专题30.2 三角形的内切圆（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦三角形内切圆核心知识点，系统梳理内心定义及性质、弦切角定理、圆与圆位置关系、圆幂定理，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架，涵盖内心应用、周长面积关系、内外切圆综合等8类题型。 资料以探究式学习与分层题型为特色，通过几何证明题（如内心性质证明）培养推理能力，动点最值问题发展创新意识，课后检测与复盘笔记助力学生用数学语言总结反思，课中辅助分层教学，课后强化知识内化。

简一数理 初中专题讲义 专题30.2 三角形的内切圆 （新教材人教版） 知识点一、三角形的内切圆 2 知识点二、弦切角定理 2 知识点三、圆和圆的位置关系 3 知识点四、圆幂定理 3 【题型1 三角形的内心的有关应用】 3 【题型2 一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 4 【题型3 三角形内切圆与外接圆综合】 5 【题型4 特殊三角形的内切圆专项计算】 6 【题型5 三角形内心与几何证明问题】 7 【题型6 三角形内切圆与动点、最值问题】 9 【题型7 三角形内切圆与几何压轴综合（函数/几何拼接）】 12 【题型8 圆与三角形综合】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 26 知识点一、三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点二、 弦切角定理 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则． 知识点三、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定． 设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有： 两圆外离；两圆外切；两圆相交； 两圆内切；两圆内含 说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 知识点四、圆幂定理 1．相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图，弦AB和CD交于内一点P，则． 2．切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图，PT是的切线，PAB为的割线，则． 3．割线定理 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 如图，PAB和PCD为的两条割线，则． 【题型1 三角形的内心的有关应用】 【例1】下列命题是假命题的是（     ） A．三角形的内心到三角形三边的距离相等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两角和夹边对应相等的两个三角形全等 【变式1-1】下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例2】如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【变式2-1】如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-3】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【题型3 三角形内切圆与外接圆综合】 【例3】我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【变式3-2】如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 特殊三角形的内切圆专项计算】 【例4】如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【变式4-1】如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式4-3】如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 【题型5 三角形内心与几何证明问题】 【例5】如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【变式5-1】已知内接于，为内心，交于．证明：． 【变式5-2】如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【变式5-3】如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【题型6 三角形内切圆与动点、最值问题】 【例6】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一个动点，求点的坐标，使得的值最小． (3)设抛物线的顶点为，则点在的外接圆的______（填“内部”或“外部”或“圆上”） 【变式6-1】直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【变式6-2】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值； (3)若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标． 【变式6-3】如图，半径为2的中，弦的长度为，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点． (1)求的度数； (2)当点沿着优弧从点开始，顺时针运动到点时，求的内心点所经过的路径的长度； (3)连接，设，求关于的函数解析式和的最大值． 【题型7 三角形内切圆与几何压轴综合（函数/几何拼接）】 【例7】如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）： (2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：； (3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【变式7-1】如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【变式7-2】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，点是三角形内的一个动点，直接写出的最小值． 【变式7-3】如图，半径为2的中，弦的长度为，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点．    (1)求的度数； (2)当点沿着优弧从点开始，顺时针运动到点时，求的内心点所经过的路径的长度； (3)连接，设，，求关于的函数解析式． 【题型8 圆与三角形综合】 【例8】如图，是的直径，为上-动点，是半径上一动点（不与点，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，过点作的切线交于点．    (1)求证：． (2)已知是的中点． ①若，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，且，求的长． 【变式8-1】如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 【变式8-2】如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【变式8-3】如图，中，，为线段上异于B、C的一动点，以为圆心，的长为半径作与分别交于．    (1)若，随着点的运动，的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值； (2)从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求的度数， （供选择的条件：①，②与相切，③为的中点） 解：你的选择是：______________________（填序号） 【探究式学习】 1．学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 2．【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 3．“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【课后检测】 1．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 6．如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（   ） A．点是三条高的交点 B．点是三条中线的交点 C．点是三条角平分线的交点 D．点是三边垂直平分线的交点 11．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 12．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 14．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 15．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 16．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 17．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 18．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【复盘笔记】 第 2 页 共 82 页 第 1 页 共 82 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $ 简一数理 初中专题讲义 专题30.2 三角形的内切圆 （新教材人教版） 知识点一、三角形的内切圆 2 知识点二、弦切角定理 2 知识点三、圆和圆的位置关系 3 知识点四、圆幂定理 3 【题型1 三角形的内心的有关应用】 3 【题型2 一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 6 【题型3 三角形内切圆与外接圆综合】 9 【题型4 特殊三角形的内切圆专项计算】 13 【题型5 三角形内心与几何证明问题】 17 【题型6 三角形内切圆与动点、最值问题】 24 【题型7 三角形内切圆与几何压轴综合（函数/几何拼接）】 33 【题型8 圆与三角形综合】 45 【探究式学习】 54 【课后检测】 63 【复盘笔记】 81 知识点一、三角形的内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点． 注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部． （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径． （3）常见结论：如图，，，，，． 知识点二、 弦切角定理 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切线与弦所夹的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角． 如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则． 知识点三、圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定． 设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有： 两圆外离；两圆外切；两圆相交； 两圆内切；两圆内含 说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 知识点四、圆幂定理 1．相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图，弦AB和CD交于内一点P，则． 2．切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图，PT是的切线，PAB为的割线，则． 3．割线定理 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 如图，PAB和PCD为的两条割线，则． 【题型1 三角形的内心的有关应用】 【例1】下列命题是假命题的是（     ） A．三角形的内心到三角形三边的距离相等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两角和夹边对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】从正方形的判定条件入手判断假命题． 【详解】解：A、B、D均为真命题． C为假命题，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，还需满足对角线互相平分． 【变式1-1】下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上，当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3个． 【变式1-2】如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】连接，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， 点I为的内心， 是的平分线， ， 由平移得：， ， ， ， 同理可得， ， 即图中阴影部分的周长为6． 【变式1-3】如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【题型2 一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例2】如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 【变式2-1】如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 【变式2-3】是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键． 如图所示，连接， ， ，，，，由三角形内切圆性质得到，，，，然后求出，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，，， ∵是的内切圆且半径为2， ∴，，， ∵的周长为26， ∴ ． 故选：C． 【题型3 三角形内切圆与外接圆综合】 【例3】我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 【变式3-1】已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题重点考查三角形的外接圆与外心、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定等知识，连接，由甲的作法可知，于点P，所以，则，所以的外心为点O，可判断甲正确；由乙的作法可知，假设的外心为点O，则，推导出，与已知条件不符合，可判断乙不正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，连接， 由甲的作法可知，于点P， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴的外心为点O， 故甲正确； 如图2，连接， 由乙的作法可知， 假设的外心为点O，则， ∴，与已知条件不符合， ∴的外心不一定为点O， 故乙不正确， 故选：A． 【变式3-2】如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-3】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 【题型4 特殊三角形的内切圆专项计算】 【例4】如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 【变式4-1】如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大， ∵，∠BAD=90°， ∴△EAD∽△EBC，∠B=90°， ∴，即， ∴， ∴EB=32cm， ∴， 设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H， ∴OF=OG=OH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此圆的半径为8cm， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式4-3】如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积为，可知最小时，有最大值，连接与交于点'，求出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：点、分别是、的中点，四边形是矩形， ， 在上，，， ， 设内切圆半径是， ， 最小时，有最大值， 如图，是的中点，所以点关于的对称点是点，连接与交于点'，    ， 此时即为最小值， ，， ， 最小值为， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将最小值转化为的长是解题的关键． 【题型5 三角形内心与几何证明问题】 【例5】如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】(1) 解：如图，点I为所求， (2) ①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ② 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 【变式5-1】已知内接于，为内心，交于．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 连接，要证明，只要求得，再根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数： (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 解：，证明如下： 如图所示，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3)60 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式5-3】如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵为直径， ∴， ∵点E是的内心， ∴分别平分、， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 【分析】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接与交于点F， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6 三角形内切圆与动点、最值问题】 【例6】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一个动点，求点的坐标，使得的值最小． (3)设抛物线的顶点为，则点在的外接圆的______（填“内部”或“外部”或“圆上”） 【答案】(1) (2) (3)外部 【分析】（1）根据函数图象经过的两点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）先求出对称轴，得出点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，此时的值最小，即为的长求出即可． （3）根据，得出的外接圆直径是，圆心是中点，求出圆心和半径，求出点到圆心的距离，与半径比较即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称， ∴连接交对称轴于点，连接，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ， ∴的最小值是， ， ， ∴的最小值为． （3）解：∵， ∴的外接圆直径是，圆心是中点，即， 半径是， 根据题意点坐标是， ∴， ∵， ∴点在的外接圆的外部， 故答案为：外部． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径、圆周角定理以及点与圆的位置关系、圆周角定理、三角形外接圆、勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长． 【变式6-1】直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）过点作于点G，作点G关于的对称点，连接，求出，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，设，则，求出，，由对称的性质得，易证，得到，当三点共线时，最小，此时，即，的最小值为的长，解直角三角形得到，，在中，，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，过点作于点G，作点G关于的对称点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴，， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 此时，即，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 【变式6-2】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值； (3)若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，此时， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形的内切圆，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴交于点，证明，列出比例式，转化为二次函数求最值即可； （3）根据三角形的内心为三个内角的角平分线的交点，得到轴为的角平分线，作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式进行联立，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ，解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，； （3）的内切圆的圆心恰好落在轴上，则轴为的角平分线， 作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点， 设直线的关系式为， 将点、代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线得，解得或， 点的坐标为． 【变式6-3】如图，半径为2的中，弦的长度为，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点． (1)求的度数； (2)当点沿着优弧从点开始，顺时针运动到点时，求的内心点所经过的路径的长度； (3)连接，设，求关于的函数解析式和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，2 【分析】（1）连接，过点O作于点M，求出，证明平分，即可解答； （2）连接，求出，当点A在优弧上的运动时，的内心点E所经过的路径为以D为圆心，圆心角为扇形的弧，即可解答； （3）作，连接，利用勾股定理，列出方程，求解化简得，再结合二次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：连接，，过点作于点，   ， ， 在中，， ， ， ， 是的内心， 平分， ； （2）解：如图，连接，，，   ，， 又，， ， ， ， 当点在优弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为的扇形的弧； 路径长度． （3）解：作，连接，    在中，， 在中，， ， ，， ，即， ． ∵， ∴开口向下，在对称轴直线时，有最大值，且为． 即的最大值为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，解直角三角形的相关运算，勾股定理，内心的性质，求弧长，二次函数的性质，难度较大，综合性较强，添加辅助线是解题的关键． 【题型7 三角形内切圆与几何压轴综合（函数/几何拼接）】 【例7】如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点． (1)求点和点的坐标（用含的式子表示）： (2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：； (3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 证明：如图，过点P作轴于点B， ∵直线 ∴ ∵的内心在轴上， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴ ∴ ∵轴 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴； ∵ ∴所在直线表达式为 联立和得， 解得或 ∴ ∵，为的中点， ∴，即 ∵ ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； (3)为定值 【分析】（1）将代入求出；联立和即可求出； （2）如图，过点P作轴于点B，首先得到，求出，得到，然后得到，推出；然后求出，由中点坐标公式得到，得到轴，然后结合三角形内角和定理即可证明； （3）如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D， 设，则，得到，利用的面积得到，表示出，利用二次函数的性质求出的最大值为，即，然后证明出，得到，然后求出，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， 解得或 ∴； 联立和得， 解得或 将代入得， ∴； （2）略 （3）解：如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵与直线相切于点B， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值 ∵的最大半径为 ∴ 由（2）得， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为定值． 【变式7-1】如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 【变式7-2】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)若，点是三角形内的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 解：，证明如下： ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴是线段的中垂线， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴； (3)12 【分析】（1）由旋转的性质可知：，，则为等边三角形，，根据，可证； （2）由为等边三角形，可得，则是线段的中垂线，则，，，由，可得； （3）如图1，将绕点逆时针旋转，到，连接，则是等边三角形，，，由，可知当四点共线时，的和最小， ，，则，为等边三角形的内心，，由，可得，由勾股定理得，，则，如图1，作于，则，，，由勾股定理得，解得，，进而可求的和最小值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图1，将绕点逆时针旋转，到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，的和最小， ∴，， ∴， ∴为等边三角形的内心， ∴， 由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 如图1，作于， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 解得，， ∴的和最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形内角和定理，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，内心等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，半径为2的中，弦的长度为，点是优弧上的一个动点，点是的内心，连接交于点，交圆于点．    (1)求的度数； (2)当点沿着优弧从点开始，顺时针运动到点时，求的内心点所经过的路径的长度； (3)连接，设，，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，内心的性质，添加辅助线是解题的关键． （1）连接，过点O作于点M，求出，证明平分，即可解答； （2）连接，求出，当点A在优弧上的运动时，的内心点E所经过的路径为以D为圆心，圆心角为扇形的弧，即可解答； （3）作，连接，利用勾股定理，列出方程，求解即可． 【详解】（1）连接，，过点作于点，   ， ， 在中，， ， ， ， 是的内心， 平分， ； （2）如图，连接，，，   ，， 又，， ， ， ， 当点在优弧上的运动时，的内心点所经过的路径为以为圆心，圆心角为的扇形的弧； 路径长度． （3）作，连接，    在中，， 在中，， ， ，， ，即， ． 【题型8 圆与三角形综合】 【例8】如图，是的直径，为上-动点，是半径上一动点（不与点，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，过点作的切线交于点．    (1)求证：． (2)已知是的中点． ①若，判断四边形的形状，并说明理由． ②若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形．理由见解析；② 【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直和切线的性质得，即，即可得； （2）①连接，，，根据是的中点，得，则，即为等边三角形，，即可得，根据，得为等边三角形，即，可得四边形为平行四边形，根据，即可得四边形是菱形；②在中，，得，设，根据勾股定理得，，解得，则，，即可得，，．在中，，，根据是的中点得，根据得，即，根据得，根据得,根据得,根据，得，则，根据，即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①四边形是菱形．理由： 解：如图，连接，，，    ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ②∵在中，， ∴， 设， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴，， ∴，，， 在中，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， 即，代入得， 解得． 【点睛】本题考查了圆的性质，菱形的判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 【变式8-1】如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解答本题的关键． （1）连接、交于点，为正三角形，为等腰直角三角形，利用计算即可； （2）过点作交于点，设，，则，则四边形即可计算． 【详解】（1）解：连接、交于点， 为正三角形，，， ，， ， 等腰直角三角形， 垂直平分， ，为等腰直角三角形， ， ． （2）解：过点作交于点， 设，，则， ． 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为． 【变式8-2】如图1，，是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，且满足．连结交于，连结，，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)； (3) 【分析】（1）连接，设，则，由可得，再由为直径，可得，求出，最后由等腰三角形的判定证明即可； （2）先由勾股定理求解，再判定为等腰三角形，且，根据边的关系求解即可； （3）由弧的关系可得圆心角的关系，证明为等腰直角三角形，再得到，由此可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作垂直于，垂足为，如图， ∵，， ∴在中，， ∵，, ∴， ∵, ∴， , ∴为等腰三角形， ∵垂直于， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点到线段的距离为， ∵， ∴要使得的面积最大，就是当， 此时，为等腰直角三角形，且， 连接，过点D作，如图， ∵， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并适当添加辅助线． 【变式8-3】如图，中，，为线段上异于B、C的一动点，以为圆心，的长为半径作与分别交于．    (1)若，随着点的运动，的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值； (2)从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求的度数， （供选择的条件：①，②与相切，③为的中点） 解：你的选择是：______________________（填序号） 【答案】(1) (2)①③， 【分析】（1）在上取任意一点G，连接，，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得可得，再根据圆内接四边形的性质即可求解． （2）根据等腰三角形的性质可得，，，再根据平行线的性质可得，进而可得，进而可求解． 【详解】（1）解：，理由： 在上取任意一点G，连接，，如图：   四边形是圆内接四边形， ，， ， ， ， ， 、分别是、的一个外角， ，， ， ，， ， ，为定值． （2）选择①，③为的中点为条件， ，为的中点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关的性质，借助适当的辅助线是解题的关键． 【探究式学习】 1．学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）在上截取一点E，使得，连接，，根据，D是弦所对的优弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等证明和都为等边三角形，得到，再证明，得到，即可得到结论； （3）分两种情况讨论，①当点D是弦所对的劣弧的中点时，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，根据四点共圆得到，点D是弦所对弧的中点，得到，，证明，得到，再证明，得到，在中，利用即可求解；②当点 D是弦所对的优弧的中点时，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，由同弧所对的圆周角相等，得到，证明，得到，，证明，得到，在中，，得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ， ，都是的直径， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，在上截取一点E，使得，连接，，    ，D是弦所对的优弧的中点， ， ，，， 和都为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①当D是弦所对的劣弧的中点时，如图，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，    A，B，C，D四点共圆， ， ， ， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 在和中， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 点D是弦所对弧的中点，， ， 在中， ， ； ②当点 D是弦所对的优弧的中点时，如图，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，   点D是弦所对弧的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】此题属于圆的综合题，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，作辅助线，一定要注意将所学知识贯穿起来． 2．【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 3．“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1) ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【课后检测】 1．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 2．如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 4．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项． 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合． ∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点． ∴D选项说法正确． 故选：D． 6．如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，点O为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握内心的定义是解题的关键．连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点是的内心， ． 故选：D． 8．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 9．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内心，圆周角定理，等腰三角形的判定，掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 根据三角形内心的性质可对（1）进行判断；根据圆内接四边形对角互补直接可对（2）进行判断；根据三角形内心的性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形等角对等边可对（3）进行判断；根据三角形内心的性质，等弧和等弦的关系可对（4）进行判断． 【详解】解：（1）∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点， ∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴， ∴， 故（2）正确； （3）∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（3）正确； （4）∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故（4）正确； ∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3． 故选：C． 10．如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（   ） A．点是三条高的交点 B．点是三条中线的交点 C．点是三条角平分线的交点 D．点是三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内心和垂直平分线的性质，掌握三角形的内心是解题的关键． 首先根据点是的内心知道点是三条角平分线的交点，进而得到，再根据，得到点在和的垂直平分线上，即可推断点是三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵点是的内心，、、， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 11．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形内心的定义和性质． 根据等腰三角形性质求出，再结合三角形内心的性质，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 14．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 15．如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求； 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据中位线定理可得，进而得，由得，代换得，故即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，由、是的中线可得也是的中线，同（1）可证平分，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接，即为所求； ∵点是的中点，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． ∵点是的中点，是中点，即、是的中线， ∴是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分， 又∵平分，交于点， ∴点是的内心． 16．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【答案】(1)解：所作的内心如图所示： (2) 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，作出任意两个角的平分线即可得到的内心； （2）连接，过点作于点，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，以及勾股定理求出，再结合弧、弦、圆心角的关系，以及解直角三角形的相关计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点， 的内心为， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 18．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【复盘笔记】 第 2 页 共 82 页 第 1 页 共 82 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 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