25.1一元二次方程的概念-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式、系数确定及根的识别，通过人体雕像设计、矩形铁皮制方盒、排球邀请赛等现实情境导入，引导学生列方程并抽象共同特征，搭建从具体问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光中的抽象能力与模型意识，通过“未知数次数”“a≠0原因”等问题链发展数学思维的推理意识，例题与分层练习结合助学生用数学语言表达问题。学生能提升抽象与应用能力，教师可依托结构化资源高效教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/3 25.1 一元二次方程的概念 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。判定三要素：整式方程、单未知数、最高次数为2，三者缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$为二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$为一次项系数；$$c$$是常数项。核心注意点：$$a eq0$$，若$$a=0$$，方程退化为一元一次方程。 3. 方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 二、基础专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$x^2-2y=3$$ B. $$3x^2+x=20$$ C. $$x+\frac{1}{x}=4$$ D. $$x^2+2x=x^2-1$$ 2. 若方程$$(m-2)x^2+3x-1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（） A. $$m eq2$$ B. $$m=2$$ C. $$m\gt2$$ D. $$m\lt2$$ 3. 一元二次方程$$2x^2-5x=1$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 2，-5，1 B. 2，5，1 C. 2，-5，-1 D. -2，5，1 4. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+ax+2=0$$的一个根，则$$a$$的值为（） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 5. 将方程$$3x(x-1)=2(x+2)$$化为一般形式后，常数项为（） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 （二）填空题（每题4分，共20分） 6. 方程$$5x^2-3x+1=0$$的一次项是________。 7. 若方程$$x^{|m|+1}+3x-2=0$$是一元二次方程，则$$m=$$________。 8. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-bx-2=0$$的根，则$$b=$$________。 9. 把方程$$(x+3)(x-2)=1$$化成一元二次方程的一般形式为________。 10. 若关于$$x$$的方程$$ax^2-4x+2=0$$没有二次项，则$$a=$$________。 （三）解答题（共60分） 11.（18分）判断下列方程是否为一元二次方程，若是，写出一般形式及各项系数；若不是，说明理由。 （1）$$4x^2=9$$ （2）$$(x+1)^2=x^2+2$$ （3）$$2x^2-3x+1=0$$ 12.（20分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）$$3x^2=5x-6$$ （2）$$x(2x-3)=4x-1$$ 13.（22分）已知关于$$x$$的方程$$(k^2-1)x^2+(k-1)x+2=0$$。 （1）当$$k$$为何值时，该方程为一元二次方程？ （2）当$$k$$为何值时，该方程为一元一次方程？ 三、参考答案与详细解析 选择题解析：1.B（A含两个未知数，C是分式方程，D化简后无二次项）；2.A（二次项系数不为0）；3.C（整理为$$2x^2-5x-1=0$$）；4.A（代入$$x=1$$计算可得）；5.B（整理得$$3x^2-5x-4=0$$）。 填空题答案：6. $$-3x$$；7. $$\pm1$$；8. 1；9. $$x^2+x-7=0$$；10. 0。 解答题解析：11.（1）是，一般形式$$4x^2-9=0$$，二次项系数4，一次项系数0，常数项-9；（2）不是，化简后无二次项，为一元一次方程；（3）是，一般形式原式，二次项系数2，一次项系数-3，常数项1。 12.（1）一般形式$$3x^2-5x+6=0$$，系数依次3、-5、6；（2）一般形式$$2x^2-7x+1=0$$，系数依次2、-7、1。 13.（1）$$k^2-1 eq0$$，即$$k eq\pm1$$时为一元二次方程；（2）$$k^2-1=0$$且$$k-1 eq0$$，即$$k=-1$$时为一元一次方程。 易错总结：判断方程类型需先化简；一元二次方程必须保证二次项系数非零；缺失一次项或常数项仍属于一元二次方程。（全文1226字） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解一元二次方程的概念.(重点) 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式 3. 确定出二次项系数、一次项系数和常数项. (难点) 学习目标 新课导入 导入课题 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高? 情境导入 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 探究新知 4 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 探究新知 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 图2 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 探究新知 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：为什么需进行x(x-1)场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 探究新知 7 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 探究新知 8 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 探究新知 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 探究新知 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程属于一元二次方程的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.若方程是关于的一元二次方程，则 的值 为( ) C A.0 B. C.1 D. 返回 举一反三 12 3.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是_______. 返回 举一反三 13 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 探究新知 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 探究新知 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 例2 探究新知 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 探究新知 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 探究新知 知识点2 一元二次方程的一般形式 4.[北京通州区期末] 一元二次方程 的二次项系数、一 次项系数和常数项分别是( ) D A.3,4，2 B.3，4， C.3，，2 D.3，， 返回 举一反三 19 5.将一元二次方程 化为一般形式为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 探究新知 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 探究新知 6.［教材P 3练习T 1 变式］将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并 指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项. （1） ； 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系 数是，常数项是 . （2） ； 解：方程化为一般形式为 ， 二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是 . 举一反三 23 （3） ； 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是6，一次项 系数是2，常数项是 . （4） . 解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系数 是 ，常数项是0. 返回 举一反三 24 知识点3 一元二次方程的根 7.下列各数中，是一元二次方程 的根的是( ) A A. B.0 C.2 D.3 返回 举一反三 25 8.已知一元二次方程的一个根为1，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 26 9. 已知是方程 的一个根，则 ___. 2 返回 举一反三 27 10.已知是方程的一个根，则 的值为 ____. 返回 举一反三 28 知识点4 根据实际问题列一元二次方程 11.某校准备修建一个面积为 的矩形活动场地，它的长比宽多 ，设场地的宽为 ，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 29 12.［教材 问题2变式］学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式 （每两个球队之间比赛1场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队 参赛?设应邀请 个球队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 30 课堂小结 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a + b + c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 课堂小结 谢谢观看 THANKS $