云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三开学考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C D A C A 【解析】 1.  【解析】解：因为，， 所以． 故选：． 2.  【解析】解：， ， ． 故选：． 3.  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，是中档题． 根据题意，结合基本不等式，逐项判断即可． 【解答】 解：，，且， ，，，当且仅当时取等号， ， 有最小值，故A正确； 由上可知，当且仅当时取等号，当逐渐接近于，此时逐渐接近于，逐渐接近于，没有最小值，故有最大值，没有最小值，故B错误； 同样当逐渐接近于，此时逐渐接近于，趋近于， 没有最大值，故C错误； ， 由于只有最大值，没有最小值， 只有最大值，没有最小值， 没有最大值，故D错误． 故选：． 4.  【解析】解：根据题意，设等差数列公差为， 则， 又， 所以， 即， 若，，成等比数列， 则， ， 即， 解得：． 故选：． 5.  【解析】【分析】 本题考查了偶函数的性质，属于基础题． 利用偶函数的性质，即可求出． 【解答】 解：因为是偶函数， 所以， 所以． 故选   6.  【解析】【分析】 本题考查椭圆中离心率有关的计算，整体难度不大，利用关系建立方程求解即可． 【解答】 解：易得，，，得，解得故选   7.  【解析】【分析】 本题考查导函数图象与原函数图象的关系，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题． 根据函数的单调性确定虚线部分为，再求函数的单调性可求出最值． 【解答】 解：由题意可知，两个函数图像都在轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，则，显然错误， 对于，而言，，由图像可知单调递增，，单调递减，所以函数在处取得最大值为． 故选C． 8.  【解析】【分析】 本题考查解三角形，平面向量数量积运算，属较难题． 【解答】 解：， ，， ， ，选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BD BCD 【解析】 9.  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断与应用，二项分布，回归直线方程以及线性关系性，正态分布的性质，属于基础题． 利用二项分布的期望，列出方程求解判断，回归直线方程的性质判断；相关关系判断；正态分布的性质判断． 【解答】 解：若，且，可得，所以，所以A正确； 设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位，满足回归直线的性质，所以B正确； 线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，所以不正确； 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则，满足正态分布的性质，所以D正确． 故选：． 10.  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 利用向量平行的关系验证可判断；利用同角三角函数求出与的关系，结合向量垂直性质即可判断；通过向量的模的求法求解判断；利用向量的数量积结合同角三角函数的关系可求得，进而利用投影数量的定义即可判断． 【解答】解：对：若，则，即， 故不存在这样的使得，故A错误； 对：当时，则， 则，则与垂直成立，故B正确， 对：若，则， 得，即，此时存在，故C错误； 对：因为，即， 结合，解得，， 所以， 在方向上的投影的数量为，故D正确． 故选BD． 11.  【解析】解：对于，连接，，因为，分别是棱，的中点，所以， 所以直线与所成的角为， 因为几何体是正方体， 所以为等边三角形， 所以，即直线与所成的角为，故A错误 对于，连接，，因为， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 因为，，梯形的高为， 所以梯形的面积为，故B正确 对于，因为其中，所以 所以 ， 所以点在线段上， ， 又因为与平行，平面，平面， 所以到平面的距离为定值，三角形的面积为定值， 所以为定值。故C正确 对于，因为， 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以为圆心，圆心角为，以为半径的圆弧，其弧长为，是直角三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为的圆弧，其弧长为，是等边三角形，球面与这个面的交线是以为圆心，圆心角，半径为的圆弧，其弧长为，所以球面与三棱锥表面的交线长为 故D正确 故选：  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 3     12.解：由函数满足，可知周期为， 由，可得图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 由图可知两图象交点个数为，故答案为． 13.本题考查两角和与差的正弦公式、利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题． 由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系可求，从而可求解． 解：，， ，， 由得， 所以， 即． 14.本题考查古典概型的计算与应用，排列与排列数公式，属于较难题．利用定序的排列问题求空；利用古典概型求空． 解：若由数字，，，组成的五位五进制数，要求，，，每个数字都要出现， 则需要先从，，，这个数字中选取个数字作为重复出现的数字， 再将不重复出现的个数字从个位置中选个进行排列， 最后剩余个位置排重复数字， 故所求不同的五位五进制数共有个； 数字，，组成的三位五进制数总共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为，，， 转化成十进制后此数为， 此数能被整除等价于能被整除， 因为，所以能被整除的只有，，三种情况， 若，则的取值有，这种； 若，则的取值有，，，，这种； 若，则的取值有，这种． 故能被整除的数共有个， 所求概率为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，，，且， 所以的值域是． 因为． 若，当时，，所以在上单调递增， 所以，不符合题意． 若，当时，；当时，， 所以在上单调递減，在上单调递增， 要存在，当，， 则只需，所以．   【解析】本题考查利用导数求函数的最值，利用导数研究存在性问题，属于中档题． 根据导数求解函数单调性，即可得到函数相应区间的值域； 求导，利用函数单调性，即可得到符合条件的参数范围． 16.解：， 由正弦定理得， 即， ，， ， ； 在中，，，， 由正弦定理得，即，得， ， ， ，， 在中，，， 由余弦定理得，， ，又， 的周长为．   【解析】详细解答和解析过程见． 17.解：证明：因为平面， 以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线所成的角为， 所以， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面；  由知，， 所以点到平面的距离为； 假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得，， 化简得，则或舍去，即存在点符合题意，此时．  【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到面的距离的求法，考查利用线面夹角求解线段长的求法，属于中档题． 建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证明线面平行； 建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； 假设存在，列出方程求解即可． 18.解：假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过． 由题意； 第次触球者是甲的概率记为， 则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为， 则， 从而， 又， 是以为首项，公比为的等比数列， 则， ，， ， 故第次触球者是甲的概率大．  【解析】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算以及等比数列的应用问题，属于拔高题． 计算，对照题目中的表格，得出统计结论； 根据古典概型公式计算即可； 根据等比数列的性质证明数列为等比数列，求得的通项公式，进而求得，，比较大小即可． 19.解：由题意知， 在中，令得， ，，则，， 的方程为． 由知，则圆，圆心为，半径为， 当斜率存在时， 设直线的方程为，， ， ， 则， 设到的距离为，则． ，所以． 当点到线段的距离为时，的面积最大， 则 ， 令， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减， 当时，取得最大值，此时， 此时，，即，． 当斜率不存在时，由知． 因为，所以． 取圆的半径与线段交于，半径与圆交于，如图， 则线段上的点、，到圆上的点的距离最小值分别为，， 当半径于时，线段上的点到圆上点的距离最小值中，为最大值，为， 故的面积最大时，． ， ， ， ， 同理， ．  【解析】本题考查椭圆与圆有关的新定义问题，椭圆与圆中的面积最值问题，涉及利用导数判断最值，涉及集合的概念理解，属难题． 在圆方程中令，求得垂直于轴时的，结合已知可得、、的值，即可得椭圆方程； 当斜率存在时，设直线的方程为，设到的距离为，则，要求面积最大，则，构造函数，利用导数求最值，可得，当斜率不存在时，，综上可得，分析可得； 由题意理解最小距离的最大值概念，利用放缩法即可得证． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三开学考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知集合，，则 A． B． C． D． 2． 复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，，若，则 A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 4． 已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则 A． B． C． D． 5． 已知是偶函数，则 A． B． C． D． 6． 设椭圆，的离心率分别为，若，则 A． B． C． D． 7． 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则 A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 8． 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，，，分别为正多边形的顶点，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列说法正确的是 A．若，且，则 B．设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位 C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 10．已知向量，，则下列命题正确的是 A．存在，使得 B．当时，与垂直 C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影的数量为 11．在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，下列选项中正确的是 A．直线与所成的角为 B．平面截正方体所得的截面面积为 C．若点满足，其中，则三棱锥的体积为定值 D．以为球心，为半径作一个球，则该球面与三棱锥表面相交的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数满足，且则方程的实数解的个数为          ． 13．已知，，则          ． 14．数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制、五进制五进制是“逢五进一”的进制，由数字，，，，来表示数值，例如五进制数转化成十进制数为若由数字，，，组成的五位五进制数，要求，，，每个数字都要出现，例如，则不同的五位五进制数共有          个若从由数字，，可重复组成的三位五进制数中随机取个，则该数对应的十进制数能被整除的概率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． （1）当时，求在区间上的值域； （2）若存在，当时，，求的取值范围． 16．（15分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，，求的周长． 17．（15分） 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 足球是一项大众喜爱的运动．卡塔尔世界杯揭幕战将在年月日打响，决赛定于月日晚进行，全程为期天． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 女性 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． （i）求直接写出结果即可； （ii）证明：数列为等比数列，并判断第次与第次触球者是甲的概率的大小． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线与相切，与圆相交于，两点当垂直于轴时，． （1）求的方程 （2）对于给定的点集，，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若，分别为线段与圆上任意一点，为圆上一点，当的面积最大时，求； （ii）若，均存在，记两者中的较大者为已知，，均存在，证明：． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$