精品解析：湖南衡阳市常宁市培元中学2026-2027学年八年级上学期沃土班开学检测卷 数学

湖南省衡阳市常宁市培元中学2026-2027学年 八年级上学期沃土班开学检测卷数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 要了解一所中学七年级学生的每周课外阅读情况，以下方法中最合理的是（ ） A. 调查该校校图书馆里七年级学生的每周课外阅读情况 B. 调查该校七年级语文整体水平最好的班级的学生每周课外阅读情况 C. 调查该校七年级全体男生的每周课外阅读情况 D. 调查七年级每班学号为3的倍数的学生的每周课外阅读情况 3. 为了解某校八年级1500名学生的心理健康情况，该校的心理老师从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行分析．现给出下列四种说法：①1500名学生是总体；②被抽取的300名学生是总体的一个样本；③每名学生的心理健康评估报告是个体；④300名是样本容量．其中错误的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某家电商场对年电视机的销售情况进行了统计，制成了如图所示的统计图小红认为创维电视机的销售量是长虹电视机销售量的倍多，原因是（　　） A. 横轴单位长度不一致 B. 纵轴单位长度不一致 C. 柱的宽窄不同 D. 纵轴数据没有从开始 6. 整式，，下列结论：①；②A，B的公因式为x．下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，交于M，交于D，交于N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 体育老师对八（1）班学生内的跳绳次数进行了统计，发现最多的是次，最少的是次．现取组距为绘制频数分布直方图，则此次调查适合的组数是______． 12. 请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 13. 如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 14. 已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为________． 15. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为 _____． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1． 18. “地球一小时”是世界自然基金会为应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表明他们对于应对气候变化行动的支持．为了解某小区居民的用电情况，该小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量/度 频数/户数 百分比 A 2 B C 12 D 14 E 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中，______，调查的总户数为______； （2）计算的值，补全频数分布直方图； （3）根据该小区的居民用电情况，给出一条节约用电的建议． 19. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 20. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 21. 如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 22. 我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 23. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市常宁市培元中学2026-2027学年 八年级上学期沃土班开学检测卷数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：在实数，，0，中， ，为正数大于0， 为负数小于0， 最小的数是：． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可以直接判断出来． 2. 要了解一所中学七年级学生的每周课外阅读情况，以下方法中最合理的是（ ） A. 调查该校校图书馆里七年级学生的每周课外阅读情况 B. 调查该校七年级语文整体水平最好的班级的学生每周课外阅读情况 C. 调查该校七年级全体男生的每周课外阅读情况 D. 调查七年级每班学号为3的倍数的学生的每周课外阅读情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据收集数据分析能更准确的反应实际情况来确定最好的方案． 【详解】解：要了解一所中学七年级学生的每周课外阅读情况，抽取的样本一定要具有代表性， 故调查七年级每班学号为3的倍数的学生的每周课外阅读情况， 故选：D． 【点睛】考查统计中数据的收集方案的确定，关键是怎确定方案才能使收集的数据更有代表性． 3. 为了解某校八年级1500名学生的心理健康情况，该校的心理老师从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行分析．现给出下列四种说法：①1500名学生是总体；②被抽取的300名学生是总体的一个样本；③每名学生的心理健康评估报告是个体；④300名是样本容量．其中错误的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【详解】解：①总体是1500名学生的心理健康评估报告（或心理健康情况），不是1500名学生，故①错误； ②样本是被抽取的300名学生的心理健康评估报告，不是300名学生，故②错误； ③每名学生的心理健康评估报告是个体，故③正确； ④样本容量是300，不带单位，故④错误； 综上，错误的是①②④. 4. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5. 某家电商场对年电视机的销售情况进行了统计，制成了如图所示的统计图小红认为创维电视机的销售量是长虹电视机销售量的倍多，原因是（　　） A. 横轴单位长度不一致 B. 纵轴单位长度不一致 C. 柱的宽窄不同 D. 纵轴数据没有从开始 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图横纵轴名称及数据，结合条形图中矩形的高可得答案； 【详解】解：创维电视机的销售量是长虹电视机销售量的倍多，是由于纵轴数据没有从开始造成的， 故选：D 【点睛】本题主要考查条形统计图，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． 6. 整式，，下列结论：①；②A，B的公因式为x．下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式乘法运算与公因式的概念，先计算①的左边进行验证，再对因式分解后确定公因式，即可判断结论正误． 【详解】解：∵ ， ∴ ，因此①正确； 对因式分解得 ，， 可得，的公因式为，不是，因此②不正确； 故选：A． 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到，根据同角的余角相等得到，即可判断A正确；由角平分线的性质定理即可判断C正确；证明，得到，即可判断D正确；由和不一定相等得到和不一定相等，即可判断B错误． 【详解】解：由作图得，， ∴， ∴， ∴，故A正确； 由作图得，平分， 又∵， ∴，故C正确； 又∵， ∴， ∴，故D正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故B错误． 8. 如图，交于M，交于D，交于N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，，可得，三角形全等的性质；可得①；由ASA可得，④不成立． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴；，故②符合题意； ∵， ∴；故①符合题意； ∵ ∴，， 又∵ ∴，故③符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不能证明成立，故④不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，难度适中． 9. 如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示：记BC上的高为AE， ∵AE=4，AC= BC=4 ， 即 解得： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长． 10. 如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 体育老师对八（1）班学生内的跳绳次数进行了统计，发现最多的是次，最少的是次．现取组距为绘制频数分布直方图，则此次调查适合的组数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算极差，再计算极差与组距的商后向上取整数即可得到组数． 【详解】解：极差为最大值减去最小值，即：， 将极差除以组距得：， 组数取大于计算结果的最小整数，因此组数为． 12. 请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 ①. 对顶角相等 ②. 假 【解析】 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角； 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题． 13. 如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 14. 已知的面积为，一边长为，则这条边上的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，直接利用面积的2倍除以这条边的边长列式计算即可． 【详解】解：由题意得这条边上的高为 ； 故答案为：． 15. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为 _____． 【答案】30cm 【解析】 【分析】将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点A′，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF， 即 m， 延长，过作于点D， ∵cm， ∴BD＝20cm， 中， 由勾股定理可得cm 则该圆柱底面周长为30cm． 故答案为：30cm． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1． 【答案】3x2+6y2，18 【解析】 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算化简进而得出答案． 【详解】解：原式＝4x2+y2﹣4xy﹣（x2﹣9y2）+4xy﹣4y2 ＝4x2+y2﹣4xy﹣x2+9y2+4xy﹣4y2 ＝3x2+6y2， 当x＝﹣2，y＝1时， 原式＝3×（﹣2）2+6×12 ＝12+6 ＝18． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号，合并同类项的法则是关键． 18. “地球一小时”是世界自然基金会为应对全球气候变化所提出的一项全球性节能活动，提倡于每年三月最后一个星期六的当地时间，家庭及商业用户关上不必要的电灯及耗电产品一小时，以此来表明他们对于应对气候变化行动的支持．为了解某小区居民的用电情况，该小区物业随机抽取了部分家庭72小时的用电情况，并整理成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 居民用电情况频数分布表 组别 用电量/度 频数/户数 百分比 A 2 B C 12 D 14 E 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中，______，调查的总户数为______； （2）计算的值，补全频数分布直方图； （3）根据该小区的居民用电情况，给出一条节约用电的建议． 【答案】（1），40 （2）4，8，补图如下： （3）解：平时不使用的电器及时拔掉插销；只在有人长待的房间开灯，其他房间随用随关（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）利用A组的频数除以其百分比即可得调查总户数，再利用C组的频数除以调查总户数可得a的值； （2）根据频数等于调查总户数乘以百分比分别求出m，n的值，据此补全频数直方图即可； （3）根据频数直方图总结该小区的居民用电情况，再给出一条节约用电的建议，只要合理即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，补图略． 【小问3详解】 解：略． 19. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 20. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 【答案】船向岸边移动了9米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中： ，米，米， （米）， 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 21. 如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 【答案】 证明：过点P作于点E，于点F，如图． ，． ． ， ． ． ． 平分，， ． 在和中 ， ． 【解析】 【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点P作于点E，于点F，则，根据平分可知，根据图中各角的数量关系可得，可证明；利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 22. 我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除； （2）； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）① 【解析】 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）略 （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 23. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 【答案】（1） 如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； （2） 证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35°                                                ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB， 理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【解析】 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $