精品解析：云南玉溪师范学院附属中学2026-2027学年高三上学期开学考数学试题

玉溪师院附中2027届高三上学期开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知向量，若，则等于（ ） A. 9 B. 3 C. -1 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直利用数量积的坐标表示解方程可得结果. 【详解】因为，所以，得. 故选：C. 3. 已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ） A. =1 B. +y2=1 C. =1 D. +x2=1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得c=1，，从而求出，代入即可得解. 【详解】由焦点为(-1，0)和(1，0)，可得：c=1， 由点P(2，0)在椭圆上，可得为椭圆右顶点，故， 所以, 所以椭圆的方程为=1. 答案：A. 【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查椭圆的性质，属于基础题. 4. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合求解，再由充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（       ） A. B. C. D. 与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由， 得， 由该曲线表示圆， 可知， 解得或， 故选：B. 8. 设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先由导数确定函数单调性，再求导确定，结合极值及零点存在定理确定零点个数即可. 【详解】由且知，当时，，当或时，，则函数在上单调增， 在上单调减，在上单调增，又，则， 则，所以， 又，所以函数有三个零点. 故选：D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某企业2025年年度营业费用情况如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 基本工资占比最高 B. 奖金高于基本工资 C. 加班费与包装费相同 D. 员工工资支出占比不到 【答案】CD 【解析】 【详解】根据图，广告费的占比最高，故A错误； 奖金为，基本工资为，所以基本工资高于奖金，故B错误； 加班费和包装费均为， 故C正确； 员工工资支出包括基本工资、加班费和奖金，占比为，不到，故D正确. 10. 对于函数，如下结论中，正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. C. 在上是增函数 D. 它的一个对称中心为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A选项，因为，因此函数的周期，故A选项错误； 对于B选项，，故 B 选项正确； 对于C选项，由，时函数单调递增可得，，， 当时，区间为，故C选项正确； 对于D选项，当，时，， 故时，，即函数的一个对称中心为，因此D选项正确. 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（   ） A. B. 平面平面 C. 点G到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理证明出平面可判断A，由面面垂直的判定定理证明平面可得B正确；将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥外接球的半径，利用球体的表面积可求得结果可判断D；利用等体积法可求得点到平面的距离可判断C. 【详解】在正方形中，，，， 在三棱锥中，则，， ，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 且，又，又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确； 将三棱锥补成长方体， 所以，三棱锥外接球的直径为， 因此，三棱锥外接球的表面积为，故D正确； ，， ，取的中点，连接，则， ，则， 设点到平面的距离为，由，可得，解得，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 故虚部为. 13. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】应用有理数指数幂、对数的运算性质化简求值即可. 【详解】原式． 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再根据，得到的坐标，然后代入到直线中即可求出． 【详解】解：设，由，得，则当时，， 所以过且与平行的直线的方程为， 过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，， ，所以，即 ，解得； 故答案为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． （1）求C的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【小问1详解】 因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 16. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线. （1）证明：平面； （2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明：因为，是圆柱的两条母线， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱母线的概念，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面. （2）先根据条件，确定圆柱的母线长与底面半径的关系，再确定直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 而底面，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 又由（1）知，所以平面 所以为直线与平面所成的角. 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l， 因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得， 又Ｃ为弧的中点，所以， 所以在中， 在中， 所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 在锐角中，角的对边分别为，且满足. （1）求证：； （2）设的周长为，求的取值范围. 【答案】（1） 因为，由余弦定理得， 所以，， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证； （2）先由角的关系得出，再结合正弦定理可得，最后结合二次函数值域得出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由，得， ，结合二次函数单调性易知， 即的取值范围为. 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; （2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球. (2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. 【小问1详解】 设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为. 设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球, 则, 故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为. 【小问2详解】 因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为 . ②比分为2:2的概率为. ③比分为3:2的概率为 . 综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 19. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：（为自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 设，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，所以当时，，即. 因为，所以. 所以. 即，故. 【解析】 【分析】（1）通过对递推公式进行变形，构造出一个新的等比数列，进而求出数列 的通项公式； （2）先根据（1）求出 的表达式，然后利用分组求和以及错位相减法求出数列 的前 项和 ； （3）要证明 ，可先构造函数，利用导数研究函数的单调性，可得，通过放缩法得到 的一个不等式，再利用对数函数的性质进行证明. 【小问1详解】 因为，所以. 因此是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 记，① 则.② ①-②得， 所以. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2027届高三上学期开学考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则等于（ ） A. 9 B. 3 C. -1 D. -3 3. 已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ） A. =1 B. +y2=1 C. =1 D. +x2=1 4. 已知，则“”是“”的（　　） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 6. 设等差数列的前n项和为，若，，则（       ） A. B. C. D. 与有关 7. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某企业2025年年度营业费用情况如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 基本工资占比最高 B. 奖金高于基本工资 C. 加班费与包装费相同 D. 员工工资支出占比不到 10. 对于函数，如下结论中，正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. C. 在上是增函数 D. 它的一个对称中心为 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（   ） A. B. 平面平面 C. 点G到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的虚部为__________． 13. 计算_______． 14. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． （1）求C的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程． 16. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线. （1）证明：平面； （2）若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. 17. 在锐角中，角的对边分别为，且满足. （1）求证：； （2）设的周长为，求的取值范围. 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; （2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 19. 已知数列的首项，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：（为自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $