25.2.1 课时1 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过古代营地面积问题导入，联系平方根概念，搭建从平方根到直接开平方法的学习支架，帮助学生理解降次转化思想。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过分类讨论和降次转化发展数学思维，用方程模型强化数学语言。如“试一试”让学生自主归纳方法，典型例题步骤清晰，分层练习巩固应用，能提升学生运算能力和推理意识，也方便教师教学。

25.2.1 配方法 课时1 直接开平方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.会运用开平方法解形如x2 = p 或 (x+n)2 = p (p≥0) 的方程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况. 某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在30里之外，营地形似正方形，约16方里”，将军立马说：“原来敌方营地长4里”. 思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 新课导入 BY YUSHEN 22051 归纳：利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法． 试一试：解下列方程，并说明你所用的方法. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解：根据平方根的意义，得x1=2， x2=-2. 解：根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解：整理，得x2 = - 1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：若 x2=p ，则x的值是多少呢？ 方程左边x2≥0，右边p的取值不确定，可能是正数、0或负数，因此要分类讨论. (2)当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3)当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 一般地，对于方程 x2 = p ， (1)当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 ， ； 新知探究 BY YUSHEN 22051 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2 = 64 (2) x2+16=0 解:根据平方根的意义直接开平方， 得x1 = 8，x2 = -8. 解:移项，得x2 = -16， 因为 -16 < 0， 所以原方程无解. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 类比学习，你认为如何解方程 (x+3)2=5? 方程(x+3)2 = 5 ， 将 x+3 看成一个整体 x2 =25 x = ±5 (x+3)2 = 5 即方程(x+3)2 = 5的两个根为 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 新知探究 BY YUSHEN 22051 解方程 (x+3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程 “降次”，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解. 归纳 BY YUSHEN 22051 例1: 解下列方程: (1) (2) 解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 , 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：（2）移项，得 由此可得 ，或 即 , 例1: 解下列方程: (1) (2) 典型例题 BY YUSHEN 22051 用直接开平方法解一元二次方程的步骤: (1)将方程化为x2＝p或(mx＋n)2＝p ( p ≥ 0，m≠0)的形式； (2)直接开平方化为两个一元一次方程； (3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 归纳 BY YUSHEN 22051 (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 巩固练习 BY YUSHEN 22051 步骤： 概念： 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 基本思路： 关键要把方程化成 x2 = p( p ≥ 0)或 (x+n)2 = p ( p ≥ 0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 直接开平方法 课堂小结 BY YUSHEN 22051 13 1.方程(x – 2) 2 +4=0的解是（ ） A. x1=x2=0 B. x1=2，x2= – 2 C. x1=0，x2= 4 D.没有实数根 D 2.一元二次方程x2 – 1=0的根是（ ） A. x=1 B. x= – 1 C. x=0.5 D.±1 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.对于一元二次方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m________； (2)若方程有两个相等的实数根，则m________； (3)若方程无实数根，则m________． m－1＞0 ＞1 m－1= 0 ＝1 m－1＜ 0 ＜1 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 (1) (x＋1)2 - 3 = 2 ； 4. 计算： (2) 2x2-8=-10； 解： (2)移项，得2x2 = - 2， 系数化为1，得x2 = - 1， 因为-1无法开平方，所以方程无解. 解：(1) 移项，得 (x + 1)²=5， 直接开平方得： 即 x1= ，x2= . x+1= ， 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 (3)(2x－1)2=(x－2)2 ； 解：(3)直接开平方得： 2x-1= ， 即 2x-1=±(x-2) ， ∴2x-1=x-2或 2x-1 = - x+2 ， 即x1=-1，x2=1. (4) x2 - x + 6 = 0 . 解：(4)x2 - x + 6 = ( x - )2 = 0. 直接开平方得：x - = 0 即x1 = x2= . 4. 计算： 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 5. (新定义运算)在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b = a2 - b2，求方程(4⊕3)⊕x = 24的解. 解：∵a⊕b = a2 - b2， ∴(4⊕3)⊕x = (42 - 32)⊕x = 7⊕x = 72 - x2， ∴ 72 - x2 = 24， ∴ x2 = 25， ∴ x = ±5. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $