专题1.2 集合间的基本关系（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系这一核心知识点，系统梳理子集、真子集的概念及性质，集合相等的定义，空集的特性，Venn图的应用，以及集合关系的性质，构建从基础概念到数量问题、参数求解再到新定义探究的递进式学习支架。 资料通过“知识点+例题+变式题”的设计，强化数学思维中的推理能力与运算能力，如根据集合包含关系求参数题型培养逻辑推理，Venn图应用题型发展数学眼光中的几何直观。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，提升解决集合问题的综合能力。

专题1.2 集合间的基本关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求集合的子集（真子集）】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 3 【题型3 判断两个集合是否相等】 4 【题型4 根据两个集合相等求参数】 4 【题型5 空集的判断、性质及应用】 5 【题型6 Venn图表示集合的关系】 5 【题型7 判断两个集合的包含关系】 7 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 7 【题型9 集合关系中的新定义问题】 8 考点1 集合的子集 知识点1 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 知识点2 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【变式1-3】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2-1】（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）已知集合满足，则满足条件的的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）设集合，则的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式2-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 考点2 集合相等与空集 知识点3 集合相等的概念 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 知识点4 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 知识点5 Venn图的优点及其表示 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（2026高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式4-3】（2026高一上·全国·专题练习）设，集合，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】（25-26高一上·河南·开学考试）下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（25-26高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 考点3 集合间关系的性质 知识点6 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【变式7-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【变式9-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【变式9-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【变式9-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求集合的子集（真子集）】 2 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 4 【题型3 判断两个集合是否相等】 5 【题型4 根据两个集合相等求参数】 7 【题型5 空集的判断、性质及应用】 9 【题型6 Venn图表示集合的关系】 10 【题型7 判断两个集合的包含关系】 12 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 15 【题型9 集合关系中的新定义问题】 17 考点1 集合的子集 知识点1 子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 知识点2 真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解． 【解答过程】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合的真子集，即可判断. 【解答过程】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据元素与集合的关系列方程求解； （2）根据集合子集的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 【变式1-3】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【解答过程】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）已知集合满足，则满足条件的的个数是（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【解题思路】依题意可知集合必须包含1和0，且是集合的子集，对中的元素个数分类讨论，可得结果. 【解答过程】根据题意可知集合中至少含有三个元素（必须包含1和0），且是集合的子集； 因此若中含有三个元素，则可以是； 若中含有四个元素，则可以是； 若中含有五个元素，则可以是， 所以满足条件的的个数是7个. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）设集合，则的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，求出，再根据子集个数规律求解. 【解答过程】由和， 可得或， 所以或 可得， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【解答过程】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 考点2 集合相等与空集 知识点3 集合相等的概念 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 知识点4 空集的概念 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 知识点5 Venn图的优点及其表示 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【解答过程】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用相同集合的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，与表示不同的点，集合不是同一集合，A不是； 对于B，是数集，是点集，集合不是同一集合，B不是； 对于C，集合是大于或者等于的数集，集合也是大于或者等于的数集，集合是同一集合，C是； 对于D，集合是大于或者等于的数集，而集合是二次函数图象上 所有点组成的集合，为点集，集合不是同一集合，D错误． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由集合相同概念逐个判断即可. 【解答过程】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C. 【变式3-3】（2026高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等，对应元素相等，即可求解. 【解答过程】由于，且不能为0，故， 此时，因此，故， 此时， 故， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）若，.当时，（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据集合相等的概念结合集合元素的互异性列式求值. 【解答过程】因为，且，，所以，所以； 所以，， 又，所以或. 由且得方程无解； 由且得. 所以 . 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【解题思路】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解. 【解答过程】因为集合， 若，则或， 解得或， 当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去， 故，，符合题意，此时. 故选：A. 【变式4-3】（2026高一上·全国·专题练习）设，集合，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的相等含义，易得，从而可求出，进而可求得结果. 【解答过程】由题意知，分母不为0，故，同时根据同一个集合元素不相等，可知，所以只能是，则，故集合中三个元素分别是-1，0，1，则. 所以. 故选：D. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【解答过程】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解答过程】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·河南·开学考试）下列各选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义和空集的定义逐项判断. 【解答过程】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集不含任何元素，而集合含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. 【题型6 Venn图表示集合的关系】 【例6】（25-26高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求集合，再根据两个集合的元素，确定集合的包含关系，即可判断选项. 【解答过程】由条件可知，，，则. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一下·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解不等式化简集合，根据集合的关系即可求解. 【解答过程】全集，集合，， 所以， 所以能表示集合、关系的图是选项B． 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【答案】答案见解析 【解题思路】根据为的真子集，得到文氏图. 【解答过程】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    考点3 集合间关系的性质 知识点6 集合间关系的性质 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型7 判断两个集合的包含关系】 【例7】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【解题思路】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【解答过程】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且，则， 故选：B． 【变式7-2】（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【解答过程】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【解答过程】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【题型8 根据集合的包含关系求参数】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简集合，再对分为三种情况讨论得解. 【解答过程】因为，， 若，则有或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故实数的取值集合是. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【解答过程】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 【变式8-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【解答过程】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或. 【变式8-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【解题思路】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【解答过程】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【解题思路】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解答过程】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 【变式9-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【答案】(1)或或 (2)2 【解题思路】（1）首先根据，再结合“等差集”的定义，确定集合有3个元素或4个元素，结合新定义，即可列举； （2）由“等差集”的定义可知，得，即可列式求解. 【解答过程】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 【变式9-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，直接写出集合、； (2)若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题目定义，直接计算集合、即可； （2）①根据题目定义，得到，分析元素之间的关系，即可证明. ②根据题目定义，结合，分析元素之间的关系，即可证明. 【解答过程】（1）因为， ，， 所以. （2）且， 所以， ①证明：因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $