25.2.1（1）直接开平方法 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，内容为九年级（上）一元二次方程直接开方法第1课时，包含学习目标、情境导入、复习回顾、新知讲解、典例精析、练习巩固及课后小结，为学生提供完整学习支架。 资料特色突出，以古代行军营地问题导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过平方根复习与方程求解推理，发展数学思维，步骤清晰且结合实例，帮助学生掌握降次思想，提升解题能力，也为教师提供层次分明的教学方案。九年级学生面临升学，需重点关注方程求解方法的掌握，该资料注重基础与应用结合，助力学生适应考试要求。

人教版九年级（上） 第二十五章 一元二次方程 25.2 解一元二次方程 25.2.1 第1课时 直接开方法 学习目标 1.掌握解一元二次方程的基本思想--降次； 2.会利用直接开平方法对形如（x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程进行求解； 3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实世界。 导入新课 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况. 某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在 30 里之外，营地形似正方形，约 16 方里.”将军立马说：“原来敌方营地长 4 里.” 思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 复习回顾 1.什么叫做平方根？ 3.9的平方根是 ，7的平方根是 2.平方根的性质有哪些？ 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 4.反之，如果一个数的平方等于9，即x2=9，则x= 如果 x2=a (a≥0)，则 x 叫作 a 的平方根，且 x =________. 回顾：之前学过的方程都是如何求解的？类似的，能否将一元二次方程转化为我们学过的方程呢？若可以，该如何转化？ 探究新知 先看一个简单的一元二次方程：x2=4 解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 根据平方根的意义，得 x=±2 即 注意:不能漏掉负根！这是一元二次方程和一元一次方程最重要的区别. 思考： 若将 4 换成任意实数 p,方程x2=p的根的情况如何？ 动手实践 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无实数解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. 你能归纳一下这类方程的解的情况吗？ 定义总结 总结 一般的，对于可化为 x2 = p 的方程： p 的取值范围 方程两根 p > 0 p = 0 p < 0 2个相等实根 x1 = x2 = 0 无实根 2个不相等实根 总结：只有当p≥0时，方程才有解. 定义总结 总结 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 使用直接开平方法的前提是什么? 直接开平方的目的是什么？ 降次—— 将一元二次方程转 化为一元一次方程 新知巩固 1.一元二次方程x2 -9=0的根是( ) A.x=3 B.x=-3 C.x1=3,x2 =-3 D. C 总结：先将常数项移到等号右边，若左边是平方项的形式，则可以直接开方。 探究新知 对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程（x+3)2 =5? 解形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程 由方程（x+3)2 =5 即 思考： 你能总结解这类方程的一般步骤吗？ 得 x+3= 因此 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤： 1.移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式； 2.开平方，将方程化为两个一元一次方程——降次； 3.解这两个一元一次方程，得到一元二次方程的两个根。 整体 典例精析 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) 4x2 -3 = 0； (2) （x+2）2 - 9 = 0. 解： 移项，并将系数化为1, 解：移项，得 （x+2）2= 9. 开平方，得 x+2 = ±3. ∴ x1 = 1，x2 = -5. 总结：先移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的 形式。 ∴ 得 因此 x+2 = 3或 x+2 = -3. 练一练 1. 解下列方程. (1) 2x2 - 120 = 0； (2) 4x2 + 2 = 123 . 解： 移项，得 2x2 = 120 系数化为1，得 x2 = 60 解： 移项，得 4x2 = 121 系数化为1，得 练一练 (1)36x2 -1=0 (2)4x2 =49 (3) (x ＋5)2 = 25； (4) x2 +2x+1= 4. 2.变式题 课后小结 概念 直接开平方 利用平方根的定义求方程的根的方法 步骤 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0)或 (x + m)2 = n(n≥0) 基本思路 一元二次方程 降次 直接开平方法 两个一元一次方程 ______ ___________________ 当堂练习 1. 用直接开平方解方程 (x - 3)2 = 8，得方程的根为 ( ) B 2.解下列方程 拓展提升 3. 解方程：(2x + 3)2 = (3x + 2)2. 解：开方，得 2x + 3 = 3x + 2 或 2x + 3 = -3x - 2 ， 解得 x1 = 1 或 x2 = -1. 课后作业 1.课堂作业：P6 练习（注意格式） 2.小练P2 $