25.2.2 公式法 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，通过旧知回顾配方法步骤搭建学习支架，引导学生从一般形式方程出发，逐步推导求根公式，衔接前后知识脉络，为新知探究奠定基础。 其亮点在于推导过程注重逻辑推理（数学思维），例题覆盖Δ>0、=0、<0三种情况及实际应用（数学眼光），步骤总结“化求判代”清晰规范（数学语言）。实例如例3含不同方程类型，随堂演练多样化，能提升学生运算与推理能力，为教师提供系统教学资源。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.2 公式法 1 学习目标 1. 通过推导一元二次方程的求根公式，理解公式法的本质，能准确运用公式法解一元二次方程，发展代数运算和逻辑推理能力. 2. 经历求根公式的推导过程，体会转化、化归的数学思想，提升分析问题和解决问题的能力. 3. 运用公式法解决实际问题，感受数学与生活的联系，增强应用意识和创新意识. 2 3 旧知回顾 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1) 移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项留在左边； 如：x2+px=－q. (2) 配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； x2+px + ()2 =－q + ()2. (3) 整理：左侧化为完全平方式(x+ )2 = －q + ()2； (4) 开方：方程两边同时开平方； (5) 解一元一次方程，移项、合并同类项，定解. 4 新知探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2+bx+c=0(a ≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ 探究 5 新知探究 用配方法解：ax2+bx+c=0(a ≠0) 二次项系数化为1，得 整理后，得 解：移项，得 配方，得 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论： ax2+bx=−c x2+x= (x+ )2= x2+x+ = + 6 新知探究 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况： ax2+bx+c=0(a ≠0) (x+ )2= (1) 当b2－4ac ＞0时， ＞0 ，方程有两个不相等的实数根 x1= ， x2= . 7 新知探究 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况： ax2+bx+c=0(a ≠0) (x+ )2= (2) 当b2－4ac =0时， =0 ，方程有两个相等的实数根 x1= x2= . 8 新知探究 因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值有以下三种情况： ax2+bx+c=0(a ≠0) (x+ )2= (3) 当b2－4ac ＜ 0时， ＜ 0 ，而x取任何实数都不能使(x+ )2 ＜ 0 ，因此方程无实数根. 9 新知探究 式子b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ = b2-4ac. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 Δ >0 有两个不相等的实数根 Δ=0 有两个相等的实数根 Δ ＜ 0 无实数根 10 新知探究 当Δ ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 x= 的形式， 这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 11 新知探究 例3 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0； (2) 2x2-2x +1 = 0； (3) 5x2-3x = x+1； (4) x2 +17=8x. 解：(1)因为a=1，b=-4，c=-7， 所以Δ =b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x= = =2 ± 即x1=2+ ，x2=2- . 12 新知探究 例3 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0； (2) 2x2-2x +1 = 0； (3) 5x2-3x = x+1； (4) x2 +17=8x. (2)因为a=2，b=- ，c=1，所以 Δ = b2-4ac=(-2 )2-4 × 2 × 1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - = - = . 13 新知探究 例3 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0； (2) 2x2-2x +1 = 0； (3) 5x2-3x = x+1； (4) x2 +17=8x. (3)方程化为5x2-4x-1=0，此时a=5，b=-4，c=-1， 所以Δ =b2-4ac=(-4)2-4 × 5 × (-1)=36＞0. 方程有两个不相等的实数根 x= = = . 即x1=1，x2=-. 14 新知探究 例3 用公式法解下列方程： (1) x2-4x-7=0； (2) 2x2-2x +1 = 0； (3) 5x2-3x = x+1； (4) x2 +17=8x. (4) 方程化为x2-8x+17=0，此时a=1，b=-8，c=17，所以 Δ = b2-4ac=(-8)2-4 × 1 × 17=-4＜0. 方程无实数根. 15 新知探究 用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)化：将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)并确定 a，b，c的值； (2)求：求出b2-4ac的值； (3)判：若b2-4ac ≥0则利用求根公式求解；若b2-4ac <0，则方程 无实数根. (4)代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题. 16 新知探究 回到本章引言中列出的一元二次方程 x2+5x-25=0. 用公式法解这个方程，得 x= = . 即x1= - + ，x2= - - . 如果结果保留小数点后两位，那么x1 ≈3.09， x2 ≈-8.09. 关于这两个根，只有x1 ≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m. 17 随堂演练 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则 b2-4ac满足的条件是( ) A.b2-4ac=0 B. b2-4ac >0 C. b2-4ac <0 D. b2-4ac ≥0 2.利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分别是( ) A.5， ，6 B.5，6， C. 5，-6， D. 5，6， B C 18 随堂演练 3.已知一元二次方程： ① x2+2x+3=0， ② x2-2x-3=0.下列说法正确的是( ) A. ① ②都有实数解 B. ①无实数解， ②有实数解 C. ①有实数解， ②无实数解 D. ① ②都无实数解 B 19 随堂演练 4.已知关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 5.若一元二次方程x2 +bx+4=0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0)，则b+=( ) A .m B.-m C. 2m D.-2m B D 20 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (1) x2+x-6=0； 解：因为a=1，b=1，c=-6 所以Δ=b2-4ac=12-4×1× (-6)=25>0 方程有两个不相等的实数根 x= = = . 即x1=2，x2=-3. 21 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (2) x2-x- =0； 解：因为a=1，b=-，c= - 所以Δ=b2-4ac=(-)2-4×1× (-)=4>0 方程有两个不相等的实数根 x= = . 即x1= ，x2= . 22 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (3) 3x2-6x+ 4=0； 解：因为a=3，b=-6，c= 4， 所以Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3× 4=-12 ＜ 0 所以方程无实数根. 23 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (4) 2x2-3x=0； 解：因为a=2，b=-3，c= 0， 所以Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×0=9>0 方程有两个不相等的实数根 x= = = . 即x1= ，x2=0. 24 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (5) x2+4x+8=4x+11； 解：方程化为 x2-3=0， 此时a=1，b=0，c= -3， 所以Δ=b2-4ac=02-4×1×(-3)=12>0 方程有两个不相等的实数根 x= = = ±. 即x1= ，x2= . 25 随堂演练 6. 用公式法解下列方程： (6) x(2x-4) = 5-8x； 解：方程化为 2x2+4x-5=0， 此时a=2，b=4，c= -5， 所以Δ=b2-4ac=42-4×2×(-5)=56>0 方程有两个不相等的实数根 x= = = . 即x1= ，x2=. 26 随堂演练 7.如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x-1，点B对应的数是x2+x，已知AB=5，求x的值. 解：根据题意，得x2+x-(2x-1)=5， 整理得x2-x-4=0 ， ∵ a=1，b=-1，c=-4， ∴ Δ =(-1)2-4 × 1 ×(-4)=17>0. ∴ x= = .即x1=，x2= . ∵点A在数轴的负半轴， ∴ 2x-1 ＜0， ∴ x＜ ， ∴ x= . A O B 27 课程小结 公式法 把各系数代入求根公式的解一元二次方程的方法. 定义 一化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)并确定a，b，c的值； 二求出b2-4ac的值； 三代入求根公式 ； 四解方程. 步骤 用判别式Δ=b2-4ac判定一元二次方程根的情况 应用 28 第二十五章 一元二次方程 人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 25.2 降次------解一元二次方程 25.2.2 公式法 29 $