专题1.2 集合的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等、空集的概念及性质，从定义、记法到图示与结论层层递进，构建从概念理解到应用的学习支架，涵盖子集判断、个数计算、参数取值等核心考点。 资料通过表格对比、易错点标注培养学生抽象能力与数学眼光，分考点设计的练习题强化逻辑推理与数学思维，课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺，提升集合关系应用能力。

专题1.2 集合的基本关系 【考点导航】 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：集合的子集】 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高三下·北京·开学考试）集合，若，则集合B可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得A是B的子集，据此可得答案. 【详解】由题可得A是B的子集，则满足题意. 故选：D 3．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合A ={a，b，c },下列可以作为集合A的子集的是              A．a         B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d } 【答案】B 【详解】由集合的子集的定义可知：集合A={a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}. 故选B. 点睛：集合A=的子集个数为，非空真子集个数为. 4．（25-26高三上·福建福州·期末）已知集合．若，则集合可以是． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为且，所以在选项中只有C满足题意. 考点：子集的概念. 5．（25-26高三下·北京密云·期中）已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据集合的包含关系确定. 【详解】因为，又，所以任取，则， 所以可能为，A对， 又 ，， ∴  不可能为，，，B，C，D错， 故选：A. 【考点2：集合的真子集】 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 2．（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测）下列集合中，是集合的真子集的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意结合所给的集合可知：，满足题意. 而是的补集； ； 与之间不存在子集关系. 本题选择C选项. 3．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 4．（26-27高三上·陕西延安·开学考试）已知集合，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2} C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D． 【答案】D 【详解】集合， 所以可知，P＝{－3,0,1}不成立，Q＝{－1,0,1,2}不成立，,不成立. ，满足. 故选D. 点睛：集合的表示法有描述法和列举法，本题中集合元素是整数即可利用限制条件解出，用列举法表示出来，进而将四个选项的元素与其比较，注意将描述法表示的集合转为列举法，一目了然. 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【分析】写出所有非空真子集，结合题意即可得解. 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 2．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 3．（第02讲集合间的基本关系（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都不正确 【答案】A 【分析】由判断出，再由，得出. 【详解】 而集合， 取，则；取，则 ，即 故选：A 【点睛】本题主要考查了判断两个集合的包含关系，属于中档题. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则与的关系为________ 【答案】 【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系. 【详解】由， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即. 【考点4：集合子集的个数】 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 4．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 5．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 【考点5：集合真子集的个数】 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2．（25-26高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 4．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 【答案】C 【分析】先根据题意求得集合中的元素个数，再根据子集的个数与集合元素的个数间的关系求解. 【详解】因为， 所以的值有：，，，， 由集合元素的互异性得：， 所以其真子集个数为. 故选：C. 5．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 【考点6：空集】 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【详解】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，因为，不为空集，故A错误； 对于B，因为，不为空集，故B错误； 对于C，因为，不为空集，故C错误； 对于D，因为，所以无解， 所以，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，且，则　________　. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1）由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2）①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，． (1)若, 求a的取值范围； (2)若, 求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若 ，由图可知 （2）若,由图可知,. 4．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是或. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合的基本关系 【考点导航】 【知识梳理】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且A≠B，则AB. 3．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 4．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 5. 集合间关系的性质： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若，且，则； ②若，B=C，则. (3)若，A≠B，则AB. 【考点1：集合的子集】 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·北京·开学考试）集合，若，则集合B可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合A ={a，b，c },下列可以作为集合A的子集的是              A．a         B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d } 4．（25-26高三上·福建福州·期末）已知集合．若，则集合可以是． A． B． C． D． 5．（25-26高三下·北京密云·期中）已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【考点2：集合的真子集】 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·河南平顶山·阶段检测）下列集合中，是集合的真子集的是 A． B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·陕西延安·开学考试）已知集合，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2} C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D． 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【考点3：集合包含关系的判断】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（第02讲集合的基本关系（暑假预习讲义）新高一数学人教B版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（第02讲集合间的基本关系（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都不正确 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则与的关系为________ 【考点4：集合子集的个数】 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 4．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 5．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【考点5：集合真子集的个数】 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 4．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．1 B．3 C．7 D．15 5．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【考点6：空集】 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 3．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）若集合 为空集，则实数的取值范围是______. 【考点7：集合关系中的参数取值问题】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，且，则　________　. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，． (1)若, 求a的取值范围； (2)若, 求a的取值范围． 4．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $