云南百师联盟2027届高三上学期开学考试数学试题

® 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由题意知，集合A是点集，元素是点，集合B是数集，元素是实数，故A∩B=⑦.故选D. 1+2a=0 2.B【解析】因为之=(1十2i)(1-ai)=(1十2a)十(2-a)i,之为纯虚数，所以 2-a≠0 0”解得a=故选B 3.C【解析】因为a=(3,0),b=(x,2),所以a十b=(3十x,2).所以向量a十b在向量a上的投影向量为 (a+b)·a3x+94 a2a= 9a=3a,解得x=1故选C. 4.A【解析】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种选择，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人.为了使 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站（未选的人和甲、乙一组），不同的分 配方案数为C十C=4.所以不同的分配方案共有2×4=8种.故选A. 5.D【解析】因为aw+1=3Sn十3，所以当n≥2时，am=3Sm-1十3. 两式相减，得am+1一an=3an,所以am+1=4am,即公比q=4. 当n=1时，a2=4a1=3a1十3，解得a1=3,所以am=3X4"-1, 所以a4=3×43=192.故选D. 6.C【解析】由题意，得△T(n)=T(n)-T(n十1)=40e0.1m+10-[40e.1m+1)+10]=40eo.1m(1-e0.1)≈ 4eo.1n.由4e-o.n<0.4,得eo.m<0.1.两边取自然对数，得-0.1n<ln0.1,所以0.1n>ln10≈2.30，解得n> 23,所以满足停止迭代条件的迭代次数n至少为24.故选C. 7.A【解析】设AB=1,则AD=1,AA1=2.以{AB,AD,AA1}为基底，则由题意，得AB·AD=0,AB·AA1 AD.AA-1.因为BA-AA-A店，D立-DC+C立-A店-2AD, 所以1BA|=√(AA1-AB)2=√AA2-2AB·AA1+AB2=√4-2+I=3, D-动可--a市+市--+-， BA,D=AA-脑·(i-号A-A脑·AA-A-号A市·AA+号A店.A市=1-1-号+ 所以cos(BA,D,E)=BA·D,立 七酸A与正酸有杂波位勇 BAD× 2 晋放适人 8.D【解析】因为AF2=2F2B,所以设|BF2=m,则|AF2|=2m 由椭圆的定义，得|BF1|=2a一m,|AF1|=2a一2m. 在Rt△AF1F2中，AF1|2+|AFz|2=|F1F212,因为F1F2|=2√3，所以(2a-2m)2+(2m)2=12.① 在Rt△AF1B中，AF1|2+AB|2=|BF1|2,即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2.② ①高三数学答案第1页（共7页） 联立0g,解得-5。-35又附为-8，所以稀时C的离心率。-后- a3√15 汽故运D 5 9.ABD【解析】由题意，得a=2X4+3=11,b=22×3=12,c=2×8=16,d=2×5+3=13.故选ABD 10.BCD【解析】因为am十am+1=6n一1，所以am+1十am+2=6n十5.两式相减，得am+2一am=6.因为a1=2,所以 a3=a1十6=8，故A错误.因为a1=2,a1十a2=5,所以a2=3.因为am+2一am=6,所以数列{a2m-1}是以2为首 项，6为公差的等差数列，数列{a2n}是以3为首项，6为公差的等差数列，故B正确.由以上分析，得a2m-1=6n一 4,a2m=6n-3,所以a2m-a2m-1-(6n-3)-(6n-4)=1,故C正确.S5=a1+(a2十a3)+(a4+a5)+…+ (a4十a5)=2十11+23十…+(6×14-1)=2十6×(2+4十6+…+14)-7=331，故D正确.故选BCD. 11.AC【解析】设双曲线C51的焦距为2c,实轴长为2a,虚轴长为26，则。2=25,6=11，所以c2=@2十 6=36,所以a=5,c=6,所以双曲线C的离心率e=合-号，故A正确，因为线段AF,的垂直平分线经过原点 O,B为线段AF2的中点，O为线段F1F2的中点，所以OB为△AF1F2的中位线，且OB⊥AF2,所以AF1⊥ AF2,所以△AF1F2为直角三角形，所以△AF1F2的外接圆直径为F1F2|=12,所以△AF1F2的外接圆周长为 12x,故B错误BF,-B0=2AF,-号AF,=2AF,-AF:)=a=5,放C正确.因为AF,+ |AF2|2=|F1F212=144,lAF2|-|AF1=2a=10, 所以AF·AF:=2CAF,+AF:-(AF:-AF:)]=2,故D错误故选AC 123【解析】设正四楼台的商为点，则其体积V=号×(3+5+√厚X写)X=49,解得6=3. 13.g 【解析们因为2a+肾=(。一剖+受，所以mz+)-cos2e-)因为sn。一)-子， 所以cos2(e-)1-2s(e-)1-8-g所以sm2a+）日 14.(-∞，写U(3,十o)【解析】因为fx)=e1+e-x2+2xx∈R,所以x)-f2-x)=e1+e- x2+2x-e1-x-e-1十(2-x)2一2(2-x)=0,所以f(x)的图象关于直线x=1对称. 因为f'(x)=e1-e-2x+2,设g(x)=f(x),则g(x)=e1+e-2=e1+。-22 1 ·。一一？-0，当且仅当心-即x-1时，等号成立，所以函数化)在R上单调递增。 2/e1. 又因为f'(1)=0,所以当x∈(-∞，1)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减，当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,函数 f(x)单调递增.由f(m+2)<f(2m-1),得|m+2-1|<|2m-1-1|,所以(m+1)2<(2m-2)2.整理得(m 3)(3m-1D>0,解得m<号或m>3,即不等式的解集是(-，)U(3,十co∞)。 ①高三数学答案第2页（共7页） 15.解：(1)完整的列联表如下. …3分 自主优化能力 仿真软件使用情况 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 零假设为H。:储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力无关. …4分 由列联表中的数据，计算得 X:-100X（22×16-28X34-450≈5.84>3.841=zs. 50×50×56×44 77 …6分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. ……7分 (2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3. 因为新员工第1天、第2天，第3天使用储能仿真软件开展工作的概率分别为2,3,4， 111 所以P(x=o)-(-)×-)×-)=是， px==3×-)x-)+-2)×3×-)+-)×-)x-品 p(x=2)-号×号×-)+×-)×是+1-2)×号×4-号 1 111 P(X=3)=2×3×4=24 故X的分布列如下表. …11分 0 1 2 3 P 11 1 24 24 所uX的数学期数E(X)=0x+1X+2x号+3×分品 1 ,113 …13分 16.解：(1)，A+B+C=π，.cosB=cos(π-A-C)=-cos(A+C), ∴.√3cos(A-C)+√3cosB=√3cos(A-C)-√3cos(A+C)=2W3 sin Asin C. '√3cos(A-C)+√3cosB-2 csin Acos B=0, ..23 sin Asin C=2csin Acos B, 整理得√3 sin Asin C=csin Acos B.… …4分 A∈(0，r),.sinA≠0，.3sinC=√3 ccos B. ①高三数学答案第3页（共7页） 又.b=3,∴.bsin C=√3 ccos B. 由正弦定理，得sin Bsin C=√3 sin Ccos B.…7分 C∈(0，π)，∴.sinC≠0，.tanB=√3. B∈(0，)，B=π 3………………9分 (2在△AC巾，b=3c=月，B=子， .由余弦定理，得9=a2+3-2W3a·cos ,化简得a2-3a-6=0. 解得a=2√3或a=一√3（舍).… …12分 "'b2+c2=a2,.A= 2· D是AC的中点，AD=3, 2 BD-ABAD- 2…15分 17.(1)证明：在△A1AC中，∠A1AC=60°，AC=1,AA1=2, “由余弦定理，得A1C=,AC+AA-2AC·AA1·c0s乙A1AC=,1+4-2X1X2×Z=5. AC2十A1C2=AA?,∴.A1C⊥AC.… …3分 A1C⊥AB,AC∩AB=A,AC,ABC平面ABC, A1C⊥平面ABC.…5分 ACC平面A1BC,.平面A1BCL平面ABC.…6分 (2)解：由(1)，得A1C⊥平面ABC.又AC,BCC平面ABC,∴.A1C⊥AC,A1C⊥BC. 又AC⊥BC,∴.A1C,AC,BC两两相互垂直. 以点C为坐标原点，分别以CA,CB,CA1所在的直线为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系 设BC=k(k>0),由(1)知A1C=√5， 则C(0,0,0),A1(0,0,W3),B(0,k,0),C1(-1,0,√3)， A1B=(0,k,-√3)，CB=(0,k,0),CC1=(-1,0,W3).…8分 ①高三数学答案第4页（共7页） 设平面BCC1B1的法向量为m=(x,y,z), [m·CB=0, /ky=0, 则 即 m·CCi=0, -x十√3之=0. 令x=√3，则y=0,之=1，m=(W3,0,1).……10分 设直线A1B与平面BCC1B1所成的角为0， 则sin9=cos(A,应，m>=A言·m 3 A1B|m√2+3×2 由题意，得 层千3X26,解得=6，∴A店-0w5,-月. 3 …12分 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1∥CC1,且BB1=CC1,.BB1=CC1=(-1,0,W3). 设平面AA1B1B的法向量为n=(a,b,c), [n·A1B=0,6b-√3c=0, 则 即 n·BB1=0,-a+√3c=0. 令b=1,则a=6,c=√2，.n=(W6,1,W2).…14分 设平面AA1B1B与平面BCC1B1的夹角为a, 则a。-maw1=贤识※g-2号， 即平面AA,B:B与平面BCCB,夹角的余弦值为22 3 ……15分 18.(1)解：因为抛物线E:y2=2px（p>0),所以抛物线E的准线方程为x= 2· …1分 设M(xo,yo),xo≥0，则由抛物线的定义，得|MF|=xo十 2 …2分 所以当x。=0时，|MF|取得最小值1， 所以号1，解得力=2，…3万 所以抛物线E的标准方程为y2=4x.… …4分 (2)证明：由(1)，得F(1,0).… …5分 方法一：由题意，得直线AB过定点F,直线OP过定点O, 且OP⊥AB于点P, 所以点P在以OF为直径的圆上，圆心为点(20半径为2 所以存在定点Q(公0小，使得PQ为定值2 ……11分 ①高三数学答案第5页（共7页） 方法二：由题意，得直线AB的倾斜角不为0，设直线AB的方程为x=my十1. 因为OP⊥AB,所以直线OP的方程为y=-m.x. 1 x= (x=my+1, m2+1’ 1 解 得 所以点P -m m2+1'm2+1 …7分 y=一mx, m y=m2+1' 设P(x,y),则x= 中心1消去m,得+y=，即(-)+y= 1 -m 所以点P在以点)，0为圆心，2为半径的圆上… ……10分 所以存在定点Q(合0小，使得1PQ为定值 …11分 (3)解：由题意，得直线AB的倾斜角不为0，设直线AB的方程为x=my十1，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3),重心G(xG,yG). x=my+1, 由 消去x,化简得y2-4my-4=0, y2=4x, 则y1十y2=4m,y1y2=一4." …13分 所以|AB|=x1+x2+2=m(y1十y2)+4=4m2+4. …14分 由题意，得4m2+4=5,解得m2=-1 4 因为△ABC的重心G在x轴上，所以y6=+:+=0, 3 所以4=-（0y,十yg)=一4m,则，=月=4m2=1,…16分 4 因为z十五=AB到-2=3，所以-1十+-32-专放△A5C的重心G台0…17分 3 9.(10解：f(x)=2nxx>0,f①)=e, …1分 f'(x)=ez1）2fG2, x2 ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-e=-2(x-1), 即2x十y2-e=0.… …5分 (2)证明：x>0,.f(x)>0等价于e2一2xlnx>0.…6分 方法一：令g(x)=e-2xlnx,x>0,则g'(x)=e-2lnx-2. 2 令h(x)=e2-2lnx-2,则h'(x)=e- x :函数h'(x)在(0，十o∞)上单调递增，且h' )--40,A'1)=e-2>0, ①高三数学答案第6页（共7页） 隔数Aa)在（位内存在唯一的零点即e名-0 ∴.当x∈(0，xo)时，h'(x)<0;当x∈(xo,+∞)时，h'(x)>0, .函数h(x)即g'(x)在(0，xo)上单调递减，在(x0,十∞)上单调递增.…9分 六函数g'(x)的最小值为g'(z)=e0-2n。-2=2-21n,-2>0, 函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.…10分 当x∈(0，l)时，e>0,lnx<0,.g(x)=e-2xlnx>0; 当x∈[1，+o∞)时，g(x)≥g(1)=e>0. 综上，g(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即f(x)>0在(0，十∞)上恒成立.…12分 方法二：令g(x)=e*-2xlnx,x>0. 当x∈(0,1)时，er>0,lnx<0,g(x)=e2-2xlnx>0.…8分 当x∈[1，+∞)时，g'(x)=e-2lnx-2. 令m(x)=e-2hx-2.则mx)=e-是在[1，十m)上单调适增. ∴.m'(x)≥m'(1)=e-2>0, ∴.函数m(x)即g'(x)在[1，+o∞)上单调递增，∴g'(x)≥g'(1)=e-2>0, .函数g(x)在[1，∞)上单调递增，.g(x)≥g(1)=>0.…11分 综上，g(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即f(x)>0在(0，十∞)上恒成立.…12分 (3)解：不等式f(x)>(a-1Dx+1na(a>0),即g+(1-a)x-2nx-1na>0, 等价于e2-lnz十x-lnx>eau)十ln(ax）.… ……13分 令p(x)=e十x,则原不等式可转化为p(x一lnx)>p(ln(ax), ,函数p(x)在R上单调递增，∴x一lnx>ln(a.x)在(0，+o∞)上恒成立， a<在(0，十o∞)上恒成立，… …15分 2x>0,则'(x)=e(x-2) 设k(x)=e 当x∈(0,2)时，k'(x)<0;当x∈(2，+∞)时，k'(x)>0, ∴.函数k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增， 函数(x)的最小值为(2)=E 4 2) 又：a>0,∴实数a的取值范围为0,4 …17分 ①高三数学答案第7页（共7页）⑧ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={(x,y)|x十y-2=0},B={y|x-y=0},则A∩B= A.{1)》 B.{(1,1)} C.(1,1) D. 2.已知复数之=(1+2i)(1一ai),a∈R.若zx为纯虚数，则a= A.-2 B一安 c号 D.2 3.已知平面向量a=(3,0),b=(2,2).若向量a十b在向量a上的投影向量为号a,则x= A.-2 B号 C.1 D.3 4.将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作，若工程师甲、乙必须安排在 同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有 A.8种 B.10种 C.12种 D.14种 5.已知Sm为等比数列{an}的前n项和，若am+1=3Sm十3，则a4= A.18 B.24 C.48 D.192 6某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长T(单位：分钟)与工 艺迭代次数n(n∈N")的关系式为T(n)=40e.1m+10,定义边际时长缩减量△T(n)= T(n)一T(n+1).当△T(n)<0.4时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止 迭代.已知e.1≈0.90，ln10≈2.30，则满足停止迭代条件的迭代次数n至少为 A.20 B.22 C.24 D.26 ①高三数学第1页（共4页） ⊙ 7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C,D,中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A,AD= 3, 棱AA1=2AB,E为B1C1的中点，则异面直线BA1与D1E所成角的余弦值为 A.①6 B V15 15 6 3 8.设EE,分别为椭圆C:大y 6=1(a>b>0)的左、右焦点，F:F2=23,A,B两点均 在椭圆C上且满足AF1⊥AF2,AF2=2F,B,则椭圆C的离心率为 A B c号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据x1,x2,x3,…,xn已 知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5.对原始数据进行线性变换，得 到一组新数据2x1十3,2x2十3,2x3十3，…，2xn十3.若新数据的平均数为a,方差为b,极 差为c,中位数为d,则 A.a=11 B.b=12 C.c=8 D.d=13 10.已知数列{am}的前n项和为Sn,若an十am+1=6n一1，a1=2,则 A.a3=7 B.数列{a2m-1}是等差数列 C.a2m-a2m-1=1 D.S15=331 x2 y2 1.设双曲线C:25立=1的左、右焦点分别是P,P,A是双曲线C的左支上一点，B为 线段AF2的中点，线段AF2的垂直平分线经过坐标原点O,则下列说法正确的有 A.双曲线C的离心率为 B.△AF1F2的外接圆周长为20元 C.1BF2|-|BO=5 D.|AF1|·|AF2|=12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和5，体积为49，则该正四棱台的高为 1&已知ne-)号则na+ ①高三数学第2页（共4页） 14.已知函数f(x)=ex-1十e1-x一x2+2x,则关于m的不等式f(m+2)<f(2m-1)的解 集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有 关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下2×2列联表（单位：人）. 自主优化能力 仿真软件使用情况 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 (1)将列联表补充完整并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析储能技术人员使用， 储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关， (2)一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用.他在第天使 用储能仿真软件开展工作的概率为n十1，每天是否使用相互独立.设这名技术员前3天 中使用储能仿真软件的天数为X,求X的分布列与数学期望E(X). n(ad-bc)2 参考公式：X2=(a+b)c十)a十cb+an=a+b+c+d. 参考数据： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=3且√3cos(A一C)+√3· cos B-2csin Acos B=0. (1)求角B; (2)若c=√3，求中线BD的长. ①高三数学第3页（共4页） 17.(15分)如图，在三棱柱ABC一A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC,A1C⊥AB,AC= 1,AA1=2. (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC; (2)若直线A,B与平面BCC,B,所成角的正弦值为 6,求平面AA1B,B与平面BCC1B, 夹角的余弦值。 18.(17分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E上一动点M到焦点F距 离的最小值为1.过点F的直线交抛物线E于A,B两点，点C在抛物线E上，且△ABC 的重心G在x轴上. (1)求抛物线E的标准方程； (2)若OP⊥AB(O为坐标原点)，垂足为P,求证：存在定点Q,使得|PQ|为定值； (3)若|AB|=5,求重心G的坐标， 19.(17分)已知函数f(x)=g三-21nx. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)证明：f(x)>0; (3)若f(x)>(a一1)x十lna在(0，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. ①高三数学第4页（共4页） B