考点通关练 9函数模型的应用- 2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过情境化问题链构建“现实情境-函数抽象-模型求解”逻辑体系，强化数学眼光观察与数学语言表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题（如鱼缸体积函数、快递垃圾增长、出租车收费）|情境化应用题，涵盖图象识别、增长速度比较、分段函数、指数对数模型|从几何/生活情境抽象函数关系，通过函数性质（单调性、增长差异）解决实际问题| |解答题|2题（智能驾驶报警距离、网课注意力指数）|综合建模题，需构建函数解析式并求解应用|整合函数建模全流程，体现数学思维的逻辑推理与实际问题解决能力|

考点通关练 9函数模型的应用模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 2.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知与D图象相吻合． 3.小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示. 设小明从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】结合小明观察小车的运动轨迹可以看到，其观察视角从一开始增大，然后减小，有一段几乎没有发生变化，然后再减小，最后呈增大趋势，结合选项可知D正确． 4.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0＜a＜12)，4 m，不考虑树的粗细，现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设BC＝x m，则DC＝(16－x)m， 由得a≤x≤12. 矩形面积S＝x(16－x)≤＝64. 当x＝8时取等号．当0＜a≤8时，u＝f(a)＝64； 当a＞8时，由于函数在[a，12]上为减函数， 所以当x＝a时，矩形面积取最大值Smax＝f(a)＝a(16－a). 5.（2026·湖南株洲三模）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：dB）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数．当传播距离由增加到时，衰减量的增量约为（）（参考数据：，） A.8dB B.12dB C.16dB D.18dB 【答案】C 【解析】设时衰减量为，时衰减量为，得衰减量增量. 由，得，化简得. 代入，，得，，故. 整理得，代入，，计算得. 故选：C. 6.（2026·湖南长沙二模）《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲每天通过经营使财富增长，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？(参考数据：（） A.40 B.70 C.110 D.180 【答案】B 【解析】设商人甲最初的财富为，至少经过天财富增长到最初的倍，由题意得，约去得. 两边取常用对数得，由，结合，得. 答案为B. 7.设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 【答案】B 【解析】画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示, 结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中, 当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,h(x)＝log2x增长速度最慢. 所以选项B正确. 8.（2025-2026·湖南长沙高三上模拟）根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设卸货前的吃水深度为（单位:）. 当货船在时,安全水深为,其中. 令,. 对求导得. 当直线与曲线相切时,取得最大值. 此时,代入导数表达式得. 化简得. 因为, 所以. 由此解得或. 当时,. 将代入安全水深等式得. 解得. 又, 此时,不符合安全水深始终不小于港口水深的要求, 故舍去. 当时,. 将代入安全水深等式得. 解得,符合题意. 故卸货前的吃水最大深度约为. 答案为C. 二、多选题（共3小题） 9.已知函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是(　　) A.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2 B.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2 【答案】BD 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x的图象,如图所示. 对于A,B,在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1,故A错误,B正确； 对于C,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度不是一直快于y3的,故C错误； 对于D,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2,故D正确. 10.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ） A.出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B.出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C.出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 【答案】CD 【解析】对于A，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误； 对于B，出租车行驶4 km，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误； 对于C，出租车行驶10 km，乘客需付费(元)，故C正确； 对于D，某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和为(元)， 一次行驶10 km的费用为25.45元，26.6>25.45，故D正确. 11.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是(　　) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg 2≈0.3) 【答案】BD 【解析】当nA＝1时，PA＝0，故A错误； 又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*， ∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确； 若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误； 设B菌的个数为nB＝5×104， ∴nA＝＝2×105，则PA＝lg nA＝5＋lg 2. 又lg 2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正确. 三、填空题（共3小题） 12.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  【答案】e3－1 【解析】根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12, 所以ln＋ln 4＝12, 即ln＝ln e12, 可得＝e12, 而1＋>0,则1＋＝e3, 所以＝e3－1, 即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1. 13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从                  年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．（参考数据：） 【答案】2026 【解析】第n年(2021为第一年)包装垃圾为， 令，解得, 所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨． 14.（2025-2026·北京大兴高三下模拟）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是                    ． 【答案】②③ 【解析】，时为单调递增射线，时为原点为圆心、半径为的上半圆，时为单调递减曲线. 取，得，在上单调递增， 故①错误. 当，时，时可取得最大值，时， 综上存在最大值， 故②正确. 当时，的最小值出现在、趋近于处，此时，，得， 当时，的最小值满足， 故③正确. 取，要使取得最小值，需在射线上，在上半圆上，最小值为原点到直线的距离减去半径，联立解得交点，验证得，满足在射线上， 即时存在最小值， 故的取值范围不是，④错误. 四、解答题（共2小题） 15.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【答案】解(1)根据题意,d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2)根据题意,对任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,即对任意的k∈[0.5,0.9],30＋v＋<90恒成立. 易知当v＝0时,满足题意； 当0<v≤33.3时,有<对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立, 由k∈[0.5,0.9],得∈ 所以> 即v2＋10v－600<0,解得－30<v<20, 所以0<v<20. 综上,0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下. 16.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟) 【答案】解(1)当x∈[0,16]时, 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0), 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80, 所以b＝－所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16,40]时,f(x)＝log0.8(x＋a)＋80, 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80,解得a＝－15, 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80, 综上,f(x)＝ (2)当x∈[0,16]时, 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68, 即(x－12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去), 所以x∈[0,4]； 当x∈[16,40]时,令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68,得x≥15＋0.8－12≈29.6,所以x∈[30,40], 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟). 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 9函数模型的应用模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) A. B. C. D. 2.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) A. B. C. D. 3.小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示. 设小明从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为(　　) A. B. C. D. 4.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0＜a＜12)，4 m，不考虑树的粗细，现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　) A. B. C. D. 5.（2026·湖南株洲三模）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：dB）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数．当传播距离由增加到时，衰减量的增量约为（）（参考数据：，） A.8dB B.12dB C.16dB D.18dB 6.（2026·湖南长沙二模）《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲每天通过经营使财富增长，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？(参考数据：（） A.40 B.70 C.110 D.180 7.设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 8.（2025-2026·湖南长沙高三上模拟）根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.已知函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是(　　) A.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2 B.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2 10.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ） A.出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B.出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C.出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 11.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是(　　) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5(注：lg 2≈0.3) 三、填空题（共3小题） 12.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.  13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从                  年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．（参考数据：） 14.（2025-2026·北京大兴高三下模拟）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是                    ． 四、解答题（共2小题） 15.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 16.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟) 学科网（北京）股份有限公司 $