精品解析：湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年上学期八年级数学开学考试题

湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年上学期八年级数学开学考试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，进行逐个判断即可得到答案. 【详解】解：A、因为，当，时，故此选项错误； B、因为，所以即，则，故此选项错误； C、因为，所以，故此选项错误； D、因为，所以即，故此选项正确； 故选D. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟记不等式的性质的内容是解此题的关键. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故C错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查整式的相关计算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 4. 下列各数中：，，，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：， 在，，，无理数有，，共2个， 故选：B． 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为、、的三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 6. 若关于、的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于利用等式性质变形．将方程组两方程相减表示出，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 即， ， ， ， 解得：， 故选：A． 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，且于点，则的度数为（ ） A. 75° B. 78° C. 80° D. 83° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ． 故选：D． 8. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何?其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少?若设有个人，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有个人，根据“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘”和车的数量不变列出方程即可解答． 【详解】解：设有个人，则可列方程： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，审清题意、明确题中的等量关系是解题关键． 9. 如图，等腰的周长为21，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，先由等腰三角形的定义得到，再由线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵等腰的周长为21，底边的长为5 ∴， ∵腰的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∴的周长， 故选：C． 10. 折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出． 【详解】解：∵， ，， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】找出多项式的公因式，用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 12. 若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，可得，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得 ， ∴这个正数为． 故答案为：25 13. 若正多边形的一个内角是，则正多边形的边数是______ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．设该正多边形的边数是，根据多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该正多边形的边数是， 则， 解得， 所以该正多边形的边数是12， 故答案为：12． 14. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 15. 沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意得到阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， 阴影部分的面积． 16. 如图，，以为圆心，4为半径画弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交弧于点，为上一动点，连接，．那么的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造的最小值，是解题的关键．先作点D关于的对称点，连接交于点，连接O，则，此时，的最小值，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴， 作点D关于的对称点，连接B交于点，连接， 则，此时，的最小值， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值， 故答案是：4． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，将解集在数轴上表示为： 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是：， 将解集在数轴上表示为： 19. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当，时， ． 20. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，． （1）请说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴． ∵，， ∴； 21. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． （1）已知． ①求的值； ②若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． （2）无论取何值，等式均成立，求的值． 【答案】（1）①2,3 ② （2）30， 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得方程组，求出解；②根据题意得出不等式组，再将a，b的值代入，并表示出不等式组的解集，然后根据整数解的个数得出不等式组，求出解集； （2）先根据题意整理，再根据x的系数等于0得出方程组，求出解即可． 【小问1详解】 解：①根据题意可得方程组， 解得， 所以a的值是2，b的值是3； ②根据题意，得不等式组， 即， 解不等式组得． ∵不等式组有三个整数解，由，知这三个整数解是3,4,5， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ∵无论x取何值，等式均成立， ∴，且， 联立，得， 解得 所以a的值是30，b的值是． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 （2）两种购买方案，最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，正确地列出二元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据“每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元．”得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元，则： ， 解之得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． 【小问2详解】 解：设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，则： ， 解之得：． ∵为正整数， ∴88，89； 当时，；当时，． 故有两种购买方案：甲32套，乙88套或甲31套，乙89套． 当购买甲32套，乙88套时，所需费用为元， 当购买甲31套，乙89套时，所需费用为元， ∵， 故最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套． 23. （附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） （3）【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： （4）【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 【答案】（1）， （2） （3）①；② （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的形状表示出面积即可； （2）由题意得两个图形中阴影部分的面积相等，令（1）中两个式子相等即可； （3）①根据（2）中结论可得，代入数据计算即可；②将原式变形为，利用（2）中结论计算即可； （4）①将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可；②将原式变形为，再利用（2）中结论计算即可． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为； 【小问2详解】 解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则； 【小问3详解】 解：①由（2）中结论可得， ∵， ∴； ② ； 【小问4详解】 解：① ， ∵； ∴2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环， ∵， ∴尾数为6，即结果的个位数字为； ②原式 ． 24. 如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． （1）如图，__________； （2）如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； （3）如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）秒或秒或秒． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由三角形外角的性质推出，则； （2）过点P作，则，由平行线的性质推出，再由角平分线的定义得到，进而可得，则； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示，没有旋转时， ∵，， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长分别交于T、F，设交于S， ∴， ∵， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时，延长交于S，设交于T， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 当时，延长交于T，延长交于S， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ∴此时； 综上所述，秒或秒或秒时，在旋转过程中边与的边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年上学期八年级数学开学考试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各数中：，，，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 6. 若关于、的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，且于点，则的度数为（ ） A. 75° B. 78° C. 80° D. 83° 8. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何?其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少?若设有个人，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰的周长为21，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 16 10. 折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________ 12. 若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 13. 若正多边形的一个内角是，则正多边形的边数是______ 14. 若，，则的值为________． 15. 沿竖直方向向下平移2cm，得到，若，则阴影部分的面积为______． 16. 如图，，以为圆心，4为半径画弧交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交弧于点，为上一动点，连接，．那么的最小值是_________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值，其中，． 20. 如图，已知点，，，在一条直线上，，，． （1）请说明； （2）若，，求的度数． 21. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． （1）已知． ①求的值； ②若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． （2）无论取何值，等式均成立，求的值． 22. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 23. （附加题）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示） （3）【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知，则的值为 ②计算： （4）【拓展】①结果的个位数字为 ②计算： 24. 如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点． （1）如图，__________； （2）如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由； （3）如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $