湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2026年上学期高一年级期末考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.若复数z满足z=223+1,则z上() A.2 B.5 C.2 D.1 2.已知集合A={1,2},B={x|(x-2)(x+1)<0},则AOB=() A.{1) B.{2} C.{1,2} D. 3.△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=√2，A=45°，则B=() A.90° B.60° C.30°或150° D.30° 4.已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论错误的是() A.若A与B互斥，则P(A+B)=0.7 B.若A∈B,则P(AB)=0.5 C.若P(AB)=0.4,则A与B相互独立 D.若A与B相互独立，则P(A+B)=0.6 5.己知点AL,0),B(0,2),C(3,2),则AB在AC上的投影向量的坐标为() A.) B.5 c.( D.2 6.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为() A.6 B. 26 C.4v6 D.&6 3 3 3 3 7.己知sin(a+ 3)+cos(a-=-45 ) 5， <a<0,则cosa+25)等于() 3 A号 B. c. D 8.己知非零向量AB与AC满足(AB+AC )BC=0,且|AB-AC上2N2,|AB+AC=6N2, ABI ACI 点D是△ABC的边AB上的动点，则DB·DC的最小值为() A.-1 B.4 c.月 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列叙述正确的是() A.若幂函数f()的图象经过点(27，，则该函数f(x)在(0，+∞)上单调递减 B.命题“x<1,x2<1”的否定是“3x<1,x1” C.函数f(x)=ln(x2+2x-3)的单调递增区间为(-1，+o) D.函数f)=(宁与函数g()=-logx互为反函数 10.函数f(x)=Asi(ox+p)(A>0,o>0,p∈(0，x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的 是() π A.0= 3 B.9=3 C.若f)在0，m)上恰好有三个零点，则7<m≤3 2 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=2 11.棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，E,F,G分别是AB,BC,B,C的中点，则下列 说法正确的有() A.P点在直线BC上运动时，三棱锥A-DPC的体积不变 B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA,CC平行 C.直线EG与直线AD所成的角为后 D.三棱锥D-EFG的体积为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知函数y=a-1+1(a>0,a≠1)的图象过定点(k,b),若m+n=k且m>0,n>0, 则4+1的最小值为 m n 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2 则△ABC面积的最大值为 14.在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB,PA=PB=V2,AC=2AB=4,BC=2N5, 若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)已知集合A={xx2-5ax+4a2<0(a≠0)}，B={x|y=ln(2-x)}. (1)当a=1时，求AUB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知向量 =(a,3b),=(cos A,sin B),m//. (1)求角A的大小： (2)若a=√5，求△ABC周长的取值范围. 17.(本小题满分15分)黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝 曾在此炼丹，故改名为“黄山”，黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区 之一，明代旅行家、地理学家徐霞客两游黄山，赞叹说：“登黄山天下无山，观止矣！”又留 “五岳归来不看山，黄山归来不看岳”的美誉.为更好地 频率 提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游 个组距 0.040===- 客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制 成如图所示的频率分布直方图. 0.015 0.010 0005 (1)根据频率分布直方图，求x的值； V5060708090100分数 (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数 (得数保留两位小数)： (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60)，[60,70)的两组中共 抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在[50， 60)和[60,70)内各1人的概率. 18.（本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点， (1)求证：AM⊥平面PCD: (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值； (3)求C点到平面PAB的距离. B 19.（本小题满分17分) 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数f(x)=psinx+gcosx的“和谐向量”为 非零向量0=(p,q),可=(p,q)的“和谐函数”为f(x)=psinx+q cosx.记平面内所有向量 的“和谐函数”构成的集合为T. (1)己知B∈R,f(x)=2cosx+cos(x+),若函数f(x)为集合T中的元素，求其“和谐向 量”模的取值范围： (2)已知āb上2，设0G=a+b(元>0，>0)，且0G的“和谐函数”为p(x),其最大 值为S,求2+ S (3)己知M(-2,3),N(2,6,设(1)中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为 mx),g()=2m(点，试问在y=g(x)的图象上是否存在一点Q,使得M0·N0=0, 若存在，求出Q点坐标：若不存在，说明理由. 2026年上学期高一年级期末考试试卷 数学（参考答聚）（仅供参考，散猜校对后使用） 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 11 答案 A A D B D B C ABD ACD ABC 12.9 13.25 3 14.22π 15.(1)当a=1时，A={x|x2-5x+4<0}=(1,4),B={x|y=ln(2-x)}=(-n,2), 所以AB=(-0,4);(5分) (2)因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集， 当a>0时，A=a,4,所以只需4<2，解得0<aK2 1 当a<0时，A=(4a,a)是集合B的真子集，符合题意， 综上所述，实数a的取值范围是（←o,0LU(0,为.(13分） 16.(1).m//n,.asin B-3bcosA=0, 由正弦定理，得sin Asin B-√3 sin BcosA=0. 又sinB≠0，tanA=√5， 由于0<A<π，A=T.(6分) 3 2》:a=5,A-牙由正弦定理Ag ,得b=2sinB,c=2sinC. sinA sin B sin C 0e=mtn0-2a号-0m0-9wc0=2imc急 2 :4-写Ce0受，则c+e后： 3 666 61 b+ce(5,25],则a+b+c∈(25,3]. 故△ABC周长的取值范围为(2√5,3√].(15分) 17.(1)由频率分布直方图得：100.005+0.01+0.015+x+0.04)=1, 解得x=0.030.（4分) (2)由10(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.4<10(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6， .40%分位数在区间[80,90)内，令其为m, 则0.3+0.03×0m-80)=0.4,解得m=80+10 83.33， ∴.这100名游客对景区满意度评分的40%分位数为83.33分.(9分) (3)评分在[50,60)，[60,70)的频率分别为0.05,0.1， 则在[50,60)中抽取0.05 005+07x6=2人，设为a,b, 在60,70中抽取。01×6=4人，设为C,D,E,F,(1分) 0.05+0.1 从这6人中随机抽取2人，基本事件有： {a,b},{a,C},{a,D},{a,E},{a,F},{b,C},{b,D},{b,E}, {b,F},{C,D},{C,E},C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15个， 设事件A表示”选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人“， 则事件A包含的基本事件有：{a,C},{a,D},{a,E},{a,F},{b,C), {b,D},{b,E},{b,F},共8个， :选取的2人评分分别在50,60)和[60,70内各1人的概率为P=”=8.(15分) n15 18.(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD⌒底面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,又AMC平面PAD,所以CD⊥AM, 因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD, 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 所以AM⊥平面PCD;(5分) (2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF, 则EF=CD,又EFI/CD,所以EF⊥AD, 在正△PAD中，PE⊥AD, 因为EF∩PE=E,EF,PEc平面PEF,则AD⊥平面PEF, 在正方形ABCD中，AD/IBC,故BC⊥平面PEF, 所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 由CD⊥平面PAD,EF//CD, 则EF⊥平面PAD,又PEc平面PAD,所以EF⊥PE, 正方形ABCD的边长AD=2,则EF=2,PE=√5， 所以PF=V万，则cos∠PFE= EF 27 PF 7 故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2Y5 (12分) (3)取AD,BC的中点分别为E,F,连接BE,PE, 在正△PAD中，PE⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD, 所以PE⊥BE,AE=1,PE=√5，PB=√PE2+BE2=√3+5=2√2， 厅以△PAB为等腰直角三角形，SP。=)》 -×2×2=2, 设C到平面PAB的距离为d, 3 =pnSm×d,所以d=5, 1 3 即C到平面PAB的距离为√5.(17分) 19.(1)f(x)=2cosx+cos(x+0)=2cosx+cosxcos-sinxsin=-sinesinx+(2+cos)cosx, 所以函数f(x)的“和谐向量”向量0=(-sin0,2+cos), sin20+(2+cose)=4c0s0+5, 因为cos0∈[-1,1，所以4cos6+5∈[1,9]， 所以的取值范围为[1,3]：(5分) (2)=(2cosa,2sina),b=(2cos B,2sin B), OG=a+ub =(2(acos a+ucos B),2(sina+usin B)), x)=2(Acosa+ucos B)sinx+2(Asina+usin B)cosx =2(cos asinx+sin acos x)+2u(cos Bsinx+sin Bcosx) =2Asin(x+a)+2usin(x+B)<21+2u, x+= +2kπ 此时存在x。，满足 2 ,当且仅当x=x,时取等号，其中k,k∈Z, π 6+B=2+2k元 所以a-B=2(k-k)m,即a=b,所以a=B+2kπ，k∈Z, 所以的最大值S=2A+2业，所以-分(1分) (3)由(1)知，当cos6=-1时，|o最小，此时0=(0,1)， 所以m)=cos,g()=2cos, 设06x.2c0s克，令1=2cos克1e-2.21,则M0=(c+21-3》0=6-21-6, 因为MQ.NQ=0, 所以(x+2)(x-2)+(t-3)(t-6=0,即x2+t2-9t+14=0, 所以0-2-空-r内，所以：3s即27： 而t∈[-2,2]，则t=2,当且仅当x=0时，等式()成立， 所以在y=g(x)的图象上存在一点Q0,2),使得MQ·N0=0.（17分) 说明：解答题的其他解法按相应的评分标准给分.