30.2.2正多边形与圆(1)教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“正多边形与圆的关系”核心知识点，通过提问“一般多边形是否有外接圆和内切圆”导入，结合知识预备中对正三角形、正方形性质的回顾，搭建旧知到新知的学习支架，引出正多边形定义及与圆的内在联系。 以等分圆推导正多边形性质为特色，结合延安宝塔地基正八边形面积计算实例，强化几何直观与应用意识。通过动手绘图、例题计算培养推理能力，帮助学生建立数形联系，提升知识运用能力，也为教师提供清晰教学路径与实操策略。

第二课时30.2.2正多边形与圆(1)教学设计 一、素养目标 1.理解正多边形和圆的关系，掌握中心、半径、边心距等相关概念； 2.通过等分圆推导正多边形性质，提升几何推理与数形结合思维； 3.运用相关性质完成基础计算，感受几何图形对称美感，增强知识实操应用能力. 二、教学重点、难点 重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 三、教学过程 课堂导入 我们知道，三角形有外接圆和内切圆.对于一般的多边形是否也有外接圆和内切圆呢？对于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？ 知识预备 1.等边三角形的三条边_____，三个内角_____，都是___° 2.正方形的四条边_____，四个内角_____，都是___° 参考答案：1、相等，相等，60 2、相等，相等，90 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫作正n边形. 日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案.你还能举出一些这样的例子吗？ 正多边形和圆的关系非常密切.只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆.例如，下图(1)中的多边形是⊙O的内接正九边形，图(2)中的多边形是⊙O的外切正六边形. 下面以圆的内接正五边形为例进行证明. 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ∵ ＝＝＝＝ ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ＝3＝ ∴ ∠A＝∠B 同理 ∠B＝∠C＝∠D＝∠E 又 五边形ABCDE的顶点都在⊙O上 ∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆. 有关概念 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.(内切圆的半径) 类比学习 思考 正n边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 内角：或 外角： 中心角： 中心角与外角的大小相等 例题讲解 例 如图，延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6m的正八边形(如图).求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 解：如图，连接OA，OB，作AP⊥OB，垂足为P. ∵ 八边形ABCDEFGH是半径为6m的正八边形 ∴ OA＝OB＝6，∠AOB＝＝45° 又 △APO为直角三角形 ∴ ∠OAP＝∠AOB，∴ AP＝OP 在Rt△APO中，由勾股定理，得 AP2＋OP2＝OA2 ∴ AP＝OA＝ 因此，宝塔地基的面积 S＝8××OB×AP＝8××6×＝≈101.8(m2) 四、课堂练习 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明理由；如果不是，举出反例. 2.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 参考答案：， 1、 各边相等的圆内接多边形是正多边形。因为根据圆中弦相等，所对的圆心角相等，然后根据内角和可得内角相等。所以是正多边形。各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，比如矩形。 2、 圆内接正三角形边长为、边心距为和面积为. 圆内接正方形的边长为、边心距为和面积为2R²。 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课以等分圆周引入正多边形相关知识，学生基本认识了中心、边心距等概念，但不少学生混淆外接圆半径与边心距，利用勾股定理计算线段长度时频繁出错。课堂留给学生动手等分圆作图的时间不足，学生难以直观理解正多边形与圆的内在联系，面对综合计算题缺乏解题思路。后续教学要增加动手绘图练习，用表格梳理各个要素的计算公式，设置梯度习题，强化数形结合思想，夯实学生计算与知识运用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $