重难点05 二次函数综合专项（7大知识点+7大题型培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

重难点05 二次函数综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 知识点三 线段与周长核心模型 知识点四 角度核心考点 知识点五 特殊三角形存在性原理 知识点六 特殊四边形存在性原理 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 线段周长问题 题型2 面积问题 题型3 角度问题 题型4 特殊三角形问题 题型5 特殊四边形问题 题型6 相似三角形问题 题型7 其他问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 二次函数基础图像性质综合：结合开口、对称轴、顶点、增减性、最值，解决动态点位置分析，是所有压轴大题的底层基础。 2. 坐标与几何转化：掌握抛物线上动点坐标表示方法，能把点坐标 → 线段长度、水平 / 竖直距离、高、底边长，是函数几何综合的核心转化能力。 3. 线段、周长最值模型：将军饮马、线段差最值、最短周长、定点定线段最值经典几何模型与二次函数结合。 4. 面积计算与最值模型：不规则图形割补、铅垂高水平宽、动点面积最值、面积比例分割问题。 5. 角度存在性问题：直角、45°、等角、倍角、角度平行垂直压轴存在性探究。 6. 特殊三角形存在性：等腰三角形、直角三角形、等边三角形动点找点存在性问题（分类讨论）。 7. 特殊四边形存在性：平行四边形、矩形、菱形、正方形动点找点分类讨论。 8. 二次函数与相似三角形综合：定点 + 动点构成相似三角形，对应边成比例、对应角相等分类求解。 · 梯度化设问：广州统考、分班测、中考全部采用多问递进结构，第 1 问求解析式，第 2 问线段 / 面积，第 3 问角度 / 特殊图形存在性，层层拔高。 · 几何压轴融合化：不再单独考函数、不再单独考几何，函数为载体、几何为核心，纯代数计算逐步弱化，重点考查数形结合、分类讨论。 · 存在性问题成固定压轴：等腰、直角三角形、平行四边形、相似三角形是本地考试最稳定的压轴考点。 · 严谨性拉分：多解问题、临界点取舍、坐标正负、动点范围限制，是尖子生主要丢分点。 · 去套路化：近年命题增加不规则面积、角度转化、动态位置辨析，杜绝死模板刷题，重思维迁移。 考情解码： · 模块地位：初中数学终极压轴模块，是九上最难、中考区分度最高、分班选拔必考压轴内容，决定高分段分层。 · 分值占比：期末 / 中考固定 10–12 分压轴大题，校内 95 + 学生主要突破瓶颈就在本专题。 · 核心难点：学生普遍会求解析式，但不会几何转化、不会分类讨论、漏解、不会设动点坐标。 · 失分重灾区：未分类讨论、动点范围不限制、相似对应关系写反、四边形顶点顺序混乱、角度判断遗漏情况。 · 备考关键：建立「设点坐标→表示线段→列几何关系→解方程取舍」的固定压轴解题链条。 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 1. 固定第一步：求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点坐标。 2. 动点通用设法： 抛物线上动点：设 对称轴上动点、直线上动点采用对应解析式设元。 3. 核心转化思想：所有几何问题，全部转化为坐标与方程问题。 4. 必备限制条件：动点横坐标取值范围（图像区间限制）。 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 1. 水平线段长： 2. 竖直线段长： 3. 任意两点距离公式： 4. 铅垂高·水平宽面积公式（必考） S=1/2*水平宽*铅垂高，适合所有动点三角形面积最值、面积比例问题。 知识点三 线段与周长核心模型 1. 将军饮马最短路径：两定点一动点，利用对称转化两点之间线段最短。 2. 三角形最小周长、四边形最小周长模型。 3. 线段差最大值模型：利用三角形三边关系。 知识点四 角度核心考点 1. 垂直问题：斜率乘积为-1（初中可通过直角三角形相似/勾股替代）。 2. 45°角、等角、余角、补角构造。 3. 平行线、夹角相等的坐标特征。 知识点五 特殊三角形存在性原理 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：三边两两相等。 2. 直角三角形：勾股定理垂直，分三类讨论：三个顶点分别为直角顶点。 知识点六 特殊四边形存在性原理 1. 平行四边形：对角线互相平分（中点重合），压轴万能解法。 2. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形、菱形特征。 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 1. 两角对应相等即可相似。 2. 动点相似必须分类讨论对应顶点，避免唯一解漏情况。 3. 利用竖直角三角形、水平直角三角形构造相似，列比例方程求解。 题型1 线段周长问题 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 【变式训练1-1】已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为或 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）连接，首先确定该抛物线对称轴为，进而确定，；由对称性可得，，进而可得，再证明，易得为等腰直角三角形，可得，；证明为等腰三角形，可得，进而确定点坐标；根据对称性，确定当点在轴下方时的坐标，即可获得答案； （3）设，过点作于点，过点作于点，分点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方、点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方、点在该抛物线的对称轴的左侧三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可得，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， 将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）存在， 当点在轴上方时，如下图，连接， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由对称性可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，当点在轴下方时，可得 综上所述，点F的坐标为或； （3）设，过点作于点，过点作于点，则， 分三种情况讨论， 情况1，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况2，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况3，当点在该抛物线的对称轴的左侧时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴此种情况下，符合题意的点不存在． ∵， ∴的最大值为． 【变式训练1-2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 【变式训练1-3】已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 题型2 面积问题 【例2】抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 【变式训练2-1】如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 【变式训练2-2】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当最大时，点坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式训练2-3】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 题型3 角度问题 【例3】如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)如图1，求此抛物线的解析式； (2)如图2，点Q为抛物线第一象限上的点，设Q的横坐标为m，过点Q作于点T，的长为d，求d与m之间的函数关系式（直接写出m的取值范围）； (3)如图3，点P为抛物线第四象限上的点，连接，交y轴于一点D，在上取一点E，使得，当时，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）求出，得到，求得，则，由求出，即可得到函数解析式； （2）过点Q作轴交于点F，求出直线的解析式为，得到，证明，则，在中求出，据此进一步即可得到答案； （3）设与x轴交于点H，过点H作于点G，过点E作轴于点M，过点P作轴于点N，设，其中，求出直线的解析式为：，得到，则，得到直线的解析式为：，求出，得到，由得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线，与x轴相交于点A、B， ∴令，得， ∵， ∴， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：如图2，过点Q作轴交于点F， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q的横坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴； （3）解：如图3，设与x轴交于点H，过点H作于点G，过点E作轴于点M，过点P作轴于点N， 设，其中， ∵， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， 令，得：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为． 【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)四边形的面积为7 (3)满足条件得P点坐标为或 【分析】（1）根据，求得点A的坐标，代入即可求得抛物线解析式； （2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案； （3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线，得， 解得：，′ ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴ 即四边形的面积为7． （3）解：当时，， 可知抛物线经过点， ∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点， ∴平移后得抛物线解析式为：； ①若点P在x轴上方时，作轴，交抛物线于P点， ∴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线对称， ∴； ②若点P在x轴下方时，如图2，作的中垂线，与x轴交与E点，联结并延长，交抛物线于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 作轴，垂足为H，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴P， 综上所述，满足条件得P点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键． 【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式为：______； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点，，设点的横坐标为． ①求的最大值； ②连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②1或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出的长，再过点作轴于点，求出的长，然后利用二次函数的性质求解即可； ②先求出的长，再证出，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①∵点为第一象限内抛物线上的一动点，且其横坐标为， ∴， 将代入抛物线得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为． ②由上可得：，，，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将函数化成顶点式为， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴的值为1或． 题型4 特殊三角形问题 【例4】二次函数的图象经过、两点． (1)求的值； (2)点M是第二象限的图象上的一个动点，过点M的直线分别交直线于点P、交y轴于点Q，求的最大值； (3)在抛物线对称轴上是否存在点H，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在点，使是钝角三角形？若存在，直接写出点G的纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，H的坐标为或或或 (4)存在，的取值范围为或或或 【分析】（1）由题可知，把A，C两点坐标代入，即可求出b和c的值，进而求出的值； （2）求出直线解析式，可得到直线与垂直，可得，当最大的时候，的值最大； （3）分类讨论，分别求出每种情况下H的坐标，时，时，时，分别求解即可； （4）由（2）确定当时，，此时A、C、G三点共线，结合（3）根据临界点求是钝角三角形时取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴， ， ； （2）解：如图1， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵P、Q所在直线为， 当时，，即， ∴， 当时，解得， 此时， 即， ∴ ， ∴， ， ∵、， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 当最大时，也最大， 联立方程组， ∴当时，最大， 解得：， ∴， ∴； （3）解：当时， 如图2，过点H作x轴平行线，过点A作y轴平行线，交于点M、N， 设， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 或； 当时，如图3， 同理可得， ，，，， ∴， ∴， ， ； 当时，如图4， 同理可得， ，，，， ∴， ∴， ， ； 综上所述，H的坐标为或或或； （4）解：存在，理由如下： 由（2）知，直线的解析式为， 当时，，此时A、C、G三点共线， 结合（3）可知当时，，此时为钝角三角形， 当时，，此时为钝角三角形， 当时，，此时为钝角三角形， 当时，，此时为钝角三角形， 为钝角三角形时，的取值范围为或或或． 【变式训练4-1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 【变式训练4-3】综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点B在x轴的正半轴上．抛物线：经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标； (2)如图1，若E是线段上的一点，连接交y轴于点F，且，求出此时点E的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移n个单位长度得到，交射线于点P和点M（点P在点M的右侧），为抛物线的顶点． ①若n的值为时，请直接写出平移后的新抛物线的函数解析式； ②在平移过程中，是否存在以D，，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点A的坐标为 (2)点E的坐标为 (3)①或； ②存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）先求出点B、C坐标，代入求出b、c，可得抛物线的函数解析式，令可求得点A的坐标； （2）设，如图1，过E作轴于G，则，证明得到，结合已知求得，，进而可求解； （3）①设，由题意，，利用两点距离坐标公式列方程求得t值， 则，进而可得平移方式，利用平移规律“左加右减，上加下减”可求得平移后的抛物线解析式； ②设，先求得，，， 再分三种情况：，，，分别利用两点距离坐标公式列方程求解n值即可解答． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，由得， ∴，， 代入中，得，解得， ∴抛物线的函数解析式为， 令，由得，， ∴点A的坐标为； （2）解：设， 如图1，过E作轴于G，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴点E的坐标为； （3）解： ①设，由题意，， ∴，解得，（舍去）， ∴， 故抛物线先向左平移5个单位，再向上平移5个单位，可得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为，即； ②存在，设， 由得， 由得，则，（舍去）， ∴， 故抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到新抛物线， ∴， 以D，，P为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况： 当时，，则， 解得，， ∴； 当时，，则， 解得，（舍去）， ∴； 当时，，则， 解得， ∴， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 题型5 特殊四边形问题 【例5】如图1，抛物线的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，动点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，以为边作矩形（点E在x轴上），设运动的时间为t秒． (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作轴于点N，交抛物线于点M，当时，求点M的坐标； (3)如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向运动，以为边作等腰直角三角形，与交于点G．给出如下定义：在四边形中，，且，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形和等腰直角三角形重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点坐标代入抛物线求解即可． （2）当时求得长度，并且利用三角函数关系求得M点横坐标，代入抛物线解析式即可求解． （3）依题意画图，确定长度，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过，两点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， 当时，． ∵， ∴． ∴． ∴当，． ∴． （3）解：如图，连接， 由题意得：，， 而， ∴ ， ∵矩形， ∴． 当时， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴矩形和等腰三角形重叠的四边形是“筝形”， ． 【变式训练5-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 【变式训练5-2】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 【变式训练5-3】如图，抛物线经过点、、． (1)求出抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点D，Q是平面上任一点，使得平行四边形的面积为6，求出点D的坐标； (3)点H在线段上任一点，若一小虫沿着B到H，H到C的方向运动，且从B到H以每秒1个单位的速度运动，从H到C以每秒个单位的速度运动，求当小虫从B到C时走的最少时间． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意设交点式，然后代入C求解即可； （2）根据题意可将平行四边形的面积转换为对应三角形的面积求解即可； （3）作于E点，结合三角函数解出三边比例关系，得到小虫在到以每秒个单位的速度运动，等价于在到以每秒个单位的速度运动，作，此时即为最短路径，求解时间即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 即：； （2）解：由题可知，，即：满足即可， 如图所示，作轴，交AC于点N， 设直线的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， 则：， 解得：或， 将代入抛物线解析式得：， 将代入抛物线解析式得：， 综上，点的坐标为，； （3）解：如图所示，作轴，于E点，则， ∴， ∴，， ∵小虫在到以每秒个单位的速度运动， ∴等价于在到以每秒个单位的速度运动， ∴最短时，小虫的运动时间最短， 作，此时即为最短路径， ∴， ∴最短时间为：． 题型6 相似三角形问题 【例6】如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，点坐标为，． 【分析】（1）由抛物线对称轴为，并过点，可求出、，从而求出抛物线解析式和顶点坐标． （2）由A，B，C坐标可得出，再由，推出是正三角形，翻折后，推出，从而得到，把代入即可求解． （3）分情况讨论点在轴的存在性． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 二次函数的解析式为． 配方得， 顶点坐标为． （2）解：如图， 由题意知， 令，得 ， 解得， 点坐标为， 令，得， ∴点坐标为， 在中，，， 则, ， 又， 是正三角形． ∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度， ， 点在上，坐标为， 点在上，由几何关系可知的坐标为，即． 将沿翻折后，点是关于的对称点， ∴，， ∴， ∴, 的纵坐标与相同，为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ． 点在抛物线上， ， 化简，得， ， ． 时，，， ． （3）解：由（2）的结论可知，在中，， 当时，为的中点，为的中点， ∵，， ∴ 在中，， 是直角三角形，， ，． 当在轴上时，过作交轴于点． ， ． ． 解得， ∴，则； 过作轴于， ，， ． ，解得， ∴，则； 在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似； 综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，． 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，函数图象上有两个点与，其横坐标分别为和4． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)当与两点之间的函数图象随的增大而增大或减小时，求的取值范围． (3)与两点之间的函数图象称为，存在直线． ①当与直线有2个交点时，求的取值范围． ②分别过作垂直轴于点垂直直线于点，以、为边作矩形，作直线，当图象在矩形内部为轴对称图形时，直接写出直线将分成两部分的面积比为时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)① 或 ，②或 【分析】（1）将 的值代入函数表达式，即可得到二次函数解析式，然后，通过配方法将解析式化为顶点式 的形式即可得解； （2）先得出抛物线的对称轴为直线，分当与两点之间的函数图象随的增大而增大时对称轴在左侧和当与两点之间的函数图象随的增大而减小时对称轴在右侧，解出的取值范围即可； （3）①将抛物线的方程与直线的方程联立，得到一个关于的一元二次方程，结合和根与系数的关系，即可得到的范围；②设直线与直角边相交于点，分或两种情况得到或，解方程即可得解． 【详解】（1）解：当时，函数， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵函数与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为，且，开口向上， ∴当与两点之间的函数图象随的增大而增大时，对称轴在左侧， ∴，解得； ∴当与两点之间的函数图象随的增大而减小时，对称轴在右侧， ∴，解得， 综上可知，的取值范围是或． （3）解：①∵点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵是与两点之间的抛物线， ∴， ∵与直线有2个交点， ∴联立得，整理得， 根的判别式，即 解得或 设两交点的横坐标为 则 解得或 综上可知，或； ②当图象在矩形内部为轴对称图形时，如下图所示： 且且 即且且 解得， 设交于点 直线将分成两部分的面积比为 或 ， 或 解得或 所以或． 【变式训练6-2】已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【答案】(1)①对称轴为直线，顶点坐标为； ②证明：设， 令，则，整理得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， 故存在两个点P，且点P的横纵坐标互为相反数， 故此二次函数有两个不同的“零和点”； (2) 【分析】（1）先由已知得到，①根据二次函数的性质求解即可；②设，令，得到，证明该方程有两个不相等的实数根即可解答； （2）先由题意得到且，顶点D的坐标为，，，再求得直线的表达式为得到，证明得到，则，则整理得，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，，时，， ①该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． ∴且，顶点D的坐标为， 令，由得，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 则， 即 整理，得， ∵， ∴． 【变式训练6-3】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2)D的坐标为或 (3)，四边形的面积最大为 (4) 【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点的坐标； （3）先求出直线的解析式，进而求出四边形的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点的位置，进而求出的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，令，则， ， ， ， ， 要使以为顶点的三角形与相似， ，且中三个角都是锐角， 则有或， ①当时，， ； ②当时， ， ， ， 即：的坐标为或． （3）解：设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵E在抛物线上， ， （舍去）或， ， ， ， ∴设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ， ， ∵轴，轴， ， ∴， 当时，四边形的面积最大为． 当时，， ； （4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点， ， ∴K关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴； ， ∴点关于轴的对称点， 连接， 根据轴对称可得， ∴四边形的周长， ∵为定点， ∴为定值， ∴当四点共线时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为，将，代入解析式得， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令得，令得， ． 题型7 其他问题 【例7】定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 【变式训练7-1】已知抛物线，平面上有一定点，过作直线与抛物线交于（在的左侧），分别过两点作直线和（和不平行于坐标轴），其中，且直线和与抛物线都有唯一公共点．（附：两点间的距离公式：若，则 (1)请用表示和． (2)若一束光线经过点到点，经直线反射后的反射光线为，求证：轴． (3)若直线和交于点，判断点是否在某个一次函数的图象上，若在，请求出函数的解析式；若不在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：根据（1）可得的解析式为， 设与轴交于点， 令，则，即， ∵、， ∴，， ∴， ∴， 根据光的反射定律，入射角等于反射角，得， ∴， ∴，即轴； (3)是，点始终在直线上 【分析】（1）根据点在抛物线上，得出，将直线方程代入抛物线得：，根据直线与抛物线只有一个公共点，得该方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和，两根之积，即可解答； （2）根据（1）可得的解析式为，设与轴交于点，则，结合、，得出，则，根据光的反射定律，入射角等于反射角，得，即可得，则轴； （3）同理第（1）问可得，过的直线的解析式为：，联立和的方程求出交点，联立直线与抛物线，得方程，根据一元二次方程根与系数的关系，两根满足：，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵直线与抛物线仅有唯一公共点， 将直线方程代入抛物线得：， 整理为一元二次方程：， ∵直线与抛物线只有一个公共点，所以该方程有两个相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和，得， 两根之积，得； （2）略 （3）解：同理第（1）问可得，过的直线的解析式为：， 联立和得：， 两式相减得：，即， ∵在左侧，即， ∴两边约去得， 即的横坐标为：， 代入得的纵坐标：， ∴， 联立直线与抛物线，得方程， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根满足：， ∴， ∴的纵坐标恒为定值，横坐标任意，即点始终在直线上，这是一个一次函数． 【变式训练7-2】如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 【答案】(1)2或 (2)①证明：∵， ∴均不为0， ∴都不为0， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， 联立直线与抛物线解析式，消去可得， 即， ∵直线与抛物线交于两点， ∴是方程的两根， ， ， ∴构成“美丽三数组”； ②且 【分析】（1）把三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用和分别表示出，再由“美丽三数组”的定义可得到关于的方程，可求得的值； （2）①由直线解析式可求得，联立直线和抛物线解析式消去，利用一元二次方程根与系数的关系可求得，再利用“美丽三数组”的定义证明即可； ②由条件可得到，可得，由可求得的取值范围，令，利用两点间距离公式可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得的取值范围，从而可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵三点均在（为常数，）的图象上， 将三点横坐标代入函数可得：，，， ∵， ， ∵这三点的纵坐标构成“美丽三数组”， 或或， ∴或或， ∴或或， 或或0（此时无意义，舍去）， 或； （2）解：①略 ②∵，是方程的根， ， ， ， ∴， 若，则，由可得，则，因此，故与（负数大于正数）矛盾，因此， 整理可得， 解得， ， ， 令， 则，且，， ， ∴当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值， 当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值， 且， ∵P到原点的距离为非负数， 且． 【变式训练7-3】已知抛物线的顶点为（其中）． (1)若抛物线经过和两点，且． ①求抛物线的函数表达式； ②若，设点，在抛物线上，比较、的大小关系，并说明理由． (2)若，，直线和抛物线相交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为，求出和的函数关系式； (3)若点在抛物线上，且时，求的取值范围． 【答案】(1)； ，理由如下： 由知：抛物线的对称轴为，且，抛物线开口向上， 抛物线在的右侧随着的增大而增大， ， 点，均在对称轴的右侧，且， ； (2) (3) 【分析】（1）已知抛物线上的两点，以及顶点的横坐标，列出方程组，即可求解；由知抛物线开口向上，以及抛物线的对称轴，且点、均在对称轴的右侧，根据抛物线的性质，在对称轴的右侧随着的增大而增大，即可比较，的大小； （2）根据点、既在抛物线上，又在直线上，分别代入，表示出坐标，根据纵坐标差值相等，即可求得和的函数关系式； （3）将点分别代入两个抛物线解析式中，结合对称轴可求得关于的表达式，根据，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，且顶点为， ，解得 ， 抛物线的解析式为：； 略； （2）解：若，，则抛物线为：， 点、在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 点、也在直线上， ，， 点、既在抛物线上又在直线上，则它们纵坐标的差值是相等的， ， 整理得：； 和的函数关系式为； （3）解：点在抛物线上，又是抛物线的顶点， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，解得． 的取值范围． 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，过点作于．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，过点作于，过点作于， 把代入，得， 解得， 二次函数解析式为， 令，， 解得或3， ， 令，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为4． 2．如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当P、Q分别在上运动时，；当P、Q分别在上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：当、分别在、上运动时， 是菱形，，则、 为边长为2的等边三角形， 过点作 于点， ， 函数最大值为，符合条件的A、B、C、D； 当、分别在、上运动时，过点作 于点， 则， 即，时，， 符合条件的有A． 3．关于抛物线(是常数)，以下结论中错误的是() A．抛物线的顶点在一条定直线上运动 B．若点，在抛物线上，则 C．无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 D．若，是抛物线与轴交点的横坐标，则的值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，判别式的应用，顶点坐标的求解，二次函数增减性，点到直线的距离，以及代数式降次求值，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：先整理抛物线解析式，配方得： ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ， 由顶点坐标 ，得顶点满足，即所有顶点都在定直线上，A正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，， ∴，故B正确 ； 设二次函数顶点为点， 如图所示，过点向轴作垂线，交轴于点，交直线于点，过点向直线作垂线交直线于点， ∴点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴顶点 到直线的距离为， ∴无论为何值，距离都等于，故C正确． 当时，抛物线解析式为 ， 是抛物线与轴交点的横坐标， ，即 ，依次降次计算得： ， ， ， 整理分母得：，分子为 ，因此分式，故D不正确，符合题意． 4．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 5．若整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，且满足：．下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②若，当时，满足条件的所有整式有且仅有个； ③若为二次三项式，当取任意值时，的值均为非负数的的个数为个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的条件，逐一验证三个说法的正误，即可得到结果 【详解】解：① 若是单项式，为正整数，次数为的单项式只有最高次项非零，其余系数均为，可得，但题目规定是正整数，即，矛盾，因此不存在满足条件的单项式，故①正确； ② 当，时，条件为，各有正负两种符号，分类计算： （1）时，当，，或或；对应个整式； 当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，；对应个整式；一共个整式； （2）时，当，，或；对应个整式； 当，，；对应个整式； 当，，；对应个整式；一共个整式； （3）时，，，，对应个整式； 总个数为，故②错误； ③ 是二次三项式，，，条件为，此时可看作关于的二次函数，当取任意值时，的值均为非负数，则，且； ∴或， 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； 当，，；此种情况的取值均符合； ∴的个数一共有个，故③错误； 综上，正确的说法共个． 6．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 8．如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 【答案】B 【分析】首先结合图像确定，结合点的纵坐标相等，根据二次函数图像的对称性质可得此段函数图像的对称轴为，过点作于点，连接，即，证明，利用相似三角形的性质可解得，故选项A错误；在中，由勾股定理可得，易得，故选项B正确；当点与点重合时，取最大值，解得此时 ，故选项C错误；当时，利用勾股定理解得，易得点不在该函数图像上，故选项D错误． 【详解】解：如下图，根据题意，可得当点在线段上时，函数的图像为段， 当点在线段上时，函数的图像为段， 当，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， 当点运动到点，即点与点重合时，， 即，解得（负值舍去）， ∴， 由函数图像可知，点的纵坐标相等，即两点的中点在此段函数图像的对称轴上，即此段函数图像的对称轴为， 如下图，过点作于点，连接， 当点与点重合时，取最小值，即取最小值， ∴取最小值，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，故选项A错误，不符合题意； 在中，， ∴，故选项B正确，符合题意； 当点与点重合时，取最大值，即此时， ∵， ∴， 即，故选项C错误，不符合题意； 当时，如图，即， ∴， ∴， ∴点不在该函数图像上，故选项D错误，不符合题意． 9．已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 10．已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点分别为，过点作轴于点，根据切线长定理得出平分，进而可得，设，得出，根据点在抛物线上，，联立解方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，设与y轴，直线的切点分别为，过点作轴于点， 设， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵是的切线， ∴平分 ∴ 设， ∴ ∴， ∴ ∵点在抛物线上， ∴． 联立得：， 整理得， 即． ∵， ∴， 即的半径为． 11．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）分情况讨论：当时，，当时，，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入得；把代入得． ∴，． 把，代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图： 由题意可得，，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 当时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或． ∵， ∴或． 综上所述，满足条件的点坐标为或或或，点坐标为或或或． 13．在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是 ，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）略 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点M是x轴上一动点，其横坐标为m；点N是直线上一动点，其横坐标为． (1)分别写出A、B、C三点坐标； (2)当点N在抛物线上时，求m的值； (3)当时，将绕点M顺时针旋转，得到，连结． ①当的面积被直线分为两部分时，求m的值； ②当内部的抛物线，y随x的增大而增大时，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)①，② 【分析】（1）根据交点坐标求解即可； （2）点坐标为，将点代入抛物线，求解即可； （3）由旋转性质得点坐标为，分步求解即可． 【详解】（1）解：令抛物线中， 解方程：， 得，， 由在左侧，得点坐标为，点坐标为， 令抛物线中，得，故点坐标为； （2）解：∵点横坐标为，且在直线上， ∴点坐标为， 将点代入抛物线得：， 整理得：， 解得，； （3）解：分别过点N、P作轴，轴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①∵点在直线上，直线与线段交于点，且面积比为， ∴或， 即或， ∴或， 设直线解析式为， 将、代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立与，得， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ， ∴， ∵或， ∴或， 解得：，，，， ∵， ∴，， 当时，，，横坐标为1，不在内． 此时在的延长线上，直线并没有真正分割三角形内部，应舍去． 综上，； ②抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大； ∴内部包含对称轴右侧部分，且点M在点A右侧，点P在y轴右侧， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数综合压轴题，结合平面直角坐标系，旋转性质，面积比例，函数单调性考点分步求解．解题关键是数形结合和分类讨论． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于不同的两点，，且，该抛物线与y轴相交于点C，顶点为P． (1)若抛物线的对称轴为，求b的值； (2)若，求b的取值范围； (3)该抛物线的对称轴与x轴相交于点E，M在其对称轴上，且满足，，点F在y轴上，若，且，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴为，即可求解； （2）根据二次函数的图象抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，即可求解； （3）先求出顶点P，E的坐标，再求出点A，B，C的坐标，可得，，设点M的坐标为，其中，则，根据，可得，从而可得 ，再根据，可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， ∵二次函数的图象抛物线与x轴相交于不同的两点，， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴点A，B均在x轴的正半轴上，即点E在x轴的正半轴上， ， ∴顶点P的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为，即， 当时，， 解得：， ∴点， ∴，， ∵M在其对称轴上， ∴可设点M的坐标为，其中， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的解析式为． 16．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 二次函数综合专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 知识点三 线段与周长核心模型 知识点四 角度核心考点 知识点五 特殊三角形存在性原理 知识点六 特殊四边形存在性原理 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 线段周长问题 题型2 面积问题 题型3 角度问题 题型4 特殊三角形问题 题型5 特殊四边形问题 题型6 相似三角形问题 题型7 其他问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 1. 二次函数基础图像性质综合：结合开口、对称轴、顶点、增减性、最值，解决动态点位置分析，是所有压轴大题的底层基础。 2. 坐标与几何转化：掌握抛物线上动点坐标表示方法，能把点坐标 → 线段长度、水平 / 竖直距离、高、底边长，是函数几何综合的核心转化能力。 3. 线段、周长最值模型：将军饮马、线段差最值、最短周长、定点定线段最值经典几何模型与二次函数结合。 4. 面积计算与最值模型：不规则图形割补、铅垂高水平宽、动点面积最值、面积比例分割问题。 5. 角度存在性问题：直角、45°、等角、倍角、角度平行垂直压轴存在性探究。 6. 特殊三角形存在性：等腰三角形、直角三角形、等边三角形动点找点存在性问题（分类讨论）。 7. 特殊四边形存在性：平行四边形、矩形、菱形、正方形动点找点分类讨论。 8. 二次函数与相似三角形综合：定点 + 动点构成相似三角形，对应边成比例、对应角相等分类求解。 · 梯度化设问：广州统考、分班测、中考全部采用多问递进结构，第 1 问求解析式，第 2 问线段 / 面积，第 3 问角度 / 特殊图形存在性，层层拔高。 · 几何压轴融合化：不再单独考函数、不再单独考几何，函数为载体、几何为核心，纯代数计算逐步弱化，重点考查数形结合、分类讨论。 · 存在性问题成固定压轴：等腰、直角三角形、平行四边形、相似三角形是本地考试最稳定的压轴考点。 · 严谨性拉分：多解问题、临界点取舍、坐标正负、动点范围限制，是尖子生主要丢分点。 · 去套路化：近年命题增加不规则面积、角度转化、动态位置辨析，杜绝死模板刷题，重思维迁移。 考情解码： · 模块地位：初中数学终极压轴模块，是九上最难、中考区分度最高、分班选拔必考压轴内容，决定高分段分层。 · 分值占比：期末 / 中考固定 10–12 分压轴大题，校内 95 + 学生主要突破瓶颈就在本专题。 · 核心难点：学生普遍会求解析式，但不会几何转化、不会分类讨论、漏解、不会设动点坐标。 · 失分重灾区：未分类讨论、动点范围不限制、相似对应关系写反、四边形顶点顺序混乱、角度判断遗漏情况。 · 备考关键：建立「设点坐标→表示线段→列几何关系→解方程取舍」的固定压轴解题链条。 知识点一 二次函数动点通用解题框架（所有压轴通用） 1. 固定第一步：求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点坐标。 2. 动点通用设法： 抛物线上动点：设 对称轴上动点、直线上动点采用对应解析式设元。 3. 核心转化思想：所有几何问题，全部转化为坐标与方程问题。 4. 必备限制条件：动点横坐标取值范围（图像区间限制）。 知识点二 函数几何核心工具公式（压轴万能工具） 1. 水平线段长： 2. 竖直线段长： 3. 任意两点距离公式： 4. 铅垂高·水平宽面积公式（必考） S=1/2*水平宽*铅垂高，适合所有动点三角形面积最值、面积比例问题。 知识点三 线段与周长核心模型 1. 将军饮马最短路径：两定点一动点，利用对称转化两点之间线段最短。 2. 三角形最小周长、四边形最小周长模型。 3. 线段差最大值模型：利用三角形三边关系。 知识点四 角度核心考点 1. 垂直问题：斜率乘积为-1（初中可通过直角三角形相似/勾股替代）。 2. 45°角、等角、余角、补角构造。 3. 平行线、夹角相等的坐标特征。 知识点五 特殊三角形存在性原理 1. 等腰三角形：两腰相等，分三类讨论：三边两两相等。 2. 直角三角形：勾股定理垂直，分三类讨论：三个顶点分别为直角顶点。 知识点六 特殊四边形存在性原理 1. 平行四边形：对角线互相平分（中点重合），压轴万能解法。 2. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等。 3. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直。 4. 正方形：兼具矩形、菱形特征。 知识点七 二次函数与相似三角形核心原理 1. 两角对应相等即可相似。 2. 动点相似必须分类讨论对应顶点，避免唯一解漏情况。 3. 利用竖直角三角形、水平直角三角形构造相似，列比例方程求解。 题型1 线段周长问题 【例1】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【变式训练1-1】已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【变式训练1-2】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【变式训练1-3】已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 题型2 面积问题 【例2】抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【变式训练2-1】如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【变式训练2-2】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【变式训练2-3】如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 题型3 角度问题 【例3】如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)如图1，求此抛物线的解析式； (2)如图2，点Q为抛物线第一象限上的点，设Q的横坐标为m，过点Q作于点T，的长为d，求d与m之间的函数关系式（直接写出m的取值范围）； (3)如图3，点P为抛物线第四象限上的点，连接，交y轴于一点D，在上取一点E，使得，当时，求P点的坐标． 【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【变式训练3-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式为：______； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点，，设点的横坐标为． ①求的最大值； ②连接，若，求的值． 题型4 特殊三角形问题 【例4】二次函数的图象经过、两点． (1)求的值； (2)点M是第二象限的图象上的一个动点，过点M的直线分别交直线于点P、交y轴于点Q，求的最大值； (3)在抛物线对称轴上是否存在点H，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在抛物线对称轴上是否存在点，使是钝角三角形？若存在，直接写出点G的纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-3】综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点B在x轴的正半轴上．抛物线：经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标； (2)如图1，若E是线段上的一点，连接交y轴于点F，且，求出此时点E的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移n个单位长度得到，交射线于点P和点M（点P在点M的右侧），为抛物线的顶点． ①若n的值为时，请直接写出平移后的新抛物线的函数解析式； ②在平移过程中，是否存在以D，，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 特殊四边形问题 【例5】如图1，抛物线的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，动点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，以为边作矩形（点E在x轴上），设运动的时间为t秒． (1)求抛物线的表达式； (2)过点D作轴于点N，交抛物线于点M，当时，求点M的坐标； (3)如图2，动点P同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向运动，以为边作等腰直角三角形，与交于点G．给出如下定义：在四边形中，，且，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，当矩形和等腰直角三角形重叠的四边形是“筝形”时，求“筝形”的面积． 【变式训练5-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练5-2】如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练5-3】如图，抛物线经过点、、． (1)求出抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点D，Q是平面上任一点，使得平行四边形的面积为6，求出点D的坐标； (3)点H在线段上任一点，若一小虫沿着B到H，H到C的方向运动，且从B到H以每秒1个单位的速度运动，从H到C以每秒个单位的速度运动，求当小虫从B到C时走的最少时间． 题型6 相似三角形问题 【例6】如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，函数图象上有两个点与，其横坐标分别为和4． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)当与两点之间的函数图象随的增大而增大或减小时，求的取值范围． (3)与两点之间的函数图象称为，存在直线． ①当与直线有2个交点时，求的取值范围． ②分别过作垂直轴于点垂直直线于点，以、为边作矩形，作直线，当图象在矩形内部为轴对称图形时，直接写出直线将分成两部分的面积比为时的值． 【变式训练6-2】已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【变式训练6-3】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 题型7 其他问题 【例7】定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【变式训练7-1】已知抛物线，平面上有一定点，过作直线与抛物线交于（在的左侧），分别过两点作直线和（和不平行于坐标轴），其中，且直线和与抛物线都有唯一公共点．（附：两点间的距离公式：若，则 (1)请用表示和． (2)若一束光线经过点到点，经直线反射后的反射光线为，求证：轴． (3)若直线和交于点，判断点是否在某个一次函数的图象上，若在，请求出函数的解析式；若不在，请说明理由． 【变式训练7-2】如果非零实数x，y，z满足：当其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“美丽三数组”． (1)若，，三点均在函数（为常数，）的图像上，且这三点的纵坐标，，构成“美丽三数组”，求实数的值； (2)若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点． ①证明：，，三点的横坐标，，构成“美丽三数组”； ②若，，求点与原点的距离的取值范围． 【变式训练7-3】已知抛物线的顶点为（其中）． (1)若抛物线经过和两点，且． ①求抛物线的函数表达式； ②若，设点，在抛物线上，比较、的大小关系，并说明理由． (2)若，，直线和抛物线相交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为，求出和的函数关系式； (3)若点在抛物线上，且时，求的取值范围． 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、两点，若是轴上一动点，点的坐标为，连接，则的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线 运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线(是常数)，以下结论中错误的是() A．抛物线的顶点在一条定直线上运动 B．若点，在抛物线上，则 C．无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 D．若，是抛物线与轴交点的横坐标，则的值为 4．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 5．若整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，且满足：．下列说法： ①不存在满足条件的单项式； ②若，当时，满足条件的所有整式有且仅有个； ③若为二次三项式，当取任意值时，的值均为非负数的的个数为个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图1，在中，，点D是边上的定点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿边匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图像如图2所示，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图像上 9．已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 10．已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（    ） A． B． C． D． 11．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，点是上的点．要使得以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点、点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点M是x轴上一动点，其横坐标为m；点N是直线上一动点，其横坐标为． (1)分别写出A、B、C三点坐标； (2)当点N在抛物线上时，求m的值； (3)当时，将绕点M顺时针旋转，得到，连结． ①当的面积被直线分为两部分时，求m的值； ②当内部的抛物线，y随x的增大而增大时，求m的取值范围． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于不同的两点，，且，该抛物线与y轴相交于点C，顶点为P． (1)若抛物线的对称轴为，求b的值； (2)若，求b的取值范围； (3)该抛物线的对称轴与x轴相交于点E，M在其对称轴上，且满足，，点F在y轴上，若，且，求该二次函数的表达式． 16．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $