专题 25.7 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学一元二次方程全章复习讲义通过知识框架系统梳理全章内容，以表格归纳定义要素、解法优先级和五大应用模型，用思维导图呈现根的判别式与韦达定理的内在联系，突出二次项系数不为0等关键要点及高频易错点。 讲义亮点在于题型精析覆盖8类核心问题，如已知方程根求代数式值培养运算能力，销售利润问题强化模型意识，判别式与参数综合题提升推理意识。同步检测分层设计，易错点提醒助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

专题 25.7 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 1 【知识点二】一元二次方程四种解法 2 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 2 【知识点四】五大实际应用模型 3 【知识点五】全章高频易错点大盘点 3 二.题型精析 4 【题型 1】一元二次方程定义与其解 4 【题型 2】选择合适方法解方程 4 【题型 3】判别式与参数综合问题 5 【题型 4】韦达定理整体代入求值 5 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 6 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 6 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 7 【题型 8】一元二次方程与几何函数问题 8 三.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程。一般形式： 各项说明：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键注意：是判定一元二次方程的核心条件，若，方程退化为一元一次方程。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。 【知识点二】一元二次方程四种解法 解题核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。四种解法优先级：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法 1. 直接开平方法： （1）适用形式： 或 （2）解法：直接开平方得，无一次项的方程优先使用。 2. 因式分解法 （1）适用场景：方程整理为右边为0，左边可快速因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法）。 （2）核心原理：若，则或。 （3）解题步骤：移项化0→因式分解→降次列一次方程→求解。 3. 公式法 （1）求根公式：当时， （2）适用所有有实数根的一元二次方程，无法因式分解时首选。 4. 配方法 （1）步骤：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方成完全平方式→开方求解。 （2）用途：多用于公式推导、代数式最值求解，极少直接解方程。 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 1. 根的判别式 （1）：方程有两个不相等的实数根；（2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根. 含参数方程判断根的情况，必须先计算，再分类讨论。 2. 根与系数的关系（韦达定理） 若的两根为，且，则：， 二次项系数为1时：，， 代数式变形：； ； 【知识点四】五大实际应用模型 1. 增长率与下降率模型：基数，增减率，两年后量： 2. 病毒传播模型：1个传染源，每轮传播人，两轮后总人数： 3. 几何面积模型：道路、边框问题：平移法拼接规则图形:总面积 - 道路面积=有效面积列方程。 4. 销售利润模型：总利润 =（售价-进价）× 销售数量，涨价减量、降价增量，找准数量变化关系。 5. 单循环问题模型：个对象单循环比赛/握手：总次数 应用题核心准则：所有实际问题解方程后，必须根据实际意义验根，舍去负数、超范围、非整数等不合理根。 【知识点五】全章高频易错点大盘点 1. 概念误区：忽略，误将含参数的非二次方程判定为一元二次方程。 2. 解法误区：方程两边同除含未知数的因式，导致漏根；因式分解不彻底、配方时常数项移项出错。 3. 韦达定理误区：忘记判断直接套用公式；两根和遗漏负号，是最高频失分点。 4. 判别式误区：含参数方程未分类讨论，混淆相等实数根和无实数根的条件。 5. 应用题误区：增长率误用乘法、单双循环公式混淆、解题不验根，保留不符合实际的根。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与其解 【例题1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【题型 2】选择合适方法解方程 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） （3）（用求根公式法） （4）（用因式分解法） 【变式3】（23-24八年级下·北京顺义·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【题型 3】判别式与参数综合问题 【例题3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 【变式1】（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：一元二次方程有实数根； （2）设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【题型 4】韦达定理整体代入求值 【例题4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 【例题5】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 【例题6】（25-26八年级下·山东济南·期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． （1）的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； （2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西忻州·期中）在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______．    【变式3】（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 （2）若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 （3）小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 【例题7】（25-26八年级下·广东深圳·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． （2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为______元． 【变式3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． （1）分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ （2）工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【题型 8】一元二次方程与几何函数问题 【例题8】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，求的值； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的解析式． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026九年级下·江苏无锡·竞赛）已知点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足，则点P的坐标为______． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 7．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 12．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 13．（25-26九年级上·山西太原·期末）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 14．（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 15．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 16．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 17．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 18．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期末）解方程： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为________；（用含的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.7 一元二次方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 1 【知识点二】一元二次方程四种解法 2 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 2 【知识点四】五大实际应用模型 3 【知识点五】全章高频易错点大盘点 3 二.题型精析 4 【题型 1】一元二次方程定义与其解 4 【题型 2】选择合适方法解方程 6 【题型 3】判别式与参数综合问题 11 【题型 4】韦达定理整体代入求值 13 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 14 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 17 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 20 【题型 8】一元二次方程与几何函数问题 23 三.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.知识梳理 【知识点一】一元二次方程定义与一般形式 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程。一般形式： 各项说明：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键注意：是判定一元二次方程的核心条件，若，方程退化为一元一次方程。 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。一元二次方程在实数范围内最多有两个实数根。 【知识点二】一元二次方程四种解法 解题核心思想：降次，将二次方程转化为一元一次方程求解。四种解法优先级：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法 1. 直接开平方法： （1）适用形式： 或 （2）解法：直接开平方得，无一次项的方程优先使用。 2. 因式分解法 （1）适用场景：方程整理为右边为0，左边可快速因式分解（提公因式、公式法、十字相乘法）。 （2）核心原理：若，则或。 （3）解题步骤：移项化0→因式分解→降次列一次方程→求解。 3. 公式法 （1）求根公式：当时， （2）适用所有有实数根的一元二次方程，无法因式分解时首选。 4. 配方法 （1）步骤：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方成完全平方式→开方求解。 （2）用途：多用于公式推导、代数式最值求解，极少直接解方程。 【知识点三】根的判别式与根与系数关系 1. 根的判别式 （1）：方程有两个不相等的实数根；（2）：方程有两个相等的实数根（）； （3）：方程无实数根. 含参数方程判断根的情况，必须先计算，再分类讨论。 2. 根与系数的关系（韦达定理） 若的两根为，且，则：， 二次项系数为1时：，， 代数式变形：； ； 【知识点四】五大实际应用模型 1. 增长率与下降率模型：基数，增减率，两年后量： 2. 病毒传播模型：1个传染源，每轮传播人，两轮后总人数： 3. 几何面积模型：道路、边框问题：平移法拼接规则图形:总面积 - 道路面积=有效面积列方程。 4. 销售利润模型：总利润 =（售价-进价）× 销售数量，涨价减量、降价增量，找准数量变化关系。 5. 单循环问题模型：个对象单循环比赛/握手：总次数 应用题核心准则：所有实际问题解方程后，必须根据实际意义验根，舍去负数、超范围、非整数等不合理根。 【知识点五】全章高频易错点大盘点 1. 概念误区：忽略，误将含参数的非二次方程判定为一元二次方程。 2. 解法误区：方程两边同除含未知数的因式，导致漏根；因式分解不彻底、配方时常数项移项出错。 3. 韦达定理误区：忘记判断直接套用公式；两根和遗漏负号，是最高频失分点。 4. 判别式误区：含参数方程未分类讨论，混淆相等实数根和无实数根的条件。 5. 应用题误区：增长率误用乘法、单双循环公式混淆、解题不验根，保留不符合实际的根。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程定义与其解 【例题1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 解：是方程的一个根， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． （2）如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】（1）是等腰三角形   见分析；（2）是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 解：（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 【题型 2】选择合适方法解方程 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 解：（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【变式1】（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）用适当方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）无解；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式判断根的情况即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解： ∴或， ∴； （2）解： ∵， ∴该一元二次方程无解； （3）解： ∴或， ∴； （4）解： ∵， ∴， ∴，． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）按照指定方法解下列方程： （1）（用直接开平方法） （2）（用配方法） （3）（用求根公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 解：（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级下·北京顺义·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了直接开平方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用直接开平方法计算即可． （3）利用因式分解法法求解即可． （4）利用因式分解法法求解即可． 解：（1）∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）， ∴， ∴． （3）∵， ∴ ∴， 解得． （4）∵, ∴ ∴， 解得． 【题型 3】判别式与参数综合问题 【例题3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知关于 的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求 的值． 【答案】（1）证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）或 【分析】（1）证明即可； （2）根据求根公式，表示出两个根，利用整数的性质，求解即可； 解：（1）略 （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 【变式1】（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：一元二次方程有实数根； （2）设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵， ∴一元二次方程有实数根；（2） 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 【题型 4】韦达定理整体代入求值 【例题4】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 解：∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，再根据根与系数关系得，即，再代入求值即可． 解：∵点和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴和是方程的两个根， 由根与系数的关系，得， ∴． ， ． ∴． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 解： 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴ 【题型 5】根的判别式与根与系数关系综合 【例题5】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1）证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式1】（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】/ 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 【题型 6】综合应用题——图形与面积问题 【例题6】（25-26八年级下·山东济南·期末）为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． （1）的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； （2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 【答案】（1）；；（2）的长度为16米 【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可； （2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答． 解：（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 【变式1】（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 解：由题意可得， ． 【变式2】（25-26九年级上·山西忻州·期中）在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______．    【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），， 则剪去小正方形的边长是． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． （1）若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 （2）若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 （3）小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】（1）答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米；（2）答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米；（3）不可行，理由见分析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 解：（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 【题型 7】综合应用题——增长率与销售利润问题 【例题7】（25-26八年级下·广东深圳·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． （2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】（1）；（2）销售单价应为元. 【分析】 （1）根据单价变化得到销售量的变化，据此列出函数表达式； （2）将总利润8000代入函数表达式，解一元二次方程后，再根据“尽快减少库存”的要求对解进行取舍，得到符合要求的销售单价． 解：（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为______元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． （1）分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ （2）工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】（1）甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元；（2）的值为． 【分析】（1） 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． （2）由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 解：（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． 【题型 8】一元二次方程与几何函数问题 【例题8】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点是“完美点”，求的值； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的解析式． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，用待定系数法求二次函数的解析式，理解“完美点”、“完美函数”的定义是解答本题的关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再根据“完美函数”与轴的交点到原点的距离为，得到该“完美函数”与轴的交点为或，将其分别代入顶点式中求解即可． 解：（1）解：根据“完美点”定义和点是“完美点”可得， ，即， ； （2）解：某“完美函数”的顶点在直线上， 设“完美函数”的顶点为， 该函数为“完美函数”， ， 解得：， 该“完美函数”的顶点坐标为， 该“完美函数”与轴的交点到原点的距离为， 该“完美函数”与轴的交点为或， 设该“完美函数”的解析式为， 当该“完美函数”的解析式过时，，解得， ， 当该“完美函数”的解析式过时，，解得， ， 综上所述，该“完美函数”的解析式为或． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 【变式2】（2026九年级下·江苏无锡·竞赛）已知点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，联立解方程，即可求解． 解：， 化简，得， ∵点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， ∵点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）7，3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； 解：（1）略 （2）解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， ∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 解：， 移项得， 配方得， 整理得． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 5．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 8．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 10．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A、B点的坐标，表示出的长，再根据配方法确定出的最小值；然后再根据三角形的面积可得的最大值，再根据点M在x轴负半轴解答． 解：∵点和点， ∴， ∴的最小值为1，此时最长， ∴， 解得． 又∵点M在x轴负半轴， ∴点M的坐标为． 故选：D． 【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是根据三角形的面积判断出最小时，最长． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 12．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 【答案】， 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 解：移项得， 提取公因式得， 则或 解得，． 13．（25-26九年级上·山西太原·期末）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 14．（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 15．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 解：对于方程可得 ， ∴． 16．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算． 解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 17．（2026·山西长治·三模）山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为________元． 【答案】60或80 【分析】每瓶售价定为元，则每瓶利润为元，销售量减少瓶，则日销售量为瓶，再由总利润=每瓶利润销量建立一元二次方程求解． 解：每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 18．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）原方程无解；（2）， （1）解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解； （2）解： 或 解得，． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖北随州·期末）已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本方法，是解题的关键． （1）先将代入方程，求出p的值即可； （2）将p的值代入方程，解方程即可． 解：（1）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：； （2）解：把代入方程得：， 解得，， ∴另一个根为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，李爷爷用一面足够长的墙为一边，其余边用总长为的围栏（围栏宽忽略不计）建两个面积均是的小菜园和小果园，且各留一个宽为的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过．设垂直于墙的一边长，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程． 根据题意，列出方程，解出方程即可求解． 解：根据题意，得， 整理，得 解得 ∵垂直于墙的一边长不超过， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． （）根据根的判别式即可求出答案； （）把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． （1）天头长为________；（用含的代数式表示） （2）若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】（1）；（2）右边宽为厘米 解：（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为； （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽池州·期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． （1）解决任务1． （2）解决任务2． 【答案】（1）；（2）每架迷你无人机的售价应降低20元 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 解：（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $