶点， 设抛物线的表达式为， 将点点入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为， 设车辆的最右端为点， 将点A的横坐标代入抛物线的表达式得：（米）， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米． （1）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？ 【答案】（1）；（2）她不会被水喷到 【分析】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，解题的关键是根据图像及题意提取相关信息． （1）根据图像设抛物线解析式为，根据题意将点代入即可得到答案； （2）计算当时的值，与比较即可得到答案； 解：（1）解：设拋物线解析式为， 由图像可得，，图像过， ， 解得：， ． （2）解：当时，， ∴她不会被水喷到． 三.题型精析（综合压轴） 【题型 9】区间最值问题（易错压轴） 【例题9】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）6；（3） 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 解：（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得值和函数关系式，再求得最小值即可． 解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2023·浙江温州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，且． （1）求该二次函数的表达式． （2）已知点在对称轴的异侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，设，的最小值分别为，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法得到二次函数的解析式即可； （2）根据函数解析式得到二次函数有最大值，进而得到最小值为，将代入解析式是得到的最小值即可解答． 解：（1）解：把代入，得， ∴， ∴． （2）解：∵在对称轴异侧，且， ∴最大值为3， ∵最大值与最小值的差为5， ∴最小值为， 把代入， 得， ∴， ∴由图象得最小值，此时对应最小值， ∴． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型 10】二次函数与几何综合问题 【例题10】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 【变式3】（2025·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）． （2）若点的纵坐标为，求的最小值． （3）当，为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质； （1）把抛物线化为顶点式即可得到答案； （2）由题意可得：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由时，顶点在第四象限，结合为锐角，可得点在轴上方，可得，再进一步求解即可． 解：（1）解：抛物线的顶点为， 而， ∴顶点； （2）解：当时， ， 当时，的最小值为． （3）解：当时，顶点在第四象限， 又为锐角， 点在轴上方， ， ∴， ， ， ． 【题型 11】二次函数与折叠、旋转问题 【例题11】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最大值为，；；（3）或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、轴对称的性质等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据对称性得到，则矩形的周长为，即可求出答案； （3）设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且,即，且，即可求出答案． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）设点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M和点F关于直线对称， ∴， ∴矩形的周长为， 即的最大值为，此时，即； （3）存在， 设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且, 即，且， 解得，， ∴或 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线绕顶点旋转，所得抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的旋转变换，先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论． 解：∵原抛物线可化为顶点式，顶点为， ∴绕顶点旋转后，新抛物线解析式为， 令，则， ∴与轴交点坐标为 故选：D． 【变式2】（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线交轴于两点，以为边作等腰直角三角形，取边的中点．若有以点为中心旋转，交轴于两点，交边于两点，且，连接抛物线顶点与点，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，利用二次函数的解析式分别求出点的坐标，再求出直线的解析式，求出点的坐标，过点作于，于，证明，进而得出点的坐标，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：∵抛物线， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵三角形是以为边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 如图，过点作于，于，则，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 【答案】（）；（）存在，的面积存在最小值，为 【分析】（）先证明垂直平分线，即得，，进而得，再根据折叠的性质即可求解； （）过点作于，于，可得，可证，可得；过点作于，设，则，，利用勾股定理可得，即得，当最小时，面积最小，可知当时，的面积最小，求出的最小值即可求解． 解：（）设于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由折叠可得，， ∴； （）存在，理由如下： 过点作于，于， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当最小时，面积最小， ∴当时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型 12】二次函数与存在性问题 【例题12】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到的新抛物线，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式，并写出平移方式； （2）已知点C为抛物线的顶点，点P是y轴上一点，在上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的表达式为：，将向右平移2个单位向下平移3个单位得到；（2）点P的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图象的平移，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式得：，且，即可求解；当为对角线时，同理可解． 解：（1）解：由题意得，新抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则的表达式为：， 故将向右平移2个单位向下平移3个单位得到； （2）解：存在，理由： 由（1）知、设点，点，， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，且， 解得：，，，即点； 当为对角线时， 同理可得：，且， 解得：，，，即点， 综上，点P的坐标为u或． 【变式1】（2024·陕西榆林·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线的顶点为，请问在平移过程中，是否存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，点的坐标为；（2）存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，的值为或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标即可； （2）过点作轴的平行线交轴于点，根据题意可得，抛物线的顶点，分和两种情况，进行讨论求解即可． 解：（1）将点代入，得： 解得 抛物线的函数表达式为． ， 点的坐标为． （2）过点作轴的平行线交轴于点，如图． 根据题意可得，抛物线的顶点在直线上． 抛物线与轴交于点， ∴ ． ． 轴， 轴， ． 以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形， 需分和两种情况进行分析． ①当时，如图1，点在的位置： 在中，， ， 此时的值为； ②当时，如图2，点在或的位置； 过点作于点，则 ． 在中，， ， 在中，， ， 此时的值为或． 综上可知，存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，的值为或或． 【变式2】（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； （3）如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值；（3）或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 【变式3】（22-23九年级下·四川内江·阶段检测）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且， （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或；（3）存在， 【分析】（1）根据点的坐标，可求出点的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可； （3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，将，，代入得， ，解得，， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在一点，使得，理由如下： 如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，    ∵， ∴，即点是满足题意的点， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：，， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， ∵关于轴对称， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴是满足题意的点， 设直线的解析式为：，将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 直线与抛物线联立方程组得， 解得，（与重合，舍去）或， ∴， 综上所述，点坐标为或． （3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下： 如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，    ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，，则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小， ∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最小值为． 【点拨】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 解：抛物线的对称轴是直线． 4．（2022·贵州黔东南·模拟预测）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 6．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性成为解题的关键． 根据抛物线的对称性以及表格数据即可解答． 解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当和两种情况进行分类讨论，则问题可求解． 解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 解：抛物线的顶点坐标为． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新抛物线的表达式（顶点式）为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得答案． 解：∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的表达式为． 故答案为： 14．（25-26九年级上·广东江门·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由二次函数的关系式得到图象开口向下，顶点坐标为，即可得到小球运动中的最大高度． 解：∵，， ∴当时，h有最大值，为， ∴小球运动中的最大高度是12米． 故答案为：12． 15．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 16．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … （1）请在表内的空格中填入适当的数； （2）根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； （3）当取何值时，随增大而减小． 【答案】（1）填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） （2）如图所示 （3） 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 解：（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 20．（本小题满分8分）（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求出点P的坐标； （3）设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 解：（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点拨】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，经过点，直线经过点． （1）求直线的表达式； （2）点是抛物线上一点，其中，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【答案】（1）；（2）线段的长有最大值，最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式； （1）先求出点，的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先表示出点，点的纵坐标，求出，再利用二次函数的性质求出最大值即可． 解：（1）解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点， 当时，， ∴，， ∴， 设直线l的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）如图， 过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为， ∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，， ∴当时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段的长有最大值，最大值为． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． （3）若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 【答案】（1）对称轴为直线；（2）；（3），m的最小值为0 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴； （2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当时的取值范围； （3）根据对称轴得出，从而可求出的取值范围，根据在抛物线上，m有最大值8，可得出a的值，确定二次函数的解析式，进而即可得出结果． 解：（1）解：将点代入， ∴，     ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移后的函数解析式为， ∴当时，； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，m的最小值为0． 23．（本小题满分10分）（2026·贵州铜仁·模拟预测）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： （1）求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； （2）锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1））；（2）锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元；（3）当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设燕子型风筝售价为元时，销售量为个，根据题意列出一次函数关系式； （2）设锁大爷获得的利润为元，根据题意写出函数关系式，令，解方程，即可求解． （3）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 解：（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：）， 销售量与售价之间的函数关系式为）； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 （1）求此抛物线的解析式； （2）当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 解：（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.5 二次函数全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】二次函数基础概念（入门必掌握） 2 【知识点二】二次函数图象与性质 2 【知识点三】二次函数三种解析式 4 【知识点四】二次函数与方程、不等式 4 【知识点五】二次函数实际应用 5 二.题型精析（基础巩固得升） 6 【题型 1】二次函数识别与参数求解 6 【题型 2】图象平移变换 6 【题型 3】对称轴、顶点、增减性判断 7 【题型 4】系数、式子符号判断 7 【题型 5】待定系数法三式求解析式 9 【题型 6】二次函数与与坐标轴交点个数 9 【题型 7】二次函数不等式求解 10 【题型 8】实际最值应用题 11 三.题型精析（综合压轴） 12 【题型 9】区间最值问题（易错压轴） 12 【题型 10】二次函数与几何综合问题 13 【题型 11】二次函数与折叠、旋转问题 14 【题型 12】二次函数与存在性问题 16 四.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 19 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 21 一.知识梳理 【知识点一】二次函数基础概念（入门必掌握） 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做二次函数。 定义三要素（缺一不可）（1）自变量 的最高次数为 2；（2）二次项系数 （ 退化为一次函数）；（2）等式右边是关于 的整式。 特殊形式：（1）（最简二次函数，）；（2）（无一次项）；（3）（无常数项，过原点） 【知识点二】二次函数图象与性质 1. 最简二次函数 图象与性质 图象：顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线 图形图解（y=ax²基础图象）：平面直角坐标系中，两条抛物线共顶点（0,0）、共对称轴y轴；a＞0图象全部在x轴上方，开口向上；a＜0图象全部在x轴下方，开口向下；|a|越大，抛物线收缩越窄，|a|越小，抛物线舒展越宽。 （1）当 （开口向上） ①图象特征：抛物线开口向上，顶点 是最低点； ②最值： 时，； ③增减性：， 随 增大而减小；， 随 增大而增大。 （2）当 （开口向下） ①图象特征：抛物线开口向下，顶点 是最高点； ②最值： 时，； ③增减性：， 随 增大而增大；， 随 增大而减小。 （3）开口大小规律 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 2 .二次函数平移规律 由基础抛物线 平移得到 平移口诀：左加右减，上加下减 ①左右平移（变x）： 向右平移 个单位； 向左平移 个单位； ②上下平移（变整体）： 向上平移 个单位； 向下平移 个单位。 重点易错：左右平移是对 本身加减，不是对括号外加减！ 平移图形图解：基础抛物线y=ax²，左右平移仅改变对称轴位置，顶点沿x轴水平移动；上下平移顶点沿y轴竖直移动，对称轴不变。例：y=a（x+3）² 由原图象左移3个单位，y=a（x）²+2 由原图象上移2个单位，整体图象形状、开口大小完全不变，仅位置改变。 3 顶点式完整性质 ①顶点坐标： ②对称轴：直线 ③，顶点为最低点，最小值 ；，顶点为最高点，最大值 。 4 一般式完整性质 由一般式可配方转为顶点式： ①对称轴：直线 ②顶点坐标： ③与y轴交点： 5 系数 图象符号判断（选择填空压轴） （1）：决定开口方向与宽窄 开口向上； 开口向下 （2）：决定对称轴位置（左同右异） ①（同号）→ 对称轴在y轴左侧 ②（异号）→ 对称轴在y轴右侧 ③ → 对称轴为y轴 （3）：决定与y轴交点 交y轴正半轴； 交y轴负半轴； 过原点 （4）：决定与x轴交点个数 ①：与x轴2个交点 ②：与x轴1个交点（顶点在x轴上） ③：与x轴无交点 【知识点三】二次函数三种解析式 1 三种解析式对比与适用场景（背诵） 解析式形式 表达式 适用条件 优点 一般式 已知任意3个普通点 通用万能，最终标准答案格式 顶点式 已知顶点/对称轴/最值+1点 计算最简，快速求最值 交点式 已知与x轴两个交点+1点 快速写解析式，仅限有交点时 2 待定系数法标准五步解题法 选式 → 设式 → 代入 → 求解 → 整理（化为一般式）:最优选择优先级：交点式＞顶点式＞一般式 【知识点四】二次函数与方程、不等式 1 函数与一元二次方程核心关系 令 ，二次函数 转化为方程 。 核心结论：抛物线与x轴交点的横坐标 = 一元二次方程的实数根。 2 图象法解一元二次不等式（带图解逻辑） 设方程 两根 不等式数形图解核心：抛物线被x轴分割为三部分，x轴上方区域对应函数值y＞0，x轴上交点对应y=0，x轴下方区域对应y＜0，结合开口方向即可快速判定解集区间。 ① 开口向上 ：：图象在x轴上方 → 或 （取两边） 图象在x轴下方 → （取中间） ② 开口向下 :：图象在x轴上方 → （取中间）：图象在x轴下方 → 或 （取两边） 含等号注意： 解集需要包含根的取值。 【知识点五】二次函数实际应用 1. 四大经典模型解题模板 模型1：几何面积最值 周长固定矩形，面积二次函数模型，正方形面积最大；解题务必验证边长＞0。 模型2：销售利润最值（中考高频） 核心公式： 涨价销量减少、降价销量增加，构造二次函数求顶点最值。 模型3：运动轨迹问题 高度 随时间 变化，求最大高度、落地时间、对应时刻高度。 模型4：抛物线建筑问题（拱桥、隧道） 解题关键：合理建立平面直角坐标系，优先设顶点式简化计算。 拱桥/隧道图形图解：常规建系方式：将抛物线顶点置于坐标系y轴正半轴最高点，水面/路面水平线为x轴，抛物线左右对称分布，根据跨度、高度标注关键点坐标，代入解析式求解，完美贴合实际图形结构。 2. 实际问题最易错点 顶点不一定可取！若顶点横坐标不在自变量取值范围内，最值取区间端点。 区间最值图形图解：完整抛物线最值在顶点，若自变量被限制在某一段区间（线段图象），顶点在线段内则取顶点最值；顶点在线段外，线段两端点为最值点，左端点、右端点分别对应区间最大/最小值。 二.题型精析（基础巩固得升） 【题型 1】二次函数识别与参数求解 【例题1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知关于x的二次函数，求函数的解析式． 【变式1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【题型 2】图象平移变换 【例题2】（25-26九年级下·全国·课后作业）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知抛物线（为常数）向上平移个单位长度后经过点，求的值． 【题型 3】对称轴、顶点、增减性判断 【例题3】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【变式1】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是 （    ） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为___________（用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为___________． 【变式3】（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）二次函数图象的顶点坐标是，且抛物线经过点． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出它的开口方向，对称轴、最值． 【题型 4】系数、式子符号判断 【例题4】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【变式3】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是______． 【题型 5】待定系数法三式求解析式 【例题5】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象过点，，且与y轴交于点，则该二次函数的表达式为________________． 【变式3】（25-26九年级上·云南保山·阶段检测）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【题型 6】二次函数与与坐标轴交点个数 【例题6】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）关于函数y＝x2﹣4x+4的图像与x轴的交点个数，下列说法正确的是（　　） A．两个相同的交点 B．两个不同的交点 C．没有交点 D．无法判断 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【变式3】（25-26九年级上·广西崇左·期中）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【题型 7】二次函数不等式求解 【例题7】（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： （1）方程的两个根为________________； （2）不等式的解集为_______________； （3）y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； （4）若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【变式1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）根据图象，写出满足不等式的解集：________； （3）当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【题型 8】实际最值应用题 【例题8】（2026·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎，某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘汁能获得的最大销售收入为（   ） A．640元 B．605元 C．600元 D．560元 【变式2】（2025·上海徐汇·模拟预测）某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在___________米内，才能确保隧道内行车安全． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米． （1）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）身高为的小颖站在距离喷水管的地方，她会被水喷到吗？ 三.题型精析（综合压轴） 【题型 9】区间最值问题（易错压轴） 【例题9】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【变式1】（2025·陕西西安·一模）关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 【变式3】（2023·浙江温州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，且． （1）求该二次函数的表达式． （2）已知点在对称轴的异侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，设，的最小值分别为，求的值． 【题型 10】二次函数与几何综合问题 【例题10】（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【变式3】（2025·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求点的坐标（用含的代数式表示）． （2）若点的纵坐标为，求的最小值． （3）当，为锐角时，求的取值范围． 【题型 11】二次函数与折叠、旋转问题 【例题11】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线绕顶点旋转，所得抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线交轴于两点，以为边作等腰直角三角形，取边的中点．若有以点为中心旋转，交轴于两点，交边于两点，且，连接抛物线顶点与点，当时，______． 【变式3】（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 【题型 12】二次函数与存在性问题 【例题12】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到的新抛物线，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式，并写出平移方式； （2）已知点C为抛物线的顶点，点P是y轴上一点，在上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024·陕西榆林·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线的顶点为，请问在平移过程中，是否存在的值，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·湖北恩施·三模）如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； （3）如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【变式3】（22-23九年级下·四川内江·阶段检测）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且， （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． （3）抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．（2022·贵州黔东南·模拟预测）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_______ 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新抛物线的表达式（顶点式）为________． 14．（25-26九年级上·广东江门·期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 15．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 16．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 18．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … （1）请在表内的空格中填入适当的数； （2）根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； （3）当取何值时，随增大而减小． 20．（本小题满分8分）（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求出点P的坐标； （3）设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，经过点，直线经过点． （1）求直线的表达式； （2）点是抛物线上一点，其中，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． （3）若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 23．（本小题满分10分）（2026·贵州铜仁·模拟预测）今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： （1）求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； （2）锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ （3）当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 （1）求此抛物线的解析式； （2）当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $