精品解析：湖南省澧县第一中学2025-2026学年高一强基班第二学期期末考试数学试卷

2025年强基班第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，再根据集合补集的定义求解. 【详解】，则， 故选：A. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3. 函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 4. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 5. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 6. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，，依题意，则， 则，由， 两边同时取对数可得， ， 即所需的训练迭代轮数至少为15次. 故选：C. 7. 定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是 A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件画出偶函数的大致图象，再分析函数f（x）=的交点个数，可得答案． 【详解】由条件，可知函数在时，图象向右平移3个单位，函数值变为原来的，且当时,,所以函数的大致图象： 共有7个交点， 故选B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的零点，考查了函数图像的应用，属于难题． 8. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由求出集合，分，和三种情况求出集合，结合，即可得出答案. 【详解】由，得，即，解得或， 所以或， 当时，或， 由，得，解得； 当时，或， 由，得； 当时，，满足， 综上所述实数的取值范围是或， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. C. 若，且，则 D. 若，则有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由命题的否定定义判断A选项；由基本不等式判断B选项；通过“巧用1”由基本不等式求得最小值判断C选项；由基本不等式建立不等式，解得的最值判断D选项. 【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，且只否定结论，则“”的否定是“”，故A错误； ，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故B正确； 因为，且，所以，且， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 由，得，又，所以， 设，则，解得， 当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意，总有，则称具有性质.下列说法正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判断A;根据函数的值域可判断B，利用基本不等式结合可判断C;根据已知条件可得出,化简可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围,可判断D. 【详解】由为偶函数，得，故A正确； 若，则， 所以不存在实数，使得恒成立，故B错误； 当时，； 当时，，当且仅当， 即时，等号成立，故对任意恒成立， 所以具有性质，故C正确； ， 则.令，则，且， 所以为偶函数.当时，， 所以的值域为，所以，所以，又, 则,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 13. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数定义得的值，及函数在上的单调性，从而知道及的解集，即可求得的解集. 【详解】由题意得，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当或时，. 不等式等价于或，解得或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为：. 14. 将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的最大值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先得到变换后的函数解析式，得到对恒成立，先分和两种情况求出，再检验，时成立，即可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为. 因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立， 即，则对恒成立. 令， 若，则， 则对于恒成立. 因为单调递增，所以，所以. 若，则，恒成立， 故. 当时，且时，则. 由于在上单调递增，所以恒成立， 所以实数的取值范围是，故的一个取值为，的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 设函数． （1）作出函数的图像； （2）若不等式解集为，求值． 【答案】（1）函数图像见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数，再作图像即可； （2）作出函数，的图像，由，求解即可. 【小问1详解】 解：； 函数的图像，如图所示． 【小问2详解】 解：在同一坐标系中作出函数，的图像， 如图所示： 又因为的解集为， 由题设知，当时，，且，即． 由，得， 由，解得． 所以，. 17. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，且，求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【小问1详解】 由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 18. 已知且，函数是指数函数，且. （1）求实数和的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 【答案】（1）， （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）根据指数函数解析式特征求得，由求得； （2）由（1）可知，分离参数得对任意恒成立，然后利用换元法及对勾函数的单调性求得函数最小值，即可得解； （3）令，则方程有一根大于1，另一根大于0且小于1，记，利用二次函数根的分布列不等式组，即可求解． 【小问1详解】 因为函数是指数函数， 所以，即，解得或， 又，所以， 又，且，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则，记， 令，因为，所以，则， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 方程， 即方程，即方程， 令，则方程， 因为关于的方程的一根大于0，另一根小于0， 所以关于的方程的一根大于1，另一根大于0且小于1， 记， 所以， 所以，所以整数的最大值为0. 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 【答案】（1）（ⅰ）当时，，， 当，即时，则，即， 显然，因此， 所以当时，是P到Q的双界函数. （ⅱ） （2）2705 （3）依题意，时，， 令，则， 令，，则， 两式相加，得，即， 令，，则， 因此， 则 ，所以， 所以是A到B的双界函数. 【解析】 【分析】（1）（i）根据给定条件，利用双界函数的定义计算得证；（ii）根据给定的定义，由，恒成立求解即得. （2）由给定条件可得，利用函数单调性求出在上的最小值，再利用递推关系求出在上的最小值. （3）根据给定的定义，结合赋值法及迭代法推理得证. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），是P到Q的双界函数， 则当，即时，恒成立， 由，得恒成立，而，， 由恒成立，得；由恒成立，得，因此， 所以实数k的取值范围为. 【小问2详解】 依题意，当时，，则，即， 而函数在上单调递增，则当时，在上单调递增， 当时，， 当时，；当时，，， 又，因此函数在上的最小值为， ， 由，得，所以在上的最小值为2705. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年强基班第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 5. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是 A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 8. 已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. C. 若，且，则 D. 若，则有最大值 10. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，满足对任意，总有，则称具有性质.下列说法正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 存在，使得函数具有性质 C. 任意，函数都具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知，则的值为______． 13. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 14. 将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）； （3）． 16. 设函数． （1）作出函数的图像； （2）若不等式解集为，求值． 17. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，且，求函数在上的值域. 18. 已知且，函数是指数函数，且. （1）求实数和的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 19. 设P，Q是两个非空数集，若定义在上的函数对任意当时，，则称为P到Q的双界函数. （1）设，，. （ⅰ）证明：当时，是P到Q的双界函数； （ⅱ）若是P到Q的双界函数，求实数k的取值范围. （2）若，，是P到Q的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合其中，.若，是P到Q的双界函数，证明：是A到B的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $