考点通关练3 不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式模块基础与应用，以题覆盖性质判断、最值求解、证明等核心考法，知识逻辑从概念到综合应用递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|选择4/多选2|考查性质判断与条件关系|从基本性质到充要条件推导| |求最值|选择2/填空3|基本不等式与柯西不等式应用|概念生成到实际情境模型构建| |综合应用|选择1/解答2|恒成立问题与证明|性质应用到逻辑推理综合|

考点通关练 3不等式模块精练 - 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南怀化三模）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，当且仅当时等号成立，故，中不等式恒成立. 因为，当且仅当，时等号成立，故，中不等式恒成立. 因为，当且仅当时等号成立，故，中不等式恒成立. 不等式仅在，时成立，当，时，，故中不等式不恒成立. 故选：D. 2.（2026·湖南长沙二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取，，满足，计算得，，不成立，故A错误. 取，，满足，计算得，，不成立，故B错误. 函数在上单调递增，由得，故不等式恒成立，C正确. 当时，，不成立，故D错误. 答案为C. 3.当x>0时，y＝有(　　) A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2 【答案】B 【解析】因为x>0， 所以y＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 即y＝有最大值1. 4.若a＞0，b＞0，，则2a＋b的最小值为（    ） A.6 B. C. D. 【答案】B 【解析】因为a＞0，b＞0，， 所以，当且仅当，即，时等号成立．故选：B． 5.（2026·湖南长沙三模）“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由移项整理得，解得，记该不等式的解集为. 解不等式，因式分解得，解得，记该不等式的解集为. 因为，即可推出，无法推出，由此可得”“是”“的必要不充分条件. 故选：B. 6.（2026·湖南郴州三模）已知集合，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，结合，故. 由对数真数大于得，等价于，解得，故. 由交集运算得. 答案为C. 7.若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.{a|﹣1≤a≤4} B.{a|a≤﹣2或a≥5} C.{a|a≤﹣1或a≥4} D.{a|﹣2≤a≤5} 【答案】A 【解析】∵x＞0，∴不等式，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4， 由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立， 可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4， 故选：A． 8.（2023-2024·山东高三期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式： ，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为(　　) A. B. C.12 D.20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数定义域为， 由柯西不等式得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南岳阳高三下开学考）下列命题中，不正确的是（ ） A.如果，那么 B.如果，，那么 C.如果，，那么 D.如果，，，那么 【答案】AC 【解析】对选项A，由得. 故，选项A错误. 对选项B，由得. 结合得，选项B正确. 对选项C，由得. 结合得，选项C错误. 对选项D，. 由，得，，，. 又，所以. 即，选项D正确. 答案为AC. 10.已知a，b，c，d均为实数， 则下列判断正确的是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C.若a>b，c>d，则a－d>b－c D.若a>b，c>d>0，则> 【答案】BC 【解析】若a>0>b，0>c>d，则ac<0<bd，故A错； 若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B对； 若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C对； 若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝，故D错．故选B、C. 11.下列说法正确的是(　　) A.不等式2x2－x－1＞0的解集是{x|x＞2或x＜1} B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是{x|x≤－或x≥} C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是3 D.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1 【答案】BCD 【解析】对于A，因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，所以由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－，所以不等式的解集为.故A错误； 对于B，因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0， 所以(2x－1)(3x＋2)≥0，所以x≥或x≤－.故B正确； 对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．所以－7×(－1)＝， 所以a＝3，故C正确； 对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两个根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确． 三、填空题（共3小题） 12.若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是                  ． 【答案】 【解析】因为a，b都是正数，且a＋b＝1， 所以(a＋1)(b＋1)≤2＝， 当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时，等号成立．所以(a＋1)(b＋1)的最大值为. 13.已知正数a，b满足，则ab的最大值为                   ． 【答案】 【解析】因为a,b为正数，由基本不等式得. 由得,代入上式得. 令（）,则不等式化为,即, 因式分解得. 因为,所以,故. 当且仅当时取等号，此时代入,得, 解得（）,则, 此时. 14.（2025·上海金山三模）若正数满足，则的最大值为                  . 【答案】. 【解析】为正数，，即， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 【答案】证明(1)方法一（平方转化基本不等式证明） 因为a2＋b2＋4c2＝3， 所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2] ＝3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9， 当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号． 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. 方法二（柯西不等式证明） 因为a2＋b2＋4c2＝3， 所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号． 又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3. (2)因为b＝2c， 所以根据(1)有a＋4c≤3， 所以＋＝≥ ＝≥＝3， 当且仅当a＝b＝2c＝1时取得等号． 16.（2024-2025·江苏高三开学考）已知函数，的解集为． （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值． 【答案】解：（1）因为函数，的解集为， 那么方程的两个根是，2，且， 由韦达定理有， 所以． （2） ，由，则： 根据均值不等式有：，当且仅当 ，即时取等号， ∴当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 3 不等式模块精练 - 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.（2026·湖南怀化三模）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（） A. B. C. D. 2.（2026·湖南长沙二模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 3.当x>0时，y＝有(　　) A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2 4.若a＞0，b＞0，，则2a＋b的最小值为（    ） A.6 B. C. D. 5.（2026·湖南长沙三模）“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.（2026·湖南郴州三模）已知集合，则（） A. B. C. D. 7.若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.{a|﹣1≤a≤4} B.{a|a≤﹣2或a≥5} C.{a|a≤﹣1或a≥4} D.{a|﹣2≤a≤5} 8.（2023-2024·山东高三期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式： ，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为(　　) A. B. C.12 D.20 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南岳阳高三下开学考）下列命题中，不正确的是（ ） A.如果，那么 B.如果，，那么 C.如果，，那么 D.如果，，，那么 10.已知a，b，c，d均为实数， 则下列判断正确的是(　　) A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C.若a>b，c>d，则a－d>b－c D.若a>b，c>d>0，则> 11.下列说法正确的是(　　) A.不等式2x2－x－1＞0的解集是{x|x＞2或x＜1} B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是{x|x≤－或x≥} C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是3 D.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1 三、填空题（共3小题） 12.若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是                  ． 13.已知正数a，b满足，则ab的最大值为                   ． 14.（2025·上海金山三模）若正数满足，则的最大值为                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 16.（2024-2025·江苏高三开学考）已知函数，的解集为． （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $