专题30.2三角形的内切圆 专项讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形内切圆核心知识点，系统梳理内切圆与内心的概念、内心作为角平分线交点的性质，核心公式（面积=周长×半径÷2及直角三角形专属公式），并以易错点辨析和技巧总结为学习支架。 资料通过4大题型（含各地期末真题例题与变式）系统呈现，结合易错点对比（内心外心区分）和速记技巧，培养几何直观与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的能力。

专题30.2三角形的内切圆 【新人教版】 【题型1 概念辨析】...............................................................................................................................................2 【题型2 三角形内心有关应用】...........................................................................................................................3 【题型3 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】...........................................................................................3 【题型4 三角形内切圆与外接圆综合】...............................................................................................................4 1. 基本概念 与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。 2. 内心的性质 · 内心是三角形三条角平分线的交点； · 内心到三角形三边的距离相等（距离即为内切圆半径r）； · 内心一定在三角形内部（任意三角形都成立）。 3. 核心计算公式（必考） 三角形面积、周长、内切圆半径关系：，C：三角形周长，r：内切圆半径。 4. 直角三角形专属公式 直角三角形内切圆半径：，a、b为直角边，c为斜边 易错1：内心、外心概念混淆 内心：角平分线交点，切三边、距边相等； 外心：垂直平分线交点，过三顶点、距顶点相等。 易错2：公式乱用 通用公式、直角三角形公式混用、记错。 易错3：误认为内心位置可变 无论锐角、直角、钝角三角形，内心永远在三角形内部。 易错4：概念表述错误 外切三角形≠外接三角形，内切圆只对应外切三角形。 技巧1：速记口诀 内心角分三线交，永在内部距边等； 面积周长求半径，直角三角有简公式。 技巧2：求内心角度万能模型 任意三角形，已知两内角，可快速求内心夹角： 内心夹角=90°+1/2对顶角 技巧3：半径计算选择策略 · 普通三角形：优先用倒推r； · 直角三角形：直接套专用公式秒杀。 技巧4：内心证明判定 证明一点为三角形内心：只需证该点到三角形两条边距离相等（角平分线交点）。 题型一 概念辨析 【例1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚硬币时，反面朝上是必然事件 B．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．所有的矩形都相似 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆周角所对的弧相等 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相似三角形的面积之比等于相似比的平方 题型二 三角形内心有关应用 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，I为的内心，则______． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线经过点，对称轴为直线与x轴交于点B，点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，则点C的坐标是_____． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 题型三 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例3】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 【例4】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【变式4-3】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.2三角形的内切圆 【新人教版】 【题型1 概念辨析】...............................................................................................................................................2 【题型2 三角形内心有关应用】...........................................................................................................................4 【题型3 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】...........................................................................................9 【题型4 三角形内切圆与外接圆综合】.............................................................................................................13 1. 基本概念 与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。 2. 内心的性质 · 内心是三角形三条角平分线的交点； · 内心到三角形三边的距离相等（距离即为内切圆半径r）； · 内心一定在三角形内部（任意三角形都成立）。 3. 核心计算公式（必考） 三角形面积、周长、内切圆半径关系：，C：三角形周长，r：内切圆半径。 4. 直角三角形专属公式 直角三角形内切圆半径：，a、b为直角边，c为斜边 易错1：内心、外心概念混淆 内心：角平分线交点，切三边、距边相等； 外心：垂直平分线交点，过三顶点、距顶点相等。 易错2：公式乱用 通用公式、直角三角形公式混用、记错。 易错3：误认为内心位置可变 无论锐角、直角、钝角三角形，内心永远在三角形内部。 易错4：概念表述错误 外切三角形≠外接三角形，内切圆只对应外切三角形。 技巧1：速记口诀 内心角分三线交，永在内部距边等； 面积周长求半径，直角三角有简公式。 技巧2：求内心角度万能模型 任意三角形，已知两内角，可快速求内心夹角： 内心夹角=90°+1/2对顶角 技巧3：半径计算选择策略 · 普通三角形：优先用倒推r； · 直角三角形：直接套专用公式秒杀。 技巧4：内心证明判定 证明一点为三角形内心：只需证该点到三角形两条边距离相等（角平分线交点）。 题型一 概念辨析 【例1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚硬币时，反面朝上是必然事件 B．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．所有的矩形都相似 【答案】C 【详解】解：A、掷一枚硬币时，反面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件；错误； B、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心；错误； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角也相等；正确； D、相似多边形要求对应角相等且对应边成比例，所有矩形对应角都相等，但对应边不一定成比例，因此不是所有矩形都相似；错误． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆周角所对的弧相等 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三点确定一个圆 D．相似三角形的面积之比等于相似比的平方 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理的推论、三角形内心的性质、确定圆的条件及相似三角形的性质，需根据各知识点逐项判断对错． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，∴A选项错误； ∵三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是外心，∴B选项错误； ∵不共线的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，∴C选项错误； ∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，∴D选项正确． 故选：D． 题型二 三角形内心有关应用 【例2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，I为的内心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正切的定义、三角形内心的概念、勾股定理以及正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关概念，构造直角三角形，利用三角形面积关系求解． 分别过I点作于D，于E，先求出，再利用三角形的面积关系求出和后即可求解． 【详解】解：如图，分别过I点作于D，于E， ∵中，， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2-1】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线经过点，对称轴为直线与x轴交于点B，点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及三角形的内心． 先根据对称轴为直线且抛物线过点求得抛物线解析式，再由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：将点代入，得， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵的内心恰好在x轴上， ∴x轴是的角平分线，即， ∴的三个内角的角平分线交点在x轴上， ∴点C在y轴的左侧， 如图，过点C作轴于点D， 由题意知，， ∴， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点是的内心， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 题型三 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例3】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 【例4】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握内心的定义是解题的关键．连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点是的内心， ． 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 【变式4-3】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $