课时规范练14　函数模型及其应用 -2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 课时规范练14《函数模型及其应用》，分基础巩固组（7题）、综合提升组（3题）、创新应用组（1题），以“基础概念→综合应用→创新拓展”为路径，强化函数模型在实际问题中的应用，培养数学建模与数据分析素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|函数图象识别、指数模型、函数拟合、分段函数|结合扇形路径、工厂排污等情境，通过选择（含多选）、填空夯实概念理解| |综合提升组|声强级公式、温度变化模型、纳皮尔对数|引入声强、茶水温度等跨学科问题，提升数学抽象与运算能力| |创新应用组|市场销售利润综合分析|以30天销售数据为背景，融合函数建模与最值求解，培养复杂问题解决能力|

课时规范练14　函数模型及其应用 基础巩固组 1.如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈,则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是(　　) 2.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k是正的常数.如果在前2 h滤去了50%的污染物,那么再经过4 h后,废气中的污染物含量为过滤前的(　　) A.6.75% B.12.5% C.25% D.37.5% 3.(多选)某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备,2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长,1,2,3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟汽车的月销售量y(单位:千台)和月份x之间的函数关系,有以下两个函数模型可供选择:①f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②g(x)=pqx+r(q>0,q≠1).如果4月份的销售量为2.3千台,选择一个效果较好的函数进行模拟,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)=0.1x2-0.1x+1.2 B.g(x)=0.1×2x+0.5 C.选择f(x)作为模拟函数 D.估计5月份的销售量为4.2千台 4.一种细胞的分裂速度v(单位:个/秒)与其年龄t(单位:岁)的关系可以用下面的分段函数来表示:v(t)=其中a,b∈R.而且这种细胞从诞生到死亡,它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等,则a≈(　　)(参考数据:log23≈1.585) A.6.402 B.6.463 C.6.502 D.6.522 5.(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图②、图③中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法,其中正确的是(　　) A.图②对应的方案是:提高票价,并提高固定成本 B.图②对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本 C.图③对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变 D.图③对应的方案是:提高票价,并降低固定成本 6.某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x(单位:万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位:万元)之间满足函数关系式x=3-.已知该公司每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元.若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润为　　　　　万元.  7.近年来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月(以30天计)内,每件的销售价格P(x)(单位:元)与第x天的函数关系近似满足P(x)=10+(k为常数,且k>0,1≤x≤30,x∈N*),日销售量Q(x)(单位:件)与第x天的部分数据如表所示: x 5 10 15 20 25 Q(x) 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a-bx. (1)请你根据表中的数据,选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与x的变化关系,并求出该函数的解析式. (2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的解析式. (3)该工艺品的日销售收入哪天最低?最低收入是多少? 综合提升组 8.声强级f(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足f(x)=10lg().一般噪音的声强级约为80 dB,正常交谈的声强级约为50 dB,那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的(　　) A.103倍 B.104倍 C.105倍 D.106倍 9.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关,经验表明,某种绿茶用85 ℃的开水泡制,再等茶水温度降至55 ℃时饮用,可以产生最佳口感.如果茶水原来的温度是T0 ℃,经过t min后的温度T(单位:℃)可由公式T=Tα+(T0-Tα)·e-kt求得,其中Tα表示室温,k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中,如果茶温降到45 ℃需要10 min,那么在25 ℃的室温下,用85 ℃的开水泡制,刚泡好的茶水要达到最佳饮用口感,大约需要放置(　　)(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099) A.4 min B.6 min C.7 min D.9 min 10.如图,假定P,Q两点以相同的初速度运动.点Q沿直线CD做匀速运动,CQ=x;点P沿线段AB(长度为107单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令点P与Q同时分别从点A,C出发,定义x为y的纳皮尔对数,用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y=107((e=2.718 28…),当点P从线段AB上靠近点A的三等分点移动到中点时,经过的时间为(　　) A.ln 2 B.ln 3 C.ln D.ln 创新应用组 11.经过市场调研发现,某公司生产的某种时令商品在未来一个月(30天)内的日销售量m(t)(单位:百件)与时间第t天的关系如下表所示. 第t天 1 3 10 … 30 日销售量m(t)(百件) 2 3 6.5 … 16.5 未来30天内,受市场因素影响,前15天此商品每天每件的利润f1(t)(单位:元)与时间第t天的函数关系式为f1(t)=-3t+88(1≤t≤15,且t为整数),而后15天此商品每天每件的利润f2(t)(单位:元)与时间第t天的函数关系式为f2(t)=+2(16≤t≤30,且t为整数). (1)现给出以下两种函数模型:①m(t)=kt+b(k,b为常数);②m(t)=b·at(a,b为常数,a>0且a≠1).分析表格中的数据,请说明哪种函数模型更合适,并求出该函数解析式; (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元,则考虑转型.请判断该公司是否需要转型?并说明理由. 参考答案 1.D　解析小明沿走时,与点O的直线距离保持不变,沿BO走时,随时间增加与点O的距离越来越小,沿OA走时,随时间增加与点O的距离越来越大,故选D. 2.B　解析 由题知,当t=0时,P=P0, 当t=2时,P=(1-50%)P0=P0e-2k, 解得k=-ln 0.5,所以P=P0, 当t=6时,有P=P0P0,所以废气中的污染物含量为过滤前的12.5%.故选B. 3.AC　解析 将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入f(x)得解得所以f(x)=0.1x2-0.1x+1.2,则f(4)=0.1×16-0.1×4+1.2=2.4;将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入g(x)得解得g(x)=0.1×2x+1,g(4)=0.1×24+1=2.6.用两个模拟函数求出4月份的销售量,f(x)更接近2.3千台,故选择f(x)作为模拟函数,f(5)=0.1×25-0.1×5+1.2=3.2(千台).故选AC. 4.B　解析 由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等,即v(5)=v(60),所以0.5×5=, 整理得b=-log2. 又分裂速度变化是连续的, 所以0.5×10=,整理得b=-log2, 所以-log2-log2,得=log2-log2=log26=1+log23,解得a≈6.463. 5.BC　解析由图①可设y关于x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本.由图②知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,固定成本减小,故A错误,B正确;由图③知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,即k变大,票价提高,b不变,即-b不变,固定成本不变,故C正确,D错误,故选BC. 6.37.5　解析由题意,产品的月销量x(单位:万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位:万元)之间满足x=3-,即t=-1(1<x<3), 所以月利润y=(48+)x-32x-3-t=16x--3=16x-=45.5-[16(3-x)+]≤45.5-2=37.5, 当且仅当16(3-x)=,即x=时,等号成立,即该公司最大月利润为37.5万元. 7.解 (1)由表格中的数据知,随着x的增大,Q(x)先增后减,①③函数模型描述的都是单调函数,不符合该数据模型,所以选择函数模型②:Q(x)=a|x-m|+b. 由Q(10)=Q(20),可得|10-m|=|20-m|,解得m=15, 因为解得 则日销售量Q(x)与时间x的关系式为Q(x)=-|x-15|+55(1≤x≤30,x∈N*). (2)因为第5天的日销售收入为459元, 则×45=459,解得k=1, 所以P(x)=+10,由(1)知Q(x)=-|x-15|+55=x∈N*,则f(x)=P(x)·Q(x)= (3)当1≤x≤15,x∈N*时,f(x)=10x++401≥2+401=441, 当且仅当10x=,即x=2时,等号成立; 当15<x≤30,x∈N*时,f(x)=-10x++699单调递减, 所以函数的最小值为f(30)=399+<441, 综上可得,当x=30时,函数f(x)取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低,最低收入是元. 8.A　解析当f(x)=80时,即10lg()=80,解得x=1020,即一般噪音的声强约1020 W/m2, 当f(x)=50时,即10lg()=50,解得x=1017,即正常交谈的声强约1017 W/m2, 所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的=103倍. 故选A. 9.C　解析因为一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中,如果茶温降到45 ℃需要10 min, 则45=25+(85-25)·e-10k,整理得e-10k=,解得k=, 一杯85 ℃的绿茶放在室温为25 ℃的房间中,如果茶温降到55 ℃需要t min, 则55=25+(85-25)·e-kt,整理得e-kt=,解得t==10×≈6.31, 所以大约需要7 min. 故选C. 10.D　解析点P的初始速度等于点Q的初始速度,此时x=CQ=0,所以点P和点Q的初始速度y=107(=107,当点P到达线段AB上靠近点A的三等分点时,×107=107(,解得x=107ln,即点Q运动的距离为107ln.当点P到达线段AB的中点时,×107=107(,解得x=107ln 2,即点Q运动的另一个距离为107ln 2,因为点P与Q同时分别从点A,C出发,点P运动经过的时间等于点Q运动经过的时间,因为点Q是匀速运动,所以经过的时间为[107(ln 2-ln)]÷107=ln.故选D. 11.解 (1)若选择模型①,将(1,2),(3,3)分别代入可得解得即m(t)=,经验证,符合题意; 若选择模型②,将(1,2),(3,3)分别代入可得解得即m(t)=·()t, 当t=10时,m(10)≈12.4,故此函数模型不符合题意. 因此选择函数模型①,函数解析式为m(t)=(1≤t≤30,且t为整数). (2)记日销售利润为y(单位:百元). 当1≤t≤15,且t为整数时,y=m(t)·f1(t)=()·(-3t+88)=-t2+t+132, 则二次函数图象的对称轴为直线t=,所以当t=13时,利润y取得最大值,且最大值为392. 当16≤t≤30,且t为整数时,y=m(t)·f2(t)=()·(+2)=303+t+, 当16≤t≤30时,利润y单调递减,所以,当t=16时,利润y取得最大值,且最大值为375.25. 故这30天内日利润均未能超过4万元,该公司需要考虑转型. 1 学科网（北京）股份有限公司 $